Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
3.1. Составим характеристическое уравнение.
р
–
p
–
p
–
–
–
–
Для этого составляем схему замещения цепи после коммутации
(рис. 2.18). Относительно места разрыва в цепи записываем входное
сопротивление
стическое уравнение
)(Z
и, приравнивая его нулю, получаем характери-
вх
)(0Z р RpL
вх
.
Определяем корень уравнения р = –R/L и постоянную времени цепи τ = 1/|p| = L / R.
Записываем общее решение для свободных составляющих тока и
напряжения (2.11):
()
i t Ae Ae
св
tt
;
/
)(
utBe Be
св
L
tt
.
/
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и B.
3.2.1. Записываем решение для тока i(t) и напряжения
0:t
() ) ) sin – ;
it i t i t I t Ae
)))sin–9(0;
ut u t u t U t Be
LL L Lm
(( ( )
пр св
(0 si
iI A
(( ( )
пр св
0sin
() 90()–.
uU B
LLm
m
m
–)()n;
3.2.2. Определяем независимые начальные значения:
(0 0)() 0()
До коммутации
ii i
0t
ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю и в
.
LL
цепи нулевые начальные условия:
()
ut
при
L
/
t
(2.20)
/
t
(2.21)
)(()00)00(
ii i
.
LL
–
31
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения )0(Lu
–
–
E
E
L
–
–
.
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для послекоммутационной цепи (см. рис. 2.13):
et E t Rit u t
Запишем это уравнение при 0:t
() (() sin – () )
.
mL
sin (() ) (0)0
ERiu
mL
.
После подстановки независимых начальных значений получим величину начального напряжения на индуктивности
() (0)sin
uE
Lm
.
3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (2.20) и (2.21) с
учетом начальных значений:
)()(0 sin – (0, – si – )n
iI A AI
;
mm
() (0 sin – 90 sin )()
uU BE
LLm m
BE U
4. Записываем полное решение для и () ()
.
sin – sin – 9() 0()
mLm
it u t и строим графики
L
процесса.
/
it I t I e
; (2.22)
. (2.23)
()() sin – – si –(n)
mm
(()sin 90)–
ut U t
LLm
sin – sin –[) ()]0(9
mLm
Ue
t
/
t
Пусть заданы значения: R =10 Ом; L = 0.15 Гн;
f = 100 Гц; Ψ = 22.5°.
Подставив значения исходных данных в (2.22), (2.23), получим:
I
= 1.055 A;
m
U
= 99.4 B;
m
–99.4 cp
1
φ = 83.9°; A = 0.927 A; B = – 0.9267 B;
66.7
66.7
t
;
t
( ) 1.055 sin (628 – 61.42 ) 0.927
it t e
) 99.4sin (628 28.58 ) – 9.26(8
ut t e .
L
32
= 100 В;
m
;
A
–
–
B
i
2
1
t
0
1
c
0 0.02
0.04
0.06 0.08
Рис. 2.19
100
50
u
L
t
0
50
0 0.02 0.04
0.06
Рис. 2.20
Кривые изменения тока i(t) и напряжения ()
рис. 2.19 и 2.20. Из графиков видно, что синусоидальный процесс для
тока устанавливается в течение нескольких колебаний синусоиды и за
это время возможны значительные броски тока.
Из (2.23) видно, что при включении ключа в момент времени, когда
–0 и A = 0, переходный процесс в цепи не возникает.
c
0.08
ut показаны на
L
Задача 2.3. Включение последовательной RC-цепи на постоянное
напряжение
Рассчитать закон изменения тока и напряжения на емкости, в
RC-цепи (рис. 2.21) при подключении ее к источнику постоянного
напряжения E.
33
–
E
R
E
R
R
R
i, u
Кл
i(t)
C
e
t/τ
–t/τ
)
t
uC(t) = E(1 – e
R
E
C
Рис. 2.21 Рис. 2.22
u
C
i(0) =
u
Cпр
0
= E
i(t) =
Процесс описывается неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, составленным по второму закону
Кирхгофа для цепи после коммутации (рис. 2.21):
it u t E ,
() ()
C
c учетом
()Cit Cdu dt получаем уравнение
du
С
CutE
dt
()
.
C
Решение
1. Записываем общее решение искомого тока и напряжения (2.1):
it i t i t u t u t u t .
пр св пр св
и () () () () () ()
СС С
2. Определяем принужденную составляющую искомого тока
и напряжения
ut. Составляющие определяем по схеме замещения
пр()C
пр
)(it
цепи, для установившегося режима после коммутации t = ∞ (рис. 2.23):
)0 и (( )
it u t E
пр пр
3. Определяем свободную составляющую
Общее решение для
и (( ))
it u t можно записать после расчета
св св
C
.
L
и (( ))
it u t.
св св
C
характеристического уравнения и определения его корней.
34
p
–
Кл
i
(t) = 0
пр
Кл
R
E
≈
Zвх(р)
R
1
u
(t) = E
C
Рис. 2.23 Рис. 2.24
3.1. Составим характеристическое уравнение.
Для этого составляем схему замещения (рис. 2.24), относительно
разрыва в любом месте послекоммутационной цепи записываем входное сопротивление и, приравнивая его нулю, получим характеристическое уравнение
Определяем корень р = –1/(RС) и постоянную времени τ = 1/|p| =
= RC.
Записываем решение для свободной составляющей (2.11):
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и B.
3.2.1. Записываем решение для тока i(t) и напряжения ()
0t
. С учетом принужденных составляющих получим
() )(( ))0 (0
it i t i t Ae i A
Lпр
Z р RpC
(0)
вх
it Ae u t e.
св св
; (2.24)
пр св
1
= 0.
tpt
и() ()
C
p
pC
ut при
L
))((( ())0
ut u t u t EBe u EB
. (2.25)
CC C L
пр св
pt
3.2.2. Определяем независимые начальные значения:
35
0(0 ) ( )
.
uu
CC
Рассчитывем режим до коммутации
–
–
p
–
0t
. Ключ разомкнут, ток в
цепи равен нулю. Положим, что конденсатор не заряжен и в цепи нулевые начальные условия,
()0()00
uu
–
CC
.
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
)(0i
.
Для цепи после коммутации (рис. 2.18) составляем уравнение по
второму закону Кирхгофа и записываем его при 0t
() ) или(, ) ( (0 0 )
ERit ut ERi u
.
CC
:
Подставив в полученное уравнение независимые начальные значения, получим
)(0 /iER
.
3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (2.24) и (2.25) с
учетом начальных значений:
(0 0 /)/iAERAER
uEBBE
4. Записываем полное решение для и () ()
,
00() –
C
.
it u t и строим графики
L
процесса:
() ( / ) ( / )
it E Re E Re
;
) (1– 1–()()
ut E e Е e
C
tt
pt t
Кривые изменения тока i(t) и напряжения ()
/
/
.
ut показаны на
C
рис. 2.22. Из графиков видно, что напряжение на конденсаторе устанавливается постепенно по экспоненциальному закону и требуется
определенное время до наступления установившегося тока
uE
.
прC
Ток через емкость до коммутации равен нулю, а в момент коммутации устанавливается скачком до значения
)(0 /iER
и затем
плавно по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.
Задача 2.4. Включение последовательной RC-цепи
на синусоидальное напряжение
Рассчитать закон изменения тока и напряжения на емкости, в R, Сцепи при подключении ее к источнику синусоидального напряжения
et E t.
sin() ( )
m
36
p
–
R
Е
X
E
Z
Кл
i(t)
Кл
I
Кл
R
Zвх(р)
1
C
e(t)
R
C
uC
R
E
j X
С
≈
UC
Рис. 2.25 Рис. 2.26 Рис. 2.27
Процесс в цепи после коммутации описывается неоднородным
обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, составленным по второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации
(рис. 2.25):
it u t RC u t et
((() ) ) ()
.
CC
Решение
1. Записываем общее решение искомого тока и напряжения:
it i t i t u t u t u t .
пр св пр св
2. Определяем принужденную составляющую искомого тока
и напряжения
ut. Схема замещения для расчета установившегося
пр()С
и () () () () () ()
СС С
пр
()it
синусоидального режима после коммутации (t = ∞) символическим
методом приведена на рис. 2.26. В схеме:
j
Ee
– комплекс амплитудного значения ЭДС;
mm
1/
С
C – емкостное реактивное сопротивление.
По закону Ома определяем комплексы амплитудных значений принужденных тока
E
m
=
m
RIjX
С
E
=
m
eI
m
() ()j
Z
j
e
m
и напряжения на емкости
() 90
jj
UIjXIe Xe
Сmm С m С
()
37
() )90(90
Z
R
X
–
p
–
jj
XIe U e
С m Сm
j
где
RjX Ze
– комплексное сопротивление; Z =
arctg )/(
С
R
С
– модуль сопротивления и его угол;
амплитудное значение принужденного тока;
UXI
Сm С m
ное значение принужденного напряжения.
Запишем мгновенные значения принужденного тока:
,
IEZ
mm
– амплитуд-
22
X ,
С
/
–
)sin( )(mit I t
пр
.
Мгновенные значения принужденного напряжения на индуктивности:
utU t
пр
ССm
3. Определяем свободную составляющую
Общее решение для
it u t
св св
sin –)90(( )
.
() ()
itи ut.
и () ()
С
св св
можно записать после решения
С
характеристического уравнения и определения его корней.
3.1. Составляем характеристическое уравнение.
Для этого формируем схему замещения цепи после коммутации
(рис. 2.27). Относительно разрыва в любом месте этой цепи определя-
ем входное сопротивление и, приравнивая его нулю, получим характе-
ристическое уравнение
Z р R
() 0
вх
1
.
pC
Из полученного уравнения определяем корень р = –1/(RС) и постоянную времени τ = 1/|p| = RC.
Записываем решение для свободной составляющей:
) и (( )
i t Ae Ae u t Be Be
св св
tt ptt
.
/–/
L
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и B.
3.2.1. Записываем общее решение для тока i(t) и напряжения ()
в момент коммутации при 0:t
ut
L
/
() ) ) sin ,
it i t i t I t Ae
((
пр св
(0 sin
)()
iI A
()
m
m
–;
t
(2.26)
38
–
/
–
–
R
)))sin –9(0,
ut u t u t U t Be
СС С Сm
(( ( )
пр св
0sin
() 90()–.
uU B
ССm
t
(2.27)
3.2.2. Определяем независимые начальные значения:
(0 0)() 0()
До коммутации
uu u
0t
ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю, по-
.
СС
ложим, что конденсатор не заряжен и в цепи нулевые начальные значения:
()0()00
uu
–
CC
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
.
)(0i
.
Для цепи после коммутации составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (рис. 2.25):
() sin – () )() (
et E t Rit u t
Запишем это уравнение при 0t
учетом начальных значений: (0 si )n)(i
.
m С
: sin (() ) (0)0
ERiu
m С
.
с
3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (2.26) и (2.27) с
учетом полученных значений:
E
)() ()(0 sin – sin
iA
uU B
I
A
0sin–)90(0()
ССm
BU
m
E
m
sin – s )(n(i)
(–s )in – 90
Сm
39
m
R
I
m
;
.
()
–
–
E
L
–
–
A
–
–4 –
4. Записываем полное решение для i(t) и
ut
L
процесса.
E
() sin( ) sin – sin( )
it I
m
)sin( –90)–sin(–90()
ut U t U e
. (2.28)
CCm Сm
te
m
R
I
m
и строим графики
/
t
.
/
t
Пусть заданы значения:
R = 20 Ом; C = 500 мкФ;
= 100 В;
m
f = 100 Гц; Ψ =30°.
Подставив исходные данные в полученные ранее уравнения, имеем:
I = 4.938 A;
m
U = 15.718 B; p = – 100
m
1
c
;
φ = 9.05°; A = – 0.67 A; B = – 13.395 B.
100
( ) 4.938sin (628 31.57 ) – 0.67
it t e
) 15.718 sin (628 – 58.43 ) –13.395(
ut t e.
C
Кривые изменения тока
i(t) и напряжения ()
t
.
100
t
ut изображены на
L
рис. 2.28 и 2.29. Из графиков видно, что синусоидальный процесс для
тока устанавливается за несколько колебаний синусоиды и в течение
этого времени возможны значительные броски тока.
i
6
4
2
t
0
2
c
6
0.02 0.04
Рис. 2.28
40
0.06 0.08
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]