Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
В
–
–
R
R
R
R
R
R
R
u
C
30
20
10
t
10
0
c
20
0.02 0.04 0.06 0.08
Рис. 2.29
Из (2.28) видно, что переходный процесс зависит от момента
включения и при Ψ + φ – 90° = 0
A = 0 и переходный процесс в цепи не
возникает.
Задача 2.5. Расчет переходного процесса в сложной цепи
с синусоидальным источником напряжения
Рассчитать закон изменения напряжения ()
ключа в резисторе
Исходные данные цепи:
= 7 Ом,
3
и одним реактивным элементом
i
2
i4
R2
R
Кл
4
1
e
1
i
1
R1
() (6sin 40 )030et t
1
= 5 Ом,
5
= 5 Ом,
i3
R
3
L
3
.
2
= 7 Ом,
4
uL
R
5
i
4
5
2
R
6
i6
3
ut после размыкания
L
В,
= 5 Ом,
6
= 8 Ом,
1
L = 30 мГн.
3
2
=
41
Решение
j
р
)(
1. Записываем общее решение для искомого напряжения
ut
L
классическим методом в виде суммы принужденной и свободной составляющих:
(())()
I4m
I
= 0
2m
1 2
R2
R
3
ULm
I3m
XL3
E
1m
I1m
R
4
4
R1
3
ut u t u t
LL L
R
5
I5m
R
6
I6m
.
пр св
1
R
3
R2
L3
R
4
R
4
5
2
R
R1
3
6
Рис 2.30 Рис 2.31
2. Определяем принужденную составляющую искомого напряже-
ния
тации (
пр
L
t = ∞).
()
ut в установившемся синусоидальном режиме после комму-
Применяем символический метод расчета. Расчет проводим для
комплексов амплитудных значений. На рис. 2.30 изображена схема
замещения. Опредеделим параметры схемы замещения:
30
6sin 400 30 В 6 6 30 5.2() ( ) 3
е ttEe jB – ком-
11
j
m
плекс амплитудного значения ЭДС;
XL – реактивное индуктивное сопротив-
L
400 · 0.03 12 Ом
ление.
Расчет
()
ut проводим в следующем порядке:
пр
L
– по закону Ома определяем комплекс амплитудного значения тока
в ветви с источником ЭДС:
E
1
I
1
m
RR R jX j
()5(1212)
63 4 3
RRR jX
634 3
m
L
L
RR
15
630
j
17 12
13
0.354 27 A;
42
– по правилу «рычага» определяем комплекс амплитудного значе-
–
–
p
ния тока в ветви с индуктивностью:
R
II
31
mm
RRR jX
634 3
6
0.0843 172 A
L
;
– по закону Ома определяем комплекс амплитудного значения
напряжения на индуктивности:
UIjX
Lm
;
3
m
1.012 96.7 B
L
– записываем мгновенное значение принужденного напряжения на
индуктивности:
) 1.012sin (400 96.7 ) B(
ut t.
пр
L
3. Определяем свободную составляющую напряжения на индук-
тивности
ut
.
св()L
Общее решение для
ut
можно записать после решения харак-
св()L
теристического уравнения.
3.1. Составим характеристическое уравнение.
Для этого составляем схему замещения цепи послекоммутационной (рис. 2.31). Относительно разрыва в ветви с индуктивностью записываем входное операторное сопротивление и, приравнивая его нулю,
получим характеристическое уравнение
()
RR R
,
) 15.61 0.03
Z р RR pL р
в 4
х 3
61 5
RR R
1
56
0(
определяем корень уравнения:
–520 ср .
Определяем постоянную времени τ = 1/|p| =
1.92 10 .с
–3
Общее решение для свободной составляющей (один отрицательный корень характеристического уравнения (2.11)):
)(
u t Ae Ae
L
св
tt
.
43
/
):(
p
–
R
R
j
3.2.1. Записываем полное решение для напряжения
) ) ) 1.012sin (400 96.7()((
ut u t u t t Ae ,
при
LL L
0t
получим:
пр св
0 1.012sin ( 96.7 ) 1.005()
uAА
L
ut
L
t
, или для
постояннй интегрирования
()01.005
Au
. (2.29)
L
3.2.2. Определяем независимые начальные значения для тока в ин-
дуктивности
До коммутации
(0 ) ( )0ii
3– 3
()0t
.
ключ замкнут, в цепи – установившийся
синусоидальный режим переменного тока. Расчет режима проводим
символическим методом. Применим метод контурных токов по схеме
замещения (рис. 2.32). Запишем эту систему в матричной форме:
RRjX R R I E
123 3 1 2
11565
RRRRRI
25245
L
RR R R I E
11 1
22 1
33
.
0
I4m
R
4
i
R
4
4
1
I3m
I2m
R
R2
3
I11
ULm
XL3
I33
R
5
4
I5m
2
E
1m
I1m
R1
3
I22
I6m
R
6
i2
1
i3
R2
e
1
i
uL3
1
R1
R
3
L
3
R
5
i
4
5
2
R
6
3
i6
Рис 2.32 Рис 2.33
Запишем ее с учетом исходных данных:
20 12 8 7 5.2 3
jIj
8185 5.23
7519 0
11
Ij
22
I
33
.
44
Определим контурный ток:
K
j
II
31
m
1
11
T
680 386
3682 3804
= 0.148163.7° A.
j
Мгновенное значение тока в индуктивности:
)(it
= 0.148 sin(400·t +163.7°) A,
3
или в момент коммутации:
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
()0i
= 0.148 sin(163.7°) = 0.0415 A.
3
0 и () 0()ii
11
Для цепи после коммутации (рис. 2.33) составляем полную систему
уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений:
0; ;
iiiii
21534
,
iii
136
()(
iR R iR R u et
11 5 3 3 4 1
0,
))(
L
(2.30)
,
() (
iR R iR et
11 5 66 1
).
Систему уравнений записываем в момент коммутации 0:t
() () ()
0000,
iii
136
() ) () ) () (),
0 ( 0 ( 0 0
iRRiRRu e
1153 34 1
L
() ) ()
0 ( () .0 0
iRRiRe
115661
В систему подставляем данные и независимые начальные значения
() ()00ii
0.0415 A:
33
0 0.0415 0 0,
() ()
ii
16
0 13 0.041512 0 6sin (30 ) 3,
() ()
iu
1
L
013 05 6sin(30
() ) 3.() ( )
ii
16
.
45
Решив систему, получяем начальные значеня токов и напряжений в
B
–2 –
момент коммутации:
() ()00.0514 А, 0 0.128 А, 0 1.8(3B)
iiu
.
16
L
3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (2.29):
Au
4. Записываем полное решение для
ut t e
L
1
0 1.01 1.83 1.005 0.829 )B(
.
L
()it:
3
520
t
1.012sin (400 96.7 ) 0.829(B)
.
uL(t)
U
Lm
= 1.01 В
t
0
1
с
uL(0+) = −1.83 B
0 0.01 0.02 0.03 0.04
Проверка решения:
0 1.83 1.012sin ( 96.7()0.82В)9
при 0t
при t
u
L
ut t.
пр
L
;
) 1.012 sin (400 96.7 ) В(
Задача 2.6. Включение RL- и RC- цепи на прямоугольные импульсы
Переходные процессы в большинстве случаев являются однократными и кратковременными. Их непосредственное наблюдение с помощью обычного осциллографа является невозможным, поэтому для
исследования переходных процессов коммутацию делают многократной и периодической. Это достигается питанием исследуемой цепи от
импульсного источника, т. е. источника периодических сигналов пря
моугольной формы (рис. 2.34).
46
-
t
t
t2t1–
f
Т
Т
e(t)
длительность импульса e(t) =E
t
– длительность паузы e(t) = 0
E
1
1
– период сигнала источника.
T = 1/f
Г
– частота источника.
Г
0
Т
Рис. 2.34
Также удобно проводить моделирование переходных процессов в
цепях на ПК, включая в цепь источник прямоугольных импульсов.
i(t)
R
e(t)
L
uL
i(t), e(t), uL(t)
0
e(t)
(t)
u
L
i(t)
t
t
1
Рис. 2.35
e(t)
i(t)
R
i(t), e(t), u
e(t)
(t)
C
uC(t)
i(t)
t
0
C
uC
t
1
Рис. 2.36
Чтобы переходный процесс заканчивался за время подачи импульса, его длительность должна быть
45t . Передний фронт импуль-
1
са соответствует включению цепи на постоянное напряжение, а задний – уменьшению напряжения источника до нуля. В исследуемых
47
схемах начальные условия должны быть нулевыми, поэтому длитель-
L
R
45t
ность паузы должна быть
2
. Это обстоятельство позволяет на
экране осциллографа или монитора наблюдать реакцию цепи на импульсное воздействие, а также найти установившиеся значения исследуемых кривых до и после коммутации: на рис. 2.35 для цепи RL, а на
рис 2.36 для цепи RC.
Необходимо отметить, что форма напряжений и тока в исследуемых цепях существенно
зависит от соотношения между постоянной
времени цепи и длительностью импульса.
2.5. Примеры расчета переходных процессов
в цепях второго порядка
Задача 2.7. Включение параллельного контура на постоянное
напряжение
Кл
R
i
(t)
(t)
i
iL(t)
RK
E
uC
L uL
C
C
Рис. 2.37
Система уравнений Кирхгофа:
– iС = 0;
i – i
L
du
L
С
dt
RK + uL;
и uL = L
di
.
dt
E = i R + i
E = i R + uC;
= C
i
С
Рассчитать переходный процесс для тока i(t) и напряжения на ем-
кости )(
ut, протекающий при включении параллельного R L C-кон-
C
тура к источнику постоянного напряжения E (рис. 2.37), при заданных
параметрах: E = 50 В, R = 20 Ом,
= 30 Ом, L = 0.1 Гн и C = 5 мкФ.
к
Переходный процесс, протекающий в цепи при включении ее к источнику постоянного напряжения E, описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка, составленной по законам
Кирхгофа для режима после коммутации.
48
Решение
p
1. Записываем общее решение искомого тока и напряжения:
it i t i t u t u t u t
Кл
R
E
.
пр св пр св
i
пр
i
L пр
RK
L
и () () () () () ()
СС С
= 0
i
C пр
u
C пр
C
u
= 0
L пр
Кл
R
RK
1
pC
L
Рис. 2.38 Рис. 2.39
2. Определим принужденные составляющие
utit.
пр пр
C
и() ( )
Принужденные составляющие находим по схеме замещения, построенной для режима постоянного тока, устанавливающегося после
коммутации при t = ∞ (рис. 2.38).
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
EiRi R u
пр пр пр
EiRu
ii i
пр пр пр
LKL
пр пр
C
LC
;
0,
;
учтем, что
iu, подставим в систему и получим:
3. Находим свободные составляющие
0 и 0
пр пр
CL
ii ERR
пр пр
u ЕRRR
пр
CK K
LK
/( 30) В.
(/1 А;)
ut it.
св св
C
и () ()
3.1. Составляем характеристическое уравнение.
49
По схеме замещения (рис. 2.39) составим главный определитель
RRR
D
p
p
p
p
системы уравнений методом контурных токов и приравняем его нулю:
RR pL R
к
() ( ) 0
pRRpLRR
кт к
RR
1
pC
1
Cp
2
,
или
R
где b =
1
к
LRC
R
2
p
1
к
LRC
2
pbрq
= 5300 и q =
= 0,
RR
р +
RLC
к
LC
к
2.5 10
= 0,
6
.
Найдем корни уравнения:
2
где D =
2
1,2
4.52 ;021bq
2 qpb
6
12
= − 2R
523.4 с ; 4777 сpp
11
,
.
При D > 0 характеристическое уравнение имеет два действительных отрицательных корня
– и
p , процесс апериодический затуха-
12
ющий и свободные составляющие имеют следующий вид (2.8):
12
()
utAe Ae ;
св 12
C
()
it Be Be
св 12
tpt
12
tpt
.
3.2. Определяем постоянные интегрирования.
3.2.1. Постоянные интегрирования определяются из начальных
условий для искомого тока и напряжения и их производных. Запишем
общее решение для напряжения на емкости ()
ut и тока i(t) при апе-
C
риодическом режиме:
12
))((
ut u t Ae Ae,
CC
пр 12
tpt
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]