Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
р
134 5 3156 15
1
–
6
2
0RRR R pL RR R RpCR
;
или
25
1388 7.234 10 0p р
25 0.03 18 – 13
()
1
5
6.4 10pp
.
R4
R
5
1
4
R3
R1
L3
3
Рис. 2.48
pC
1
6
Найдем корни характеристического уравнения:
2
1388
– дискриминант уравнения D =
– корни уравнения
1,2 св
1,2
694 491 сpj j
,
1388
;
2
Dpj
7.23 2.414 140102
694 491 с
2
= 0;
2
R
6
55
1
1
;
1
694 с
– коэффициент затухания;
где
св
491 с
1
– частота соб-
ственных колебаний цепи.
При D < 0 характеристическое уравнение имеет два комплексносопряженных корня –
и pp , процесс колебательный затухающий и
12
свободная составляющая искомого тока имеет вид
t
)s )(in(
it Ae t
1св св
.
61
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и ψ.
3.2.1. Постоянные интегрирования определяются из начальных
условий для искомого тока и его производной.
Запишем общее решение для тока
i при колебательном затухаю-
1
щем режиме:
t
(()) sin( )
it i t Ae t
11пр св
.
Возьмем производную искомого тока
tt
titA e t A e ti
пр св св св1
()() () ( ) ) ( )sin ( cos
.
Запишем эти уравнения для момента коммутации 0:t
() () (),
00sin
ii
11пр
() () ()
00 sin c() os()()
ii A A
11пр св
(2.34)
или с учетом исходных данных цепи:
() (),
00.24sin
iA
1
()
0 ( 694)sin( ) ( )(491) cos .
iA A
1
Для расчета системы (2.34) необходимо определить независимые
0 и ) ( )0(
iu
LC
и зависимые начальные значения
0) и ()0(ii.
11
3.2.2. Определяем независимые начальные значения для тока в ин-
дуктивности
u .
)0(
6
C
(0 ) ( )0ii
3– 3
и напряжения на емкости
()0
u
6–
C
Рассчитаем режим до коммутации. В цепи (рис. 2.49) ключ замкнут, протекает установившийся режим постоянного тока и существуют ненулевые начальные условия.
По закону Ома определяем токи:
E
(0 ) (0 ) 0.344 A ;
ii
31
RR R
24 5
RRR
245
1
RR
13
712
19
6
13
()0i = 0.344 А.
1–
62
E
C
i4(0–)
i
2(0–
)
Кл
1
R
2
1
i
)
R
3
i
3(0–
1(0–
R
1
)
L3
Используем правило рычага:
R
4
4
3
Рис. 2.49
R5
u
C 6(0–
)
i
5(0–
2
R
6
)
6
i
6(0–
) = 0
R
iii
(0 ) (0 ) (0 ) 0.344 0.123 A.
451
2
RRR
245
7
19
По второму закону Кирхгофа для выделенного контура находим
напряжение на емкости до коммутации:
() (0)(00)
uiRiRE
6– 1–1 4– 5 1
C
0.3448 + 0.1235 6 = 2.63 В.
Запишем законы коммутации:
(0 ) ( )0ii
3– 3
() (0)0
uu
6– 6
CC
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
= 0.344 А;
= 2.63 В.
0 и () 0()ii
11
Для цепи после коммутации (рис. 2.50) составляем полную систему
уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений:
0; ;
iiiii
21534
,
iii
136
()( )
iR R iR R u E
11 5 3 3 4 1
0,
(2.35)
,
L
(
iR R iR u E
11 5 66 1
С
.)
.
63
E
C
i2 = 0
1
R
3
i
3
L3
i4
uL3
R
4
R
5
i
uC6
5
2
R
6
i6
4
1
i
1
R1
6
3
Рис. 2.50
Систему уравнений записываем в момент коммутации 0:t
() () ()
0000,
iii
136
()( ) ()( ) () ,
00 0
iRRi RRu E
1153 343 1
L
()
00( ) () ()0.
iRRiRu E
11566 1
С
В систему подставляем данные и независимые начальные значения:
00.344 А; 0 2.633 В,
() ()
iu
36
C
0 13 0.34412 0 6,
() ()
iu
1
ii
()() (0 13 0 5 2.633 6,
16
L
)
000
() () .3440.
ii
16
Решив систему, получяем начальные значеня токов и напряжений в
момент коммутации:
0 0.284 (А), 0 0.061 (А), () () ( 01.8)25 А.
iiu
16 3
Определяем значения производных в момент коммутации
():0i
3
i
(0 )
u
C
()
6
0
= 944 (В/с;)
C
6
3
L
u
(0 )
u
3
L
)0(i
L
3
= 60.8 А/с.
)0(
и
C
64
Продифференцируем исходную систему уравнений (2.35) и запи-
шем ее в момент коммутации
()( ) ()( ) ()
00 00,
iRRi RRu
1153 34
()( ) () ()
0000,
iRRiRu
11566
0:t
L
С
(
)0 (00))0(
iii
136
или в числовых значениях
() ()
0 13 60.2 12 0 0,
iu
1
() (
0 13 0 5 953 0)
ii
16
L
(, 0 60. 0()20 .)
ii
16
Решив систему, получим производную искомого тока в момент
коммутации:
)0(i
= −69.3 (А/с).
1
3.2.4. Подставляем начальные значения в систему уравнений (2.34):
0.283 0.24 sin( ); 0.043 sin( ),
69.3 694 sin 491 c()()()o.(s)
AA
AA
Решая полученную систему, определяем постоянные интегрирования A и ψ:
69.3 ( 694)sin( ) (491)cos( )
0.043 sin( ) sin( )
arctg
св
A =
AA
AA
(0 )
i
L
(0 )
ii
11пр
(0 )
ii
11пр
sin( )
=
0.283 0.24
sin( 19.1 )
65
arctg 491 694
= −0.09 A.
;
69 / 3
0.043
= −29.1°;
4. Записываем полное решение для искомого тока
A
А
K
L
L
0t
проверку решения в момент коммутации
694
t
( ) 0.24 0.09 sin 491 29.1()
it e t
1
)(it
и проводим
1
и при t → ∞.
А.
График тока
Проверка решения:
10 0.283 0.24 0.09 sin() (2.)91i
при 0t
при t → ∞
Задача 2.10
i
E
C
(t)
uC
R
Рис. 2.52
i1(t)
0.3
0.2
i
(0) = 0.283
1
0.1
0 0.005 0.01
Рис. 2.51
()it показан на рис. 2.51.
1
A;
i
1пр
0.24 A.
для напряжения ()
C
Кл
щий после включения в цепь источника тока (рис. 2.52), при заданных
iL(t)
L
IK
параметрах: E = 15 В;
R = 100 Ом; C = 10 мкФ; L = 200 мГн.
uL
искомого напряжения классическим
методом:
составляющую
i
= 0.24 (A)
1пр
t
0.015 0.02
с
Рассчитать переходный процесс
ut, возникаю-
L
I
= 0.2 А;
Решение
1. Записываем общее решение
uu u
.
пр св
LL
2. Определяем принужденную
u .
пр
66
После коммутации при t = ∞ в цепи устанавливается режим посто-
p
p
pC
R
R
янного тока. Схема замещения для этого режима представлена на
рис. 2.53.
= 0
i
Cпр
E
C
u
= E
Cпр
u
= 0
Lпр
Кл
1
i
= I
Lпр
K
IK
E
L
1
C
Кл
1
IK
L
R
2
R
2
Рис. 2.53 Рис. 2.54
Для цепи составляем уравнения по законам Кирхгофа и определяем
принужденные составляющие:
iiI
пр пр
CL K
iRu u E
пр пр пр
С L С
учтем, что
i и
пр0C
u
пр0L
, и получим
3. Определяем свободную составляющую
0,
,
uE
прC
ut.
.
св()L
3.1. Составяем характеристическое уравнение.
По схеме замещения (рис. 2.54) относительно разрыва цепи в ветви
с емкостью определяем входное сопротивление и приравниваем его
нулю:
() 1( )ZpRpL
вх
Преобразуем это уравнение и получим
или
2
0pbр q
, где b =
L
= 500 и q =
= 0.
2
p
1( ) 510LC
L
1( )LC
р+
= 0,
5
. Находим
корни характеристического уравнения:
2pb
1,2
2
67
250 6 1 с26 bq j
,
1
1
p
L
L
где
– коэффициэнт затухания и
250 с
= 661.4 рад/с – частота
св
свободных колебаний цепи.
В результате решения характеристического уравнения получается
и
два комплексно-сопряженных корня
p , т. е. в цепи процесс коле-
12
бательный затухающий. Свободная составляющая искомого напряжения имеет вид (см. 2.9):
–
t
() s (n)i
utAe t
св св
L
.
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и ψ.
3.2.1. Постоянные A и ψ определяются из начальных условий для
искомого напряжения и его производной. Так, общее решение для
напряжения
u примет вид
() () ( )sin
ut u t Ae t
LL
,
пр св
t
и для производной :
L
() () ( )() sin cos .()
ttAe tAuu e t
L
Запишем эти уравнения для 0:t
u
t
св св спр в
(((),
0) 0) sin
uu A
LL
((
0) 0) ( )sin ( cos() ) (),
uu A A
LL
п
р
п
свр
t
или с учетом рассчитанных данных цепи:
uA
0) 0 sin
((),
L
uA A
0) ( 250)sin
( ( ) (661.4)cos( ).
L
(2.36)
Для расчета системы (2.36) необходимо определить независимые
0, 0() ()
iu
LC
и зависимые начальные значения 0) и (0)(
uu.
LL
3.2.2. Определяем независимые начальные значения:
00 и() () 0 )0() (
ii u u
–
LL C C
68
.
Рассчитаем режим цепи до коммутации. В цепи рис. 2.55 ключ
разомкнут, в цепи установившийся режим постоянного тока. По законам Кирхгофа:
0000; () () () () (00 0),()
iii uuRiE
–– – – –
CLL C L C
()и 00 15 В() .
uuE
–
CC
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения 0) и 0(()
uu.
LL
Для цепи после коммутации (рис. 2.56) составляем полную систему
уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений:
iR u u E
CLС
ii I
LC K
,
(2.37)
0.
iC(0–) = 0
u
C(0–
E
u
L(0–
C
1
Кл
iL(0–)
) = E
IK
) = 0
L
R
2
Рис. 2.55 Рис. 2.56
i
(t)
C
C
Кл
1
iL(t)
uC
E
L
I
K
uL
R
2
Записываем эту систему уравнений в момент коммутации 0t
подставим в нее законы коммутации:
и
() () ()
000,
iRu u E
CLС
() ()
00 0.
iiI
CL K
Решая полученную систему уравнений, определим
()00.2 А
iI
CK
69
0) и 0(()
uu
LL
.
;
() ()0002В)(0
u Е iRu
LCС
()0
u
C
()0
i
L
(0 )
i
C
C
(0 )
u
L
L
=
0.2
10 100
20
=
0.2
6
= 100 A/c. (2.38)
.
4
2
1
В/c.
Продифференцируем систему (2.35) и запишем ее в момент комму-
0:t
тации
0000() () ,
iRu u
CCL
000.
() ()
ii
CL
()
С учетом (2.38) получим: ( ) (0 0 ) 100 A/c
и
uiRu
. (2.39)
00 011() ( () 0 /c) В
LC C
ii
CL
4
3.2.4. Подставив начальные значения в систему уравнений (2.36),
определяем постоянные интегрирования A и ψ
20 0 sin 20 sin ,
10 000
() ()
AA
(250) ( ) (si ).n (661.4) cos
AA
Решаем полученную систему:
10 000 ( 250)sin( ) (661.4) cos( )
20 sin( ) sin( )
arctg
св
AA
AA
(0 )
u
L
(0 )
uu
LL
arctg 661.4 250
пр
,
10000
20
= 41.4°;
(0)
uu
LL
A =
sin( )
пр
=
sin(41.4 )
20 0
= 30.2 В.
=
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]