Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Таблица 3.2
E
L
p
p
p
p
p
Операторные схемы замещения элементов электрической цепи
№
п/п
Элемент цепи Элемент операторной схемы
1 Источники ЭДС и тока
e(t)
ik(t)
Источники постоянной ЭДС
E
2 Резистор
R
i(t)
uR(t) = i(t)R
3 Индуктивность
i(t)
uL(t) =
L
di
dt
4 Емкость
i(t)
C
E(p)
Ik(p)
p
I(p)
(p) = I(p)R
U
R
R
I(p)
UL(p) = I(p) pL – LiL(0+)
L
LiL(0+)
I(p)
1
C
(0 )
u
C
uC(t) =
t
1
idt
C
0
UC(p) = I(p)
1
(0 )
u
C
+
C
81
Окончание табл. 3.2
p
p
p
p
p
№
п/п
Элемент цепи Элемент операторной схемы
5 Взаимная
индуктивность
()diLuttd ±
()diLuttd ±
M
i2(t)
i1(t)
u1(t)
u2(t)
11
22
L1
L
2
1
2
I
M
(p)
M
I
M
I2(p)
1
(p)
L1 i1(0+)
L1
L2 i2(0+)
L2
U1(p)
U2(p)
±M i2(0+)
±M i
1(0+
)
di
2
dt
di
1
dt
R
((())–0)
Up pLIp Li
11111
(()0)
pMI p Mi
22
((())–0)
Up pLIp Li
22222
pMI p Mi
L
)0)((
11
1
pC
U(p)
Рис. 3.5
Обозначим Z(p) = R + Lp + 1( )
ние, а изображения напряжения U
будут связаны между собой
U(p) = I(p) Z(p), или I(p) = () ()Up Zp. (3.8)
законом Ома в операторной форме:
C как операторное сопротивле-
(p) и тока I(p) на зажимах ветви
82
3.5. Эквивалентные операторные схемы
p
p
p
p
FpF
В расчетах переходных процессов операторным методом используются эквивалентные операторные схемы, в которых токи и напряжения на элементах цепи связаны мехду собой закономи Кирхгофа и Ома
в операторной форме. Следовательно, справедливы и все ранее изученные методы расчета сложных цепей: контурных токов, узловых потенциалов и других, которые применяютя в
на элементов цепи в эквивалентной операторной схеме приводится в
табл. 3.2.
(0 )
u
Источники ЭДС 0)(
Li
, –
C
ними операторными ЭДС и учитывают независимые начальные условия для индуктивности, емкости и взаимной индуктивности.
В качестве примера в соответствии с табл. 3.2 составим схему замещения цепи (см. рис. 1.2) для режима после коммутации (рис. 3.6).
LiL(0+)
I(p)
операторной форме. Заме-
и )(0Mi
называются внутрен-
L R
C
(0 )
1
C
UC(p)
UL(p)
E
2
U
p
Рис. 3.6
Полученное решение (3.5) для искомого тока или напряжения в
операторном виде представляется в общем виде отношением двух полиномов:
mm
()
F(p) =
1
()
2
bp b p b
mm
=
p
nn
ap a p a
nn
1
...
10
1
10
...
, (3.9)
где m – степень полинома числителя; n – степень полинома знаменателя, m ≤ n.
83
Например, для цепи (рис. 3.6) составим уравнение по второму за-
E
p
p
p
E
FpF
p
кону Кирхгофа, решая которое, определим изображение тока после
коммутации:
(0 )
u
C
p
1
(0 )
C
p
=
pi
L
(0 )
pp
;
C
EU
2
R
2
LLC
(0 )
C
L
1
. (3.10)
I(p) =
2
Li I p R LpI p
()0 – () ()
L
1
+
() ()
Ip Ip R Lpp
C
E
2
Li
L
RLp
(0 )
u
1
pC
Пример. Пусть заданы параметры цепи, изображенной на рис. 3.5:
= 110 B, R = 200 Ом, L = 0.2 Гн, C = 50 мкФ.
2
Из режима до коммутации определены независимые начальные
значения:
ii
–
LL
Подставим данные в (3.10) и получим изображение искомого тока:
0(0 ) ( )
= 0.2 А и
uu
–
CC
0(0 ) ( )
= 10 В.
I(p) =
0.2 500
p
25
1000 10
pp
=
()
1
. (3.11)
p
()
2
3.6. Переход от изображений к оригиналам.
Теорема разложения
Нахождение оригинала по найденному изображению осуществля-
ется с помощью справочных таблиц [11] или теоремы разложения [1].
Для того чтобы применить теорему разложения, изображение искомого тока или напряжения представляется в виде рациональной дроби (3.7). Оригинал определяется по одному из соотношений, представ-
ленных ниже в зависимости от вида корней
го из полинома
()Fp знаменателя (3.11):
2
84
1
)0(.
Fp ap a p a
210
nn
. (3.12)
nn
, уравнения, полученно-
k
1. Корни действительные отрицательные
p
pj
Fpp
n
()
f (t) =
k
1
2. Два комплексно-сопряженных корня
()
f (t) = 2Re
Fp
11
Fp
21
e
()
pt
k
Fp
1
Fp
2
k
e
()
k
, где
pt
k
. (3.13)
1,2 св
1 св
3. Корни действительные отрицательные кратные:
f (t) =
n
1
(1)!
m
k
1
k
d
dp
1
m
k
1
m
k
()
Fp
1
()
Fp
2
pp
()
k
4. Для случая нулевого корня:
()
F(p) =
1
Fp
()
2
,
k
–
m
k
≤ 0:
–pj
:
pt
k
e
. (3.15)
pp
k
(3.14)
n
()
f (t) =
(0)
F
1
+
(0)
F
2
Fp
pF p
kk
1
k
1
()
2
pt
k
k
e
. (3.16)
Пример. Найдем оригинал тока i(t) по его изображению I(p) (3.11).
2 5
Определим корни уравнения
1,2
112.7 c и 887.3 cpp
12
2
2
(500) 1500 0p = − 500 387.3;
11
5
85
1000 1 0() 0Fp p p
.
;
Получили два действительных отрицательных корня. Определим
F
()
p
значение производной полинома знаменателя
, входящее в урав-
2
нение (3.13):
d
= 2p +1000.
( ) ( 1000 10 )Fp p
2
25
p
dp
Используем соотношение (3.13) и найдем оригинал тока i(t):
2
()
i(t) =
0.2( 112.7) 500
=
2( 112.7) 1000
Fp
Fp
k
1
= 0.616
1
2
k
e
()
k
e
pt
k
e
112.7
Запишем результат: i(t) = 0.616
=
112.7t
()
Fp
11
Fp
21
t
+
− 0.416
pt
1
e
()
0.2( 887.3) 500
2( 887.3) 1000
e
112.7t
e
− 0.416
+
887.3t
()
Fp
12
Fp
()
22
.
e
e
e
887.3t
pt
2
887.3
=
t
=
.
3.7. Порядок расчета переходных процессов
операторным методом
1. Рассчитывается установившийся режим до коммутации и опре-
деляются независимые начальные значения:
)0(
u
.
C
ii
–
LL
2. Для послекоммутационного режима составляется эквивалентная
операторная схема.
3. Любым методом расчета цепей находится изображение нужных
токов и напряжений.
4. Обратным преобразованием (например, по теореме разложения)
определяются оригиналы этих токов и напряжений. Выполняется про-
0t
верка полученного решения при
.
86
0(0 ) ( )
и –()0
u
C
3.8. Примеры расчета переходных процессов
R
R
р
E
R
–
в цепях первого порядка
Задача 3.1
Найти законы изменения ()
)(
ut после размыкания ключа Кл
L
(рис. 3.7):
E = 15 B;
= 30 Ом,
1
L = 0.25 Гн.
= 20 Ом,
2
it и
L
Кл
iL(t)
R1
E
R2
L
uL(t)
Кл
E
i
)
L(0–
L uL(0–) = 0
()
Ep
Рис. 3.7
R1
p
R2
Li
IL(p)
L(0+
L
UL(p)
)
Рис. 3.8 Рис. 3.9
Решение
1. Рассчитаем установившийся режим до коммутации и определим
независимые начальные значения
ii
–
LL
0(0 ) ( )
.
В цепи (рис. 3.7) до коммутации установившийся режим постоян-
ного тока
отключен, индуктивное сопротивление равно нулю. На
1
рис. 3.8 изображена схема для расчета докоммутационного режима. По
закону Ома определяется ток в цепи:
0/15/200.75 . () (0) ()0
iER Aii
= 0.75 A.
LLL
2–
2. Для режима после коммутации в соответствии с табл. 3.2 состав-
ляется операторная схема замещения цепи, изображенной на рис. 3.9.
87
Определяются параметры операторной схемы замещения:
E
p
p
R
R
E
R
E
R
FpF
FpF
Е(p) =
00.250.( ) 75 0.1875
LLi
15
=
– изображение постоянной ЭДС Е;
– операторная ЭДС индуктивности.
3. По эквивалентной операторной схеме находится изображение
тока
Ip
и напряжений
L
()
Up
L
. Для этого:
()
– составляется уравнение по второму закону Кирхгофа
E
p
() (0)
Li I p R
LL
11
pL
;
– определяется изображение тока:
E
Li
(0 )
p
()
=
=
Ip
L
pi
pp
12
(0 )
L
12
RLp
R
L
L
L
0.75 60
=
pp
(0 )
pi
pp
p
(200)
L
L
R
12
L
()
1
=
()
2
=
; (3.17)
p
– по закону Кирхгофа определяется изображение напряжения на
индуктивности
(0 )
pi
((() ())–0 ) –0
U p LpI p Li Lp Li
LL L
L
p
p
E
L
RR
12
L
(0 )
pLi E
L
p
RR
12
L
Li
–0()
L
88
p
22.5
200
=
()
3
. (3.18)
()
p
4
4. По теореме разложения определяются оригиналы тока
FpF
F
FpF
)(
напряжения
Определяем оригинал тока
ut
L
.
()
it
по (3.17):
L
()
it
L
и
Ip =
()
L
0.75 60
p
(200)
pp
=
()
1
()
2
.
p
Для того чтобы воспользоваться теоремой разложения:
– определим корни полинома числителя:
11
0 c и 200 cpp
;
12
()
– найдем производную полинома
d
(200)
pFp
ppd
2
p :
2
= 2
2
p +200;
200 0() ( )Fp pp,
– по теореме разложения для действительных отрицательных кор-
ней (3.16) находим оригинал тока:
()
(
)
it
L
Fp
Fp
11
21
e
()
pt
1
Определяем оригинал напряжения
()
Fp
12
+
Fp
()
22
= 0.3 + 0.45
e
pt
60
2
=
200
200t
e
A.
)(
ut из (3.18):
L
0
e
90
t
+
200
t
e
200
=
Up
()
L
22.5
p
200
=
()
3
()
4
.
p
Для того чтобы воспользоваться теоремой разложения:
– определим корни полинома числителя:
1
200 cp ;
3
89
( ) 200 0Fp p;
4
– найдем производную полинома
F
L
L
–
–
p
():
p
4
()Fp
d
(
dp
p + 200) = 1;
4
– по теореме разложения для действительного отрицательного кор-
ня (3.16) находим оригинал напряжения:
(
)
ut
L
Fp
Fp
31
()
41
pt
e
22.5
1
=
200
t
e
= −22.5
200t
e
B.
1
()
Запишем найденные законы изменения тока и напряжения на ин-
дуктивности:
)0.30(.45
A и
Проверка решения:
eit
)0(
i
= 0.3 + 0.45 = 0.75 A и )0(
L
)22(.5
B.
200
t
eut
u
= 0.
L
200
t
Задача 3.2
Найти закон изменения )(
(рис. 3.10). На вход схемы подается экспоненциальный импульс напряжения:
et e
B. До коммутации емкость заряжена:
4
t
120()
= –50 В. Значения сопротивлений
Решение
1. До коммутации ключ разомкнут, в цепи ток равен нулю, емкость
заряжена и имеет значение
2. Для режима после коммутации в соответствии с табл. 3.2 составляется операторная схема замещения цепи, представленной на
рис. 3.11.
Определим параметры этой схемы:
–4
120
() ( )
e Е p
te
t
– изображение независимого источ-
ника ЭДС;
(0 )
U
C
=
50
– изображение источника ЭДС, учитывающее не-
p
зависимое начальное значение напряжения на емкости.
ut после замыкания ключа Кл
C
R = 50 Ом и емкости С = 20 мкФ.
uu
–
CC
0(0 ) ( )
= –50 В.
120
4
p
()0
u
=
C
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]