Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
12
p
p
p
it i t Be Be .
(() )
пр 12
tpt
Возьмем производные этих уравнений:
12
(())
ut u t Ape Ape
CC
it i t Bpe Bpe
пр 11 2 2
(() )
пр 11 2 2
tpt
12
tpt
,
.
Сформируем две системы уравнений для определения постоянных
интегрирования для момента коммутации
()0:t
() ()0
uu AA
uu ApAp
CC
()
0)
CC
0
пр 12
(0
пр 11 2 2
;
(2.31)
и
))
(0 (0 ;
ii BB
3.2.2. Определяем независимые начальные значения
и
uu
–
CC
0(0 ) ( )
. Рассчитываем докоммутационный режим. В цепи
пр 12
(2.32)
)
(0 (0 ) .
ii BpBp
пр 11 2 2
ii
–
LL
0(0 ) ( )
ключ разомкнут, токи и напряжения равны нулю. В цепи нулевые
начальные значения:
000 и() () ()00() 0
ii u u
––
LL C C
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
)0(i
. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи
.
(0 , (0))
iu
и
C
после коммутации (рис. 2.37) и запишем ее в момент коммутации
(0)t
, в которые подставляются законы коммутации:
Ei Ri R u i Ru
Ei Ru i R
)) )) ),(0 (0 (0 (0 (0
() ) )
0(0(0,
LL L
к
C
))) )
(0 (0 (0 0 )(0 .(0
ii i ii
LC C
51
Решая полученную систему уравнений, определяем зависимые
E
R
E
R
R
начальные значения:
ii ER u
(0 (0 / 2.5 А; )) )(0 0
i
(0 )
u
C
C
;
CL
(0 )
C
=
C
и
i
L
(0 )
(0 )
u
L
= 0.
L
Продифференцируем исходную систему уравнений Кирхгофа
(рис. 2.37), запишем ее в момент времени 0t
0(0 (0 (0 (0 (0 0,
)) )) )
iRi Ru iRu
LL L
к
и получим:
0(0 (0 (0 0,
iRu iR
(0 (0 (0 0 (0 (
))) ))0
ii i ii
или
ii
00
C
))
C
LC C
.
2
C
E
)
RC
3.3.4. Подставив найденные начальные значения в систему уравне-
ний (2.31), получим
0
E
RC
E
к
Ap
1
122
AA
к 12
RR
0.
,
Ap
Решая эту систему уравнений, определим постоянные интегрирования
и :AA
12
0– 3() /( 0В)
C
uERCApAp
С
св 11 2 2
.
0/() 2.510В/с()
ERuARRA
;
52
2ксв к 1
5
Преобразуя уравнения, получим
B
B
(0 ) (0 )
upu
CC
= –33.7 В и
1
св 2 св
pAp
12
и :AA
12
Au A
2 св 1
(–)0
C
= 3.7 В.
Подставив начальные значения в систему уравнений (2.30), получим
EE
;
RRR
E
2
RC
BB
12
к
pBp
11 2 2
.0
Преобразовав эту систему уравнений, получим значения свободных составляющих в момент коммутации:
()
iBB
св 12
(
iBpBp
св 11 2 2
Окончательно определяем постоянные интегрирования
4. Записываем полное решение для искомых величин и () ()
ut e e
C
( ) 1 – 1.254 2.754 A
it e e
EE
0 – –1.5 A
)
0 2.510A/с.
св 2 св
2 св 1
)30–33.7 3.7 В(
;
.
RRR
к
E
RC
(0 ) (0 )ipi
pBp
112
(–)0
uB
C
= – 1.254 A;
523.4 4777
= 2.754 A.
523.4 4777
tt
tt
53
,
5
и ВВ :
12
ut it:
C
B
A
R
R
R
3
30
i (0+) = 2.5 A
2
20
uC(0+) = 0
10
1
iпр = 1 A
0
0.002 0.004 0.006 0.008
uC(t)
i(t)
u
C пр
= 30 B
t
с
Рис. 2.40
На рис. 2.40 изображены графики переходного процесса для
напряжения на емкости ()
ut, и тока в цепи i(t), где кривые соответ-
C
ствуют апериодическому переходному процессу.
Задача 2.8. Включение резистора на заряженную емкость
Рассчитать переходный процесс для тока i(t), протекающего при
включении резистора
E = 150 В,
E
L
= 100 Ом,
1
R
1
iC(t)
C
uC
uL
в цепь (рис. 2.41), при заданных параметрах:
2
= 200 Ом, L = 0.3 Гн и C = 5 мкФ.
2
i(t) iL(t)
Кл
R2
Система уравнений Кирхгофа:
i
– i – iС = 0;
L
E = i
+ uL + i R2;
L R1
0 = i R2 – uC;
i
С
= C
du
С
dt
и uL = L
di
L
dt
.
Рис. 2.41
Переходный процесс в цепи описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка, составленной по законам Кирхгофа для режима после коммутации (рис. 2.41).
54
Решение
RRRLC
1. Записываем общее решение искомого тока:
() () ()it i t i t
2. Определим принужденную составляющую
.
пр св
пр
()it.
Принужденная составляющая находится по схеме замещения для
устанавившегося режима постоянного тока после коммутации при
t = ∞ (рис. 2.42).
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
Ei R iR u
пр 1 пр 2 пр
LL
0
iR u
пр 2 пр
,
C
,
iii
LC
пр пр пр
0, 0,
В уравнениях учтем, что
ii ERR
пр пр 12
iu и получим
пр пр
CL
(/)
= 0.5 А.
L
3. Находим свободную составляющую
0.
св
()it.
3.1. Составим характеристическое уравнение.
По схеме замещения (рис. 2.43) составим главный определитель
системы уравнений методом узловых потенциалов и приравняем его
нулю:
() 0ppC
уп
11
RpL R
12
.
Преобразуем полученное уравнение и приведем его к стандартному
виду:
R
2
p
р +
1
1
LRC
2
55
12
= 0,
2
2
p
pbрq
= 0,
где b =
R
1
1
LRC
2
= 1333 и q =
RR
12
RLC
2
6
10
.
Найдем корни уравнения:
2
b
pb
1,2
1
где
666.7 с
− коэффициент затухания;
2
q
2
св
666.7 745.4,j
= 745.4 рад/с − частота
св
собственных колебаний.
R1
i
E
u
L пр
L
C пр
uC
= 0
i
L пр
= 0
i
пр
Кл
C
R2
R1
L
1
1
pC
2
Рис. 2.42 Рис. 2.43
Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня:
p , процесс колебательный и свободные со-
12 св
ставляющие имеют вид (см. 2.9)
Кл
R
2
it Ae t
св св
.
t
)s )(in(
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и Ψ.
3.2.1. Постоянные интегрирования определяются из начальных
условий для искомого тока и его производной. Запишем общее решение для тока i(t) при колебательном режиме:
t
() ) s(()in
it i t Ae t
св св
56
и для производной
R
it i t Ae t A e t
(()() ) sin os( )c
пр св св св
tt
.
Запишем эту систему для 0t
(0) 0) sin ;
ii A
(0) 0
ii A A
E
(()
пр
(())sin cos().
пр св
iC(0–) = 0
uC(0–) = E
u
L
:
R1
i
) = 0
L(0–
Кл
L(0–
C
) = 0
R
i(0
2
–
) = 0
(2.33)
Рис. 2.44
3.2.2. Определяем независимые начальные значения:
00 и( 0)() () ()0
ii u u
––
LL C C
До коммутации резистор
отключен, в цепи установившийся
2
.
режим постоянного тока (рис. 2.44).
Токи в цепи равны нулю, а напряжение на емкости определим по
второму закону Кирхгофа:
() () ()0000() () (0 и )00
iiii uuE
= 150 B.
–– – –
С LL C C
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
(0 и () )0ii
.
Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для исследуемой
57
цепи после коммутации (см. рис. 2.41) и запишем ее в момент комму-
E
R
EiR
0:t
тации
Ei R i R u
00() (),
iii
LC
() () (),00 0
LL
iRu
12
2
0
C
() (
00 0(;))
iu
150 (0 200 (0
0 (0 200 150,
0
)),
i
)
ii
)).(0 (0
L
C
Из системы определяем:
(0 (0 / 0.75 А; )) (00)
iiER u
u
C
;
CL
(0 )
i
0
C
= −
C
i
()0
L
2
(0 )i
= −
C
u
(0 )
L
= 0 A/с.
L
=
C
2
5
1.5 10 В/с.
Продифференцируем исходную систему уравнений (см. рис. 2.41),
запишем ее в момент времени 0t
и подставим в нее найденные вы-
ше начальные значения:
() () () () ()
00 0 0 0 00;
iRiRu iRu
LLL
00 0 0 0;
iRu iR
00 00 () () ( 0 0 0() .)()
iii ii
LC C
12 2
() () ()
22
C
E
RC
2
Решая полученную систему, определяем производную искомого тока:
(0 (0))
i
C
58
2
2
C
3.3.4. Подставим найденные начальные значения в систему уравне-
RiE
R
R
A
A
ний (2.33) и получим:
EE
RRR
212
E
2
RC
2
sin ; 0.25 sin() (),
AA
() () 750 0 s .in cos
AA
св
Преобразуем систему уравнений и определим постоянные интегрирования A и Ψ:
0()
св
2
0sin() () (s)co ;
iA
св св
Ψ = arctg
E
−
12
RC
A = –
= 0.75 – 0.5 = 0.25 = A sin(Ψ);
R
E
2
2
(0 )
i
св
св
i
CB
(0 )
i
св
(0 )
= −0.342 А.
A
= −46.9°;
sin
4. Записываем полное решение для искомого тока с учетом исход-
ных данных i(t):
666.7
t
( ) 0.5 0.342 sin 745.4 4()6.9
it e t
A.
На рис. 2.45 изображены графики переходного процесса для тока
i(t), где кривая соответствует колебательному переходному процессу.
i(t)
0.8
) = E/
=0.75
2
i(t)
iпр = Е / (R1 + R2) = 0.5 A
0.016
t
c
0.6
0.5
0.4
0.2
i(0
+
0
0.004 0.008 0.012
Рис. 2.45
59
Задача 2.9
R
E
R
R
R
R
R
R
C
E
C
Рассчитать переходный процесс для тока 1()it, возникающий после
размыкания ключа в резисторе
рах:
= 6 В; 6C = 64 мкФ; 3L = 30 мГн;
1
= 5 Ом;
3
= 7 Ом;
4
= 5 Ом;
5
Решение
1. Записываем общее решение искомого тока классическим методом:
((()))it i t i t
11пр 1св
(рис. 2.46), при заданных парамет-
2
= 5 Ом.
6
= 8 Ом;
1
= 7 Ом;
2
.
2. Определяем принужденную составляющую
1пр
()it.
Принужденная составляющая находится по схеме замещения для
установившегося режима постоянного тока после коммутации при
t = ∞ (рис. 2.47):
iii i
1пр 3пр 4пр 5пр
R2
i2
1
R
3
i
3
L3
i4
uL3
Кл
E
1
R1
R
4
4
i1
3
R
5
u
C6
6
R
134 5
i
5
2
1
R
6
i6
Рис. 2.46 Рис 2.47
3. Находим свободную составляющую
E
1
RRR
i
4пр
i
= 0
2пр
Кл
R2
R
3
i
3пр
L3
()it.
1св
6
0.24 A.
25
R
4
R
5
i
4
1
i
1пр
R1
3
5пр
2
R
6
u
C6пр
i
= 0
6пр
6
3.1. Составим характеристическое уравнение.
По схеме замещения (рис. 2.48) составляем главный определитель
системы уравнений методом контурных токов и приравняем его нулю:
RRR R pL RR
р
() 0
кт
1345 3 15
RR RR R
15 15 6
pC
1
;
6
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]