Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
3.3.4. Подставив начальные значения в систему уравнений (2.12),
E
B
определяем постоянные интегрирования.
sin
EE A
12
00 si
AA
(),
() (n)os .c
св
Решая полученную систему, определим постоянные интегрирования:
Ψ = arctg
CB
и A = –
E
12
.
sin
4. Записываем полное решение для искомой величины x(t).
В примере записываем решение для напряжения ()
ut и строим
C
график процесса (рис. 2.6).
E
ut E e t
C
–sinarc() [ ( )]
2 св св
sin
t
tg – /
.
Ток и напржение на индуктивности можно определить по следующим соотношениям:
iiduC
C
uC (t)
10
5
uC(0–)= uC(0+) = E
0
C
и
dt
1
Рис. 2.6
utL
0.004 0.002
.
L
u
Cпр
di
d
= E2
t
с
На рис. 2.7 изображен график напряжения индуктивности
рис. 2.8 – график тока в цепи i(t).
21
()
ut
L
, на
B
–
A
t
M
M
(t)
u
L
i(
)
U
8
) = E
u
L(0+
4
0.02
0.01
t
0
4
0.002
0.004
0.006
0
с
M1
TCB
UM2
t
c
2
0.0030.002
0.006
Рис. 2.7 Рис. 2.8
На рис. 2.8 приведены графики тока в цепи i(t) и показано, как по
графику, соответствующему колебательному переходному процессу,
можно определить составляющие корней характеристического уравнения: коэффициент затухания
, где – постоянная времени,
1/
равная длине подкасательной к огибающей кривой свободных колебаний; частота свободных затухающих колебаний тока или напряжения
2/T , где свT – период колебаний. Для оценки скорости зату-
св св
хания процесса вводится декремент колебания
, равный отношению
свободных составляющих переходной величины в моменты времени,
отличающиеся на период
При этом
ln T
T :
св
()
ut
св
()
utT U
св св 2
– называется логарифмическим декремен-
св
U
1
.
том колебания, из чего можно определить коэффициент затухания
ln ( / )
UU
12
MM
T
св
.
2.3. Обобщенные законы коммутации
При проведении исследования переходных процессов в электрических цепях встречаются случаи, когда применить напрямую рассмотренные ранее законы коммутации невозможною [1]. Примеры таких
22
цепей приведены на рис. 2.9 и 2.10. В таких цепях протекают переход-
R2R
L1 L
E
E
ные процессы при мгновенном изменении реактивных параметров
участков цепи (при «некорректных» коммутациях). В таких случаях
переходный процесс можно разбить на два этапа.
i1
2
i
2
Кл
i1
1
Кл
R
C
1
u
C1
i
2
C
2
u
C2
Рис. 2.9 Рис. 2.10
Первый этап связан с перераспределением энергии между реактив-
ными элементами, участвующими в процессе, например индуктивностями
и LL
(схема рис. 2.9) и емкостями
12
и CC
12
(схема на рис. 2.10).
Данный процесс является скоротечным, вызывает большие напряжения между контактами ключа и приводит к появлению электрической
искры или дуги. Кроме того, ранее не учитывались сопротивления
проводов и контактов соединений, наличие распределенной емкости
между витками катушки и т. п. Разность суммарных энергий )(0W
)(0W
–
в реактивных элементах расходуется в неучтенных активных
−
сопротивлениях цепи и излучении при весьма высоких частотах.
Второй этап связан с дальнейшим перераспределением энергии
между источником и реактивными элементами во всей цепи. На этом
этапе и определяется основное время переходного процесса.
Для приближенного учета этого явления вводятся обобщенные за-
коны коммутации.
Рассмотрим
До коммутации
(); (00)0) (ii i
=
21 1
цепь, изображенную на рис. 2.9.
()0Ri
1
U
,
и
2
1
(0 0)()ii
22
()00i
. После коммутации
– очевидно нарушение перво-
()0i
=
1
го закона коммутации в ранее принятом виде.
23
Токи в катушках изменятся скачком, что возможно только при бес-
конечно больших напряжениях на катушках. Суммарное напряжение u
конечно. Следовательно,
uL u L
0) 0)((
11 212
LL
di
dt
Интегрируя это равенство в пределах от 0 t
01t
d
i
1
t
т. е.
или
(( ) ( )) ( ( ) ( )0 00)0Li i L i i
11 1 2 2 2
Li Li , или
11 2 2
dtL
dt
0
,
0
t
di
2
, или
2
t
dtL
dt
0
.
12
Ldi
1
0
i
1
i
1
(0 )
(0 )
di
dt
1
2
.
до 0t
, находим
(0 )
i
2
2
(0 )
i
2
,
dLi
2
Первый обобщенный закон коммутации
В момент коммутации (0)t
в любом замкнутом контуре алгеб-
раическая сумма потокосцеплений всех входящих в него катушек сохраняет свое значение, которое оно имело непосредственно до комму-
тации (0)t
. Некоторые из этих катушек перед коммутацией могли
и не составлять одного замкнутого контура, а образовали его лишь после коммутации:
()00()
.
Этот закон можно использовать и для цепей со взаимной индуктивностью.
В данной задаче
00 00; 0( 0() () () () () )()Li Li Li L L i
.
Но
Энергия магнитного поля до коммутации
11 2 2 11 1 2
()00()
. Отсюда
00(0() () ) ()0
ii i
12 1
() (0)
0
W
М
после коммутации
LL
() (00)
М
12
24
2
iW
2
L
1
L
L
12
L
1
2
i
.
2
i
;
1
LL L L L
12 1 1 1
22()
22
22
(0 ) (0 )
ii
11
2
()
LL
12
LL LL
12 12
,
WW
(()00)
ММ
.
Разность этих энергий расходуется на необратимые процессы во
время коммутации, хотя длительность коммутации бесконечно мала.
Это возможно, так как на участках цепи развиваются бесконечно
большие мощности.
Аналогично в схеме (рис. 2.10) напряжения
и
uu изменятся
12
CC
скачком ввиду большого тока между конденсаторами, т. е.
du
1
C
СС
12
d
t
du
2C
;
dt
С uCu qq
11 2 2 1 2
CC
u
1
C
С u Сd
12
(0 )
u
1
C
C
1
или 0
(0 )
u
2
C
(0 )
u
2
C
du
;
C
2
.
(0
)
Второй обобщенный закон коммутации
В момент коммутации (0)t
включенных конденсаторах перед коммутацией (0)t
сумма зарядов на всех параллельно
равна сумме
зарядов на этих же конденсаторах непосредственно после коммутации (0)t
:
)0(0 ) (QQ
.
Легко убедиться, что
(0 0)()WW
ээ
.
2.4. Примеры расчета переходных процессов
в цепях первого порядка
Задача 2.1. Включение RL-цепи на постоянное напряжение
Рассчитать закон изменения тока и напряжения на индуктивности в
RL-цепи (рис. 2.11) при подключении ее к источнику постоянного
напряжения E.
25
E
t
–
t
R
R
Кл
i
E
R
L
u
L
Рис. 2.11 Рис. 2.12
i(t) =
iпр =
(t)= E e
u
L
E
(1 – e
R
E
R
/τ
–t/τ
)
Процесс описывается неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, составленным по второму закону
Кирхгофа:
di
iL E
.
dt
Решение
1. Записываем общее решение искомого тока и напряжения класси-
ческим методом (2.1):
() ) ) и )))(( ( ( (
it i t i t u t u t u t
2. Определяем принужденную составляющую искомого тока
и напряжения
ut.
пр()L
.
пр св пр св
LL L
пр
()it
В цепи установившийся режим постоянного тока после коммутации при t = ∞ (схема замещения, рис. 2.13)
E
it u t
пр пр
и 0() ()
3. Находим свободные составляющие
Общее решение для
и () ()
it u t можно записать после расчета
св св
L
L
и () ()
it u t.
св св
. (2.13)
L
характеристического уравнения и определения его корней.
26
E
R
р
р
R
p
R
R
p
–
Кл
Кл
iпр(t) =
R
R
Zвх(р)
≈
L
E
L
Рис. 2.13 Рис. 2.14
u
Lпр
(t) = 0
3.1. Составляем характеристическое уравнение.
Для этого формируем схему замещения цепи, изображенной на
рис. 2.14. Относительно разрыва в любом месте послекоммутационной
цепи записываем входное сопротивление
)(Z
и, приравнивая его
вх
нулю, получим характеристическое уравнение
вх
Определяем корень уравнения: р = –
0() .Z р RpL
.
L
Записываем решение для свободной составляющей (2.11):
i t Ae u t Be. (2.14)
св св
tpt
и () ()
L
3.2. Определяем постоянные интегрирования A и B.
3.2.1. Записываем решение для тока ()it и напряжения ()
мент коммутации 0t
, с учетом (2.13) и (2.14) получим:
ut в мо-
L
it i t i t A
(() 0())
ut u t u t Be, ( )00
LL L
((() ) )
пр св
пр св
E
pt
e,
t
uB
E
0i
L
А
. (2.16)
, (2.15)
3.2.2. Определяем независимые начальные значения.
До коммутации
0t
ключ разомкнут, ток в цепи равен нулю и в
цепи нулевые начальные значения:
)(()00)00(
ii i
. (2.17)
LL
27
–
)0(
R
E
R
p
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения
u
.
L
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи после
коммутации (рис. 2.11) и записываем ее при
0:t
() ) и (0 )0()(
ERit ut ERi u
.
LL
Подставив (2.17), получим
)0(
uE
L
. (2.18)
3.2.4. Определяем постоянные интегрирования из (2.15) и (2.16) с
учетом (2.17) и (2.18):
E
)(0 0
0()0
и
и B = E.
iA
uBE
L
4. Записываем полное решение для ()it и
процесса и выполняем проверку полученного решения при 0t
EE
() (1– 1 –)( )
it e e
RR
) .
(
ut Ee
L
pt t
–/
t
Кривые изменения тока i(t) и напряжения ()
–A
,
()
ut, строим графики
L
–/
,
(2.19)
ut показаны на
L
.
рис. 2.12. Из графиков видно, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и требуется определенное время до наступления установившего-
ся тока
() /it ER . Напряжение на индуктивности до коммутации
пр
равно нулю, а в момент коммутации устанавливается скачком до значения
В выражении (2.19)
)0(
uE
и затем уменьшается до нуля.
L
||1/
называется постоянной време-
RL
ни, которая имеет размерность времени и может быть определена как
время, в течение которого свободная составляющая уменьшается в
e раз (e = 2.718 – основание натурального логарифма).
28
t
, i
jX
р
u
L
L
iL(t)
uL(t)
0
Рис. 2.15
Постоянная времени – может быть определена по графикам ()
ut.
или ()
L
с
it
L
Величина определяется длиной подкасательной к кривой, изменяющейся по экспоненциальному закону (рис. 2.15)
Задача 2.2. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение.
e(t)
Кл
R
L
i
Кл
I
R
Em
uL
L
ULm
Рис. 2.16 Рис. 2.17 Рис. 2.18
Рассчитать закон изменения тока и напряжения на индуктивности
в RL-цепи (рис. 2.16) при подключении ее к источнику синусоидально-
го напряжения sin() ( )
et E t.
m
Переходный процесс после замыкания ключа описывается неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, составленным по второму закону Кирхгофа (рис. 2.16):
Кл
R
≈
L
di
RL
iet.
d
t
29
()
Решение
Е
X
L
E
Z
Z
L
R
XR
L
1. Запиываем общее решение искомого тока и напряжения (2.1):
() () ()it i t i t и
пр св
2. Определяем принужденную составляющую искомого тока
и напряжения
ut. Схема замещения для расчета установившегося
пр()L
() () ()
ut u t u t.
LL L
пр св
пр
()it
синусоидального режима после коммутации (t = ∞) символическим
методом показана на рис. 2.17. На схеме:
j
Ee
– комплекс амплитудного значения ЭДС;
mm
L – индуктивное сопротивление.
L
По закону Ома определяем комплексы амплитудных значений принужденного тока:
E
m
=
m
RIjX
E
() ()j
m
=
m
eI
Z
j
e
m
и напряжения на индуктивности
() ( )90 90 ( )90jj j j
UIjXIe Xe XIe Ue
,
Lm m L m L L m Lm
RjX Ze
– комплексное сопротивление, а Z =
где
L
модуль сопротивления и его угол arctg )/(
плитудное значение принужденного тока;
j
; /
L
UXI – амплитудное
mLm
IEZ – ам-
mm
22
X
–
значение принужденного напряжения.
Запишем мгновенные значения принужденного тока
it I t
пр
si() (n–)
.
m
и мгновенные значения принужденного напряжения на индуктивности
utU t
пр
LLm
3. Находим свободную составляющую
Общее решение для
it u t можно записать после расчета
sin 9)–0(( )
.
и () ()
it u t.
св св
и () ()
св св
L
L
характеристического уравнения и определения его корней.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]