Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Окончательно
R
x
x
L
EuE
12
L
. (1.17)
()0
L
1.3. Получение дифференциальных уравнений цепи
Любой режим работы цепи, в том числе и переходный, может быть
рассчитан по системе уравнений, составленной по законам Кирхгофа.
В переходном процессе токи и напряжения цепи изменяются во времени, и система уравнений в общем случае состоит из неоднородных
обыкновенных дифференциальных уравнений. Совместное решение
этих уравнений для конкретного тока или напряжения
к неоднородному линейному дифференциальному уравнению вида
в цепи приводит
где
цепи;
nn
ax ax a x ax f t
,
01 1
a
0
,…,
n
,…,
a
– постоянные коэффициенты, зависящие от параметров
n
0
– производные искомого тока или напряжения по вре-
110
... ( )
nn
(1.18)
мени; ƒ(t) – функция, определяемая действием независимых источников напряжения или тока; n – порядок дифференциального уравнения,
который определяется числом независимых накопителей энергии для
конкретной цепи (реактивных элементов: индуктивностей и емкостей),
n определяет порядок электрической цепи. В дальнейшем будем рассматривать электрические цепи только
первого и второго порядка.
В качестве примера рассмотрим схему, изображенную на рис. 1.2.
Получим дифференциальные уравнения для расчета общего тока в цепи, напряжений на индуктивности и емкости. Для получения этих
уравнений используем составленное по второму закону Кирхгофа
уравнение (1.7) и преобразованные выражения (1.13):
du
i
udiLdt
L
LC
C
Cidti ;
du
d
LC
dt dt
idt
C
1
u
2
du
2
dt
;
C
.
L
L
LC
(1.19)
(1.20)
11
После подстановки уравнений (1.19) и (1.20) в (1.7) и простейших
R
L
L
L
E
R
преобразований получим дифференциальные уравнения для расчета
общего тока в цепи, напряжений на индуктивности и емкости:
2
di
2
du
2
dt
L
2
dt
+
+
du
R
Ldt
di
dt
+
+
i
= 0; (1.21)
C
1
u
= 0; (1.22)
LC
2
du
LdtC+ RC
C
2
du
C
uE
. (1.23)
dt
2C
Для решения дифференциальных уравнений (1.21), (1.22) и (1.23)
необходимо использовать начальные значения переменных и их производных в момент коммутации, которые были получены ранее (1.6),
(1.10), (1.15), (1.16) и (1.17):
E
21
L
EE
12
L
i
(0 )
C
C
; (1.25)
= 0. (1.26)
(0 0; 0)
ii
0–; 0() ()
uE
LL
0;
() )0(
uEu
C
; (1.24)
Eu
2
1
1
C
Метод расчета дифференциальных уравнения совместно с начальными значениями (в примере это дифференциальные уравнения (1.21),
(1.22) и (1.23) и к ним начальные значения (1.24), (1.25) и (1.26)) определяет метод расчета переходных процессов:
раторный
.
классический или опе-
12
x
x
p
p
2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.1. Основные положения классического метода
Решение дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в электрической цепи, например (1.21), (1.22) и (1.23),
классическим методом,
щих [1, 11]:
x(t) представляется суммой двух составляю-
() () ()
txtxt
, (2.1)
пр св
где x(t) – решение для определяемых после коммутации токов или
напряжений, например, () () (), ,
ututit и др.; пр()xt – принужденная
CL
составляющая, которая является частным решением неоднородного
обыкновенного дифференциального уравнения или в расчетной цепи
определяется установившимся значением искомого тока или напряже-
ния после коммутации;
()xt – свободная составляющая, которая яв-
св
ляется общим решением однородного обыкновенного дифференциального уравнения, получаемая из неоднородного, в котором правая часть
принимается равной нулю.
В общем виде решение
()xt записывается в виде суммы экспо-
св
нент:
где
pp
( ) ...
tAe Ae Ae
св 12
,,
p – корни характеристического уравнения; 1,,
1
n
12
p
n
, (2.2)
n
AA – по-
n
стоянные интегрирования.
Корни
,,
p определяются из решения характеристического
1
n
уравнения, полученного для конкретной цепи.
При непосредственном расчете диференциальных уравнений для
получения характеристического уравнения в исходных уравнениях
13
производные
p
x
x
p
d
заменяются умножением на некоторое комплексное
dt
1
число p, интегралы заменяются умножением на число
, а правая
часть уравнения полагается равной нулю:
nn
ap ap a p ap
01 1
110
... 0
. (2.3)
nn
При расчете переходных процессов в электрических цепях характеристическое уравнение чаще получают по специальной схеме замещения цепи. Составление этой схемы и получение характеристического уравнения будут рассмотрены в разделе 2.2.
Постоянные интегрирования
AA
1
определяются из решения
n
,,
системы уравнений, составленной для начальных значений искомой
функции x(0) и ее производных
ции
0t
.
1
(0),..., (0)
xx в момент коммута-
n
Для цепи первого порядка n = 1 (в цепи после коммутации имеется
один реактивный элемент) получаем одно уравнение
(0 ) (0 )
xA
пр 1
.
(2.4)
Для цепи второго порядка n = 2 (в цепи после коммутации два реактивных элемента – накопителя энергии) система уравнений примет вид
(0 ) (0 ) ,
xx AA
(0 ) (0 ) .
пр 12
xpApA
пр 11 2 2
(2.5)
Характер свободной составляющей переходного процесса для всех
токов и напряжений одной и той же цепи одинаков и зависит только от
параметров R, L и C цепи и определяется корнями характеристическо-
,,
го уравнения
p .
1
n
В дальнейших расчетах будут рассматриваться только цепи первого и второго порядка.
Свободная составляющая
функции )(0x
с установившимся послекоммутационным значением и
()xt связывает начальное значение
св
обеспечивает непрерывное приближение тока или напряжения к ее
установившемуся значению.
14
2.2. Порядок расчета переходных процессов
x
Е
классическим методом
Порядок расчета классическим методом рассмотрим на примере
рис. 1.2 и решения дифференциального уравнения (1.23) с начальными
значениями (1.26).
1. Записывается общее решение искомой величины (2.1):
() () ()
txtxt
.
пр св
В нашем примере это напряжение на емкости
ut .
св()C
() ()
ut u t
CC
пр
2. Определяется принужденная составляющая искомой величины
()xt по схеме замещения цепи для установившегося режима после
пр
коммутации при t = ∞.
В примере после коммутациии t = ∞ устанавливается режим постоянного тока, при котором индуктивность представляется закороткой, а
()
емкость – разрывом. Принужденная составляющая на емкости
ut
пр
C
определяется по схеме замещения (рис. 2.1), которая является установившимся значением напряжения на емкости после коммутации.
Кл
i
пр
= 0
u
E
2
R пр
= 0
R
u
L
L пр
= 0
С
u
C пр
= Е
2
Рис. 2.1
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
Е uuu
2 пр пр прRLC
,
учтем, что
uu, и получим:
0 и 0
пр пр
RL
u
пр 2C
15
.
(2.6)
3. Определяется свободная составляющая
p
R
R
p
D
xсвх
В примере это
3.1. Решение
уравнения
ut
св
, которые находятся из решения характеристического
к
.
св()C
()xt
определяется корнями характеристического
()xt
.
св
уравнения.
Рассмотрим несколько методов составления характеристического
уравнения.
3.1.1. Непосредственно по исходному дифференциальному урав-
нению.
В примере дифференциального уравнения второго порядка (1.23)
приравняем правую часть нулю и получим однородное уравнение:
2
du
dt
C
2
du
+
dt
L
1
C
+
LC
u
0
. (2.7)
C
В уравнении (2.7) производные
ddt заменяются умножением на
комплексное число p. В результате получается характеристическое
уравнение второго порядка, которое имеет два корня:
2
+
p
1
L
LC
q
, или
0
2
0pbр q .
Решением квадратного уравнения являются два корня:
p
1,2
0
b
2
св(0+
1
b
2
)
3
2
q
= −
b
.
2
2
t
с
Рис. 2.2
16
В зависимости от знака дискриминанта D решение для свободной
p
x
p
p
х
p
составляющей
())
ut
=
C
имеет три различных выражения.
св
()xt
(в примере напряжения на емкости –
св
1. D > 0, два действительных отрицательных корня
12
и pp
()xt
св
, про-
=
цесс в цепи носит апериодический затухающий характер (рис. 2.2, кри-
вая 1), решение имеет вид
12
()
tAe Ae . (2.8)
св 12
tpt
2. D < 0, два комплексно сопряженных корня
– pj
,
12 св
процесс носит колебательный затухающий характер (рис. 2.2, кри-
вая 2), решение имеет вид
t
где
– коэффициент затухания колебательного процесса;
() s ( )in
xt Ae t
св св
, (2.9)
– часто-
св
та собственных затухающих или свободных колебаний цепи.
3. D = 0, два равных действительных отрицательных корня,
p , процесс носит критический затухающий характер (рис. 2.2,
1,2
кривая 3), решение имеет вид
)( )(
tAAte
св 12
В выражениях (2.8)–(2.10) коэффициенты
t
. (2.10)
, , AA A и называ-
12
ются постоянными интегрирования.
3.1.2. Характеристическое уравнение может быть получено непо-
средственно по специальной схеме замещения цепи, которая составляется для послекоммутационного режима путем замены: индуктивно-
1
стей L на сопротивления pL; емкостей C на сопротивления
, вместо
C
источников остаются их внутренние сопротивления (для идеального
источника ЭДС это сопротивление равно нулю, а для идеального источника тока – бесконечно большое сопротивление). Для полученной
схемы составляется система уравнений по законам Ома, Кирхгофа или
другими методами расчета (контурных токов, узловых потенциалов),
затем главный определитель этой системы приравнивается нулю. Полученное
уравнение и является характеристическим. Характеристиче-
ское уравнение можно получить, приравнивая нулю входное сопро-
17
тивление схемы замещения цепи относительно места разрыва в любой
p
p
р
p
p
RpLR
р
ветви этой схемы.
Так, для примера к рис. 1.2 схема замещения для составления характеристического уравнения представлена на рис. 2.3.
≈
L R
1
pC
Рис. 2.3
По схеме (рис. 2.3) можно получить характеристическое уравнение
несколькими способами:
определение входного сопротивления цепи относительно разры-
ва в любой ветви цепи и приравнивание его нулю:
Z р RpL
= 0, или
вx
1
C
R
2
p
L
1
q
;
0
LC
составление главного определителя системы уравнений методом
контурных токов, законами Кирхгофа или узловых потенциалов и затем приравнивания определителя нулю. Например, методом контурных токов:
1
р R
= 0.
кт
pL
C
Рассмотрим второй пример (рис. 2.4).
На рис. 2.4 представлена схема для расчета переходного процесса
после включения ключа, а на рис. 2.5 – схема замещения цепи после
коммутации для составления характеристического уравнения.
Получение характеристического уравнения через входное сопро-
тивление цепи относительно разрыва, например в ветви с емкостью, и
затем приравнивание его нулю:
вх
()ZCp
1
+
= 0 или
pL
18
1
2
RpC
1
= 0.
LC
p
p
p
R
p
R
p
p
R
Кл
i1(t)
L
L
I1
i
(t)
2
E
R
i3(t)
С
I11
R
I
I3 I2
1
22
C
≈
Рис. 2.4 Рис. 2.5
Получение характеристического уравнения через вычисление
главного определителя системы уравнений следующими методами:
– контурных токов
RpL R
кт
RR
() ( ) 0
pRpLRR
после преобразования получим
– узловых потенциалов
+
()
уп
1
p
L
1
+ pС = 0, или
– законами Кирхгофа
1
pC
1
2
p
C
2
p
1
Cp
1
= 0;
2
LC
1
RC
1
LC
= 0;
,
111
() 0 0
ppLR RpL
зК
0
1
R
Cp
после преобразования получим
19
RL
Cp C
1
2
p
C
1
LC
= 0.
,
Примечание. Если в цепи после коммутации остается один реактивный
p
х
–
элемент, то дифференциальное уравнение будет иметь первый порядок, а характеристическое уравнение будет иметь вид линейного уравнения:
a p + b = 0 и один корень p = – b/a.
Общее решение для свободной составляющей примет вид
()
tAe . (2.11)
св
t
3.2. Определяются постоянные интегрирования (A,
, AA и ).
12
3.2.1. Постоянные интегрирования определяются из начальных
условий для искомого тока или напряжения и их производных. Так,
общее решение для напряжения на емкости при колебательном режиме
при D < 0 получаем из системы, состоящей из двух уравнений:
t
() () ( )sin
ut u t Ae t
CC
пр св
,
и для производной
tt
.
ut u t Ae t A e t
CC
пр св св св
Запишем эти уравнения для 0t
0) 0) sin
(( (),
uu A
CC
0) 0) sin co
( ( () ().s
uu A A
CC
s() () ( ) ( )in cos
:
пр
пр св
(2.12)
3.2.2. Определяем независимые начальные значения, которые со-
храняют свою величину в момент коммутации. Рассчитываем установившийся режим цепи до коммутации (см. рис. 1.5, зависимости (1.5)
и (1.6)):
00(00 и () () ) () ()00
iii u u E
LL C C
.
–1
3.2.3. Определяем зависимые начальные значения. Рассчитываем
режим цепи после коммутации (см. рис. 1.5, зависимости (1.7)–(1.17)):
i
u
()0
C
(0 )
= 0.
C
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]