Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие

Задача 3.7

R



p

R

p



Найти закон изменения 1)(it по-

Кл

R1

i1(t)

M

i2(t)

сле замыкания ключа Кл (рис. 3.24):

E = 100 B,

= 20 Ом, 1L = 0.04 Гн,

2

L = 0.08 Гн, CK = 0.06

2

= 10 Ом,

1

E

L

1

Рис. 3.24

L

2

Решение

1. До коммутации ключ разомкнут, цепь обесточена и в цепи нулевые начальные значения

000, () () () (000)ii i i

1– 1 2– 2

.



2. Для послекоммутационного режима, в соответствии с табл. 3.2, составляем операторную схему замещения цепи (рис. 3.25).

Определяем величину взаимной индуктивности

MK LL

= 0.034 Гн и параметры схемы замещения:

((()) / 100 ( ( )/; ) 0 0; ) 0 0

E р Ep pE р Li E р Li

    ;

111 2 22

LL



R2

=

12C

E р Mi E р Mi

E(p)

)00; (() () )0(0

12 1 21 2

MM

Кл

.



1

M

I

(p)

I1(p)

L1

2

L

2

R

L1i1(0+) L2i2(0+) Mi2(0+) Mi1(0+)

Рис. 3.25

3. По эквивалентной операторной схеме составляем уравнения по второму закону Кирхгофа в операторной форме:

()( ()()( – ) / 0 0 ),

IpR pL I ppM Ep Li Mi



1112 1 1

 

– ( ( ) ())( –0().)0







IppM I pR pL Li Li

1222 22



L





101

2

Подставим исходные данные в систему уравнений:

р



p

pI

FpF



)(10 0.04) – ) 0.034 100 / ,

((

Ip p Ipp p



12

 

– 0.034 20 0.08 0

Ipp I p p







() () .()

12



Решим с помощью определителей систему уравнений:



10 00.4 0.034

   

зк



( ) (10 0.04 )(29 0.08 ) (0.034 )







  

рр

ррр

0.034 20 0.08

100 0.034



( ) 20 0.08

11



0200.08



р

p р



100

р



р

.

р

2

;

Найдем изображение тока

()

1

(())

I р p

111

1

 =

()



4. По теореме разложения определяем оригинал тока

():Ip

1

3913.9 9.785 10

( 782.8 9.785 10 )

pp p

p



24



5

=

)(it. Для этого:

1

– определяем корни полинома знаменателя

241

   

21

23

782.8 9.78() ( )5 10 0 : 0 c ,Fp pp p p

( 394.4) 9.785 10394.4 394.4 235.2 cp    ,

 

23

21

156.1 c , 626.6 cpp

11

4



;

– находим производную полинома знаменателя

d



   .

2

32 42 4

782.8 9.7() ( )85 10 3 1565.6 9.785 10Fp p p p p

dp

По теореме разложения для одного нулевого и двух действитель-

ных разных отрицательных корней (3.13):

()

i(t) =

()

Fp

11



Fp

()

21

pt

e

1

+

12



Fp

()

22

e

()

Fp

pt

2

+

Fp

33



Fp

()

43

pt

1

e

=

()

1

()

2

.

p

102

9.785 10

E

C









K

А

E

R

K

A

=

9.785 10

5



e

4



3.675 10

t

0

+

7.344 10



= 10 – 5



e

156.1t



5



156.1

e

4

– 5

14.739 10



t

+

2.947 10

626.6t



e

A.

5

e

4





626.6

t

=

R4

Кл

R

5

i

5

6

R

6

uC(t)

(t)

u

R2

R

3

i

2

L1

i1(t)

R

1

L

Рис. 3.26

Полное решение искомого тока:

i(t) = 10 – 5

Проверка решения: для



e

0t

(0 (0)))(0

ii i

626.6t



– 5

e



L С



A.

= 10 – 5 – 5 = 0 А.

156.1t

Задача 3.6

Найти закон изменения тока 1)(it и напряжения ()

раженной на рис. 3.26, после размыкания ключа «Кл» для двух значений емкости

затухающий переходный процесс, и

СС, которая обеспечивает в цепи колебательный

55

СС , обеспечивающей апери-

55

одический переходный процесс.

Заданы параметры цепи:

= 3 Ом,

3

С

=569 мкФ,

5

= 5 Ом,

4

С

5

= 142 мкФ.

= 100 B,

6

= 4 Ом,

5

= 6 Ом,

1

= 4 Ом,

6

ut в цепи, изоб-

L

= 6 Ом,

2

L

= 0.08 Гн,

1

103

Решение

–





1. До коммутации ключ замкнут, в цепи установившийся режим постоянного тока, емкость заряжена до напряжения

тивности протекает ток

()0i . По законам Кирхгофа определяются

1–

()0

u , в индук-

C

независимые начальные значения в цепи до коммутации, рис. 3.27:

00и() () 0 0( () )

ii u u

R

3

1– 1 –

R5

u

C(0–

i

3

Кл

5(0–

)

) = 0

R4

E

6

R



CC

2

R6

.



1

2

uL(0–) = 0

i3(0–)

i2(0–)

2

R1

i

1(0–

)

Рис. 3.27

Для узла 2 составляем уравнение по первому закону Кирхгофа, а

для первого и второго контура уравнения по второму закону Кирхгофа

(учтитываем, что

()0)0:i

5–

() () ()

ii i



1– 2– 3–

 

() ()( ) ,

iRi RR E



1– 1 2– 2 6 6

0000.



0





() ()(

iRi RR



1– 1 3– 3 4



0.)00



В полученные уравнения подставляем исходные данные:

6 0 10 0 100,

() ()

ii

 

60 8





1– 2 –



ii

() 0 0.()

1– 3–

104

Решая систему, определим токи:







E



p

E

p







p

() ()0 4.26 A, 0 7.46 A и ()0ii i 

1– 2– 3–

= 3.2 A.

Напряжение на емкости до коммутации определим из уравнения,

составленного по второму закону Кирхгофа для третьего контура:

00 0 () ) 0() (

uiRiR

–2–23–3

C

() () (006 03 и )()0

uii u

CC

  −54.4 В.

–2–3– –

;



Окончательно записываем законы коммутации:

004.26 A() () (); )0(0

ii u u

   −54.4 В.

1– 1 –



CC

2. Для послекоммутационного режима составляется операторная схема замещения, рис. 3.28.

I

(p)

5

R5

R3

I11(p)

(0 )

U

5

C



1

p

C

I2(p)

R

2

6

p

5

R6

)

Li

(p)

I

22

R1

L(0+

L1

I1(p)

Рис. 3.28

Определяем значения элементов схемы замещения:

(0 )

p

105

=

100

;

54.4 B · c.

E(р) =

E р Li

() )0(

LL

E р

C

= 0.08·(− 4.26) = −0.3408 В · c;

U

()

C

 =

3. Методом контурных токов составляем систему уравнений:



p









р

p

pI





(0 )

  



) –

((,

IpR R R I pR

11 2 3 5 22 2

  

 

1

pC p



5

)

 



((

–) ) ()( .–0)

IpRI pRRR pL Li



11 2 22 3 5 1



1

U

C





E

L

p

После подстановки данных в уравнения получаем:



() () ,

Ip I p

11 22

 



  

()

– 6 16 0.08( )( ) – 0.3408.

Ip I p



11 22



1 54.4

13 – 6







Cp

p



5

p



100





p

Решаем систему уравнений с помощью определителей:

 

р p

   

() 13 (16 0.08) 6

кт

 



1



13 6

pC

5

6160.08





13

pC p

()

 

p

22



6 0.3408



   

 

1 100 54.4

13 0.3408 6 .

 

Cp p



5

 

pC



p

1 54.4

5

100

p

1

5



 



Подставив исходные данные, получим изображение искомого тока

)(:I

1

(())

I р p

122

()

2

 =



()

 

pp p

 



2

165

 

 



2

4.26 936

pp

0.328 96.05

CC

55

. (3.19)

0.077 15.38

CC

55

2

,

106

Полученное выше выражение используется для определения ори-

FpF



гинала тока цессе, при заданных значениях емкости

С

569 мкФ.

5K

4. По теореме разложения определяется оригинал тока

)(it

в апериодическом и колебательном переходном про-

1

СС

55A

142 мкФ и

)(it

1

.

4.1. Для апериодического переходного процесса задаем в (3.19)

СС 142 мкФ и получаем изображение искомого тока:

55A

2

4.26 3243 6.77 10

pp



(()

I р

 =

1

25

pp

707 1.083 10 )

p



5

()

1

()

2

.

p

С 

5

По теореме разложения определяем оригинал тока

()it

. Для этого

1

находим:

– корни полинома знаменателя

251

   ;

21

23

707 1.083 10 0; () ) ,0 c(Fp pp p p

( 353.5)353. 1.083 105 p   = − 353.5 ± 129.08 1c,

23

2

11

483 c ; 224 cpp

 

5



;

– производную полинома знаменателя

d



   .

2

32 52 5

707 1.083 1( 0 3 1414.6 1.083)( ) 10Fp p p p

ppd

В соответствии с полученными корнями по теореме разложе-

ния (3.16) определяем оригинал искомого тока:

()

(

)

it



6.77 10

=



1.083 10

Fp

111



Fp

21

5

()



()

t

0

e

pt

1

e

+

1.04 10



+

1.251 10

()

Fp

12



Fp

()

22

5



e



483

e

pt

2

+

t

+

Fp

13



Fp

23

1.64 10



5.8 10



e

()

pt

5

4

3

=

t



224

e

=

107

= –6.25 – 0.829







FpF



j

)(it

= – 6.25 – 0.829

1

Проверка решения: для



e

+ 2.82

483t



e

0t

()0i

= −6.25 – 0.829 + 2.82 = −4.26 А.

1

e

+ 2.82



224t

e



A.

224t

A.

483t

Напряжение на индуктивности можно определить исходя из

найденного тока

():it

1

()

ut L



L

1

di

dt

1

= 32

483t



e

− 50.5

224t



e

B.

4.2. Для колебательного переходного процесса задаем в (3.19)

С 569 мкФ и получаем изображение искомого тока:

5K

(

I р

1

2

4.26 1512 1.69 10

pp



)



24

(3012. )

pp p



710

5



=

()

1

()

2

.

p

С 

5

По теореме разложения определяем оригинал тока

()it. Для этого

1

находим:

– корни полинома знаменателя

241

 

21

и

 ;

23

301 2.() ( )710 0: 0 cFp pp p p

21

150 27 00150 150 66.7 c0pj

– производную полинома знаменателя

d





2

32 4 2

301 2.7 10 3 602 27 0)( ) 00(Fp p p p p p

dp

.

По теореме разложения (3.16) и (3.17):

4



e

5

t

0

+

e



( 150 66.7)

t

=

()

it



   



2Re

4.26( 150 66.7) 1512( 150 66.7) 1.69 10



 



Fp

21

3( 150 66.7) 2( 150 66.7) 27000

  

Fp

111

(

)

pt

1

e

+ 2Re

()

25

jj

22

jj

()

Fp



12





Fp



22

e

()

pt

2



1.69 10

=

2.7 10

108

= −6.25 + 2Re

j







6.25 2 Re 1.1()

  

 

6.25 2.2 cos 66.7 25.5 )1(

    

6.25 2.2 sin (200 64.49 )

    A.

( ) 6.25 2.2 sin (200 64.49 )

Окончательно

it e t

1

Проверка решения: для

= − 6.25 + 1.99 = − 4.26 А.

Задачи для самостоятельного решения

4 39.37

j



 

2.4 10





2.18 10



150 25.51 66.7



eee

ee

et

e

4 64.9

tjjt

150 66.7 25.5(1)

tjt



150

t



150

t



  

0t





( 150 66.7)

e



j

e

(6.25 2.2 Re )

150

t



0 6.25 2.3sin (64.)9)(4i

1

 



t

=

A.

Задача 3.7

Найти закон изменения ()

размыкания ключа Кл (рис. 3.29):

E = 24 B, R = 0.12 кОм, L = 30 мГн, C = 1 мкФ.

ut после

C

L

Кл

E

C

R

uС(t)

Рис. 3.29

2000

t

Ответ:

) 24 36.93 cos (5416(130.5)

ut e t

С

 В.



109

R



C

Кл

R

1

Задача 3.8

Найти закон изменения 2()ut по-

сле замыкания ключа Кл (рис. 3.30):

L

U

0

R2

u2(t)

Рис. 3.30

U =15 B, L = 50 мГн,

0

= 1.2 кОм,

1

= 1.8 кОм.

2

)156(

ut e

Ответ:

2



14400



t

В.

Задача 3.9

Найти закон изменения

размыкания ключа Кл (рис. 3.31):

U = 5 B, L = 0.25 Гн,

0

= 0.5 кОм,

1

= 0.1 кОм.

2

2400

Ответ:

)30(tut e

2



 В.

Ответ:

L

E

R

Рис. 3.32

) 5 5.08 cos 1392()70(01

ut e t

2



2

сле замыкания ключа Кл (рис. 3.32):

u2(t)

2500



Кл

R2

()ut после

R

1

U0

L

Рис. 3.31

Задача 3.10

Найти закон изменения 2()ut по-

E = 5 B, R = 2 кОм, С = 0.1 мкФ, L = 50 мГн.

t

В.

u2(t)

110