Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
B
L
L
uL(t)
30
20
uL(0+) = 20 В
10
t
0
10
0
0.005
0.01 0.015 0.02
Рис. 2.57
4. Записываем полное решение для )(Lut и проводдим проверку
решения в момент коммутации 0t
250
) 30.2 sin 661.4 41.4 В(()
ut e t
L
и при t → ∞.
t
.
Проверка решения:
при
при t → ∞
График напряжения )(
0t
(20 30.2 sin 41.4 B;)
u = 0 В.
пр
ut показан на рис. 2.57.
L
с
2.6. Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.11
Найти закон изменения ()
размыкания ключа Кл (рис. 2.58):
E = 25 B, R = 50 Ом,
L = 0.25 Гн, C = 10 мкФ.
ut после
C
i(t)
E
C
Кл
uC(t)
R
100
t
Ответ:
ut e t
25 80.1 sin (625 – 18(.2))
С
71
Рис. 2.58
В.
Задача 2.12
L
C
uL(t)
U
R
Кл
IK
C
Найти закон изменения ()
кания ключа Кл (рис. 2.59):
U = 20 B, I
= 0.1 А.
K
R = 400 Ом, L = 0.05 Гн, C = 2.0 мкФ.
ut после замы-
L
1551 6449
tt
Ответ:
() 1 0.2 – 10.2
ut e e
В.
L
Рис. 2.59
Задача 2.13
Найти закон изменения тока i(t) после
переключения ключа Кл из положения 1
в положение 2 (рис. 2.60):
U = 10 B, I
= 1 А,
K
R = 5 Ом, L = 0.25 Гн,
C = 10 мкФ.
100
t
Ответ:
( ) –1.01 sin 1997 .()87 1
it e t
А.
Задача 2.14
E
Ответ:
L
U
R
Рис. 2.61
ut e t
2
Кл
0
) –42.8 sin 331((7)–2 .9
u2(t)
625
t
Найти закон изменения
после замыкания ключа Кл (рис. 2.62):
E = 50 В,
R = 40 Ом, L = 0.1 Гн,
C = 20 мкФ.
L
i(t)
1
C
U
R
Рис. 2.60
0)(
uU
С
0
В.
Кл
IK
2
20 B,
()ut
2
72
Задача 2.15
R
R
R
R
R
L
Найти закон изменения i(t) после
размыкания ключа Кл (рис. 2.62).
На вход схемы подается напряже-
ние () 17sin(314 60)ut t B.
= 4.2 кОм,
1
= 0.5 кОм,
2
C = 2 мкФ.
Ответ:
( ) 3.79 sin 314 35.8 – 1.1)6 (
it t e
мА.
Задача 2.16
i(t)
Кл
e(t) R1
R2
Рис. 2.63
Ответ:
( ) 3.87 sin (314 – 6.47 ) – 2.55
it t e
A.
i
(t)
1
Кл
C
u(t)
R2
Рис. 2.62
119
t
Найти закон изменения тока i(t)
после размыкания ключа Кл
(рис. 2.63).
e(t) = 311 sin(314t + 45°) B,
= 50 Ом,
1
= 10 Ом,
2
L = 0.2 Гн.
250
t
Контрольные вопросы и задания
1. Какой процесс называется переходным? Дайте определение до-
коммутационного, принужденного и свободного режимов.
2.
Возможен ли переходный процесс в резистивной цепи?
3.
Как определить длительность переходного процесса?
Сформулируйте законы коммутации.
4.
73
5. Как определяются независимые и зависимые начальные усло-
R
R
R
R
вия?
6.
Как составить характеристическое уравнение? Для чего оно
необходимо?
7.
Как по графикам определить постоянную времени? Каков ее фи-
зический смысл?
8.
Как по виду корней характеристического уравнения определить
характер переходного процесса? Запишите решение для свободной составляющей.
Как определить порядок электрической цепи?
9.
10.
Какие составляющие имеют решение для искомых токов или
напряжений классическим методом?
11.
Каков порядок расчета переходного процесса в цепи классиче-
ским методом?
12.
Для цепи, изображенной на рис. 2.58, E = 100 B, R = 150 Ом,
L = 0.2 Гн, C = 20 мкФ, определить корни характеристического урав-
нения и записать решение в общем виде для напряжения на индуктивности.
13.
Для цепи, изображенной на рис. 2.59, U = 20 B, ток источника
тока I
Сu
= 0.1 А, R = 400 Ом, L = 0.05 Гн, C = 2.0 мкФ, определить
K
)0(
и )0(Сu
14.
Для цепи (рис. 2.60) R = 25 Ом, L = 0.25 Гн, C = 20 мкФ, опреде-
.
лить корни характеристического уравнения и записать в общем виде
решение для тока на конденсаторе.
0)(
15.
Для цепи (рис. 2.61) E = 150 В,
L = 0.1 Гн, C = 20 мкФ, определить
16.
Для цепи (рис. 2.62) (() 25sin 45)314ut t
= 510 кОм, C = 2.2 мкФ, определить
2
17.
Для цепи (рис. 2.6) ( ) 220sin (314 15 )et t
= 10 Ом, L = 0.2 Гн, определить
2
ii
СС
u
L
u
0 и () ()0
= 50 B, R = 40 Ом,
С
.
B,
)0(
i
.
C
B,
)0(
.
= 1.2 кОм,
1
= 50 Ом,
1
74
3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
3.1. Основные положения операторного метода
Операторный метод позволяет рассчитывать дифференциальные
уравнения, описывающие переходные процессы в цепи, с помощью
интегрального преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа дает
возможность перейти от непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений, как это проводится в классическом методе, к
расчету систем алгебраических уравнений, записанных в операторной
форме. При этом все электрические величины: токи i(t), напряжения
u(t) и ЭДС е(t), являющиеся функциями времени и называемые оригиналами, заменяют их операторными изображениями I(p), U(p) и E(p).
Впервые операторный метод был применен для расчета систем линейных дифференциальных уравнений русским математиком М.Е. Ващенко-Захарченко в 1862 г. Затем этот метод был разработан
учёным О. Хевисайдом и другими математиками [1].
английским
3.2. Преобразования Лапласа,
его основные свойства
Связь между изображением F(p) и оригиналом f(t) устанавливается
с помощью интеграла Лапласа (прямое преобразование Лапласа):
–
F(p) =
где p = δ + j – комплексное число, называемое оператором.
После расчета системы алгебраических уравнений в операторной
форме и определения изображения искомого тока или напряжения с
0
fedtt
75
()
pt
, (3.1)
помощью обратного преобразования Лапласа (интеграл Бромвича) пе-
f
p
p
реходят от его изображения к оригиналу:
n
Res ( )
1
k
Fp e
k
pt
k
. (3.2)
f(t) =
1
2
pt
e
F(p) dp =
L
j
Интеграл (3.2) является контурным интегралом функции ком-
плексной переменной, охватывающий все полюса функции
F(p), и
определяется с помощью теоремы о вычетах или теоремы разложения [9, 10].
В краткой форме переход от оригинала к изображению и обратно
обозначается стрелкой:
F(p) f(t), или F(p) = L{f(t)}.
f(t) F(p), или f(t) = L
Таким образом, операторное изображение
функции времени
числа
функция
p. Для того чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение,
f(t) должна удовлетворять условиям Дирихле, т. е. за любой
f(t) является функцией некоторого комплексного
–1
{F(p)}.
F(p) действительной
конечный промежуток времени иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, а также условию,
что при
t > 0 | f(t)| < Ae
at
, где A и a – некоторые положительные числа, т. е. функции должны иметь ограничения в своем росте. В этом
смысле почти все функции токов и напряжений в электротехнических
устройствах удовлетворяют этим требованиям.
Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:
1) ( ) ( )
af t aF p , где a – постоянная величина;
() () ( ) ( )
tft FpFp
2)
12 1 2
f
3)
4)
f
– установившееся значение.
lim ( )0()
– начальное значение;
p
lim ()()()
p
Fp
Fp
0
– алгебраическая сумма функций;
76
3.3. Изображение простейших функций, их сумм,
p
p
A
A
A
p
–
f
интегралов и производных
Рассмотрим пример преобразования Лапласа.
Пусть
Найдем изображение постоянной
F(p) =
Окончательно для
f(t) = A = const.
–
pt
etAd
0
А:
A
pt
()
epdp
0
A
p
e
t
f(t) = A изображение F(p) = /Ap
1
=
pt
0
11A
p
ee
A
=
0
.
0
№
п/п
1 A
2
3
4
5
6
7
Оригинал f(t) Изображение F(p)
Производная: (t) =
() ft A
= F(p). (3.3)
Примеры изображений функций
t
e
sin(t + )
cos(t + )
n
t
dt
te
A
()ft
() () )
Таблица 3.1
p
p
sin cosp
22
cos sinp
22
p
n
1!n
p
1
()p
2
(0ppFpf
t
8
Интеграл: (t) =
0
dt + (0+)
()
t
77
()
()
Fp
p
pp
(0 )
3.4. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
I
Рассмотрим узел цепи, изображенной на рис 3.1. Для токов, входящих в узел, составим уравнение по первому закону Кирхгофа для
мгновенных значений:
)0; ((((( –) )– ) )0
it it it it it .
i
К уравнению применим преобразование Лапласа:
1234
))–(( ) ) – )((( )–))((()0(
ititititedt IpIpIpIp
1234 1 2034
–
pt
.
i2(t)
i1(t)
(t)
i
3
(t)
i
4
Рис. 3.1 Рис. 3.2
I2(p)
1
I
(p)
(p)
4
I
(p)
3
На рис. 3.2 представлен элемент соответствующей операторной
схемы замещения с операторными изображениями токов в ветвях.
Обобщив полученные соотношения для заданного узла, можно
сформулировать
первый закон Кирхгофа в операторной форме.
Для любого узла операторной схемы замещения цепи алгебраическая сумма изображений токов в ветвях, подходящих к узлу, равна
нулю:
)0(()
Ip
. (3.4)
i
Для получения второго закона Кирхгофа возьмем элемент послекоммутационной цепи с замкнутым контуром (рис. 3.3).
Для замкнутого контура составим уравнение по второму закону
Кирхгофа:
iR u u e t et
RCL
.
(())
21
78
После подстановки
L
p
R
E
E
R
e2(t)
iL(t)
R
1
iR(t)
C
uL
1
udt
C
t
1
iidt
CR
C
0
i
(t)
C
uC
(t)
e
1
L
t
0
+
и
i
CC
d
L
L
.
dt
IL(p)
dLui
L
() ()
et eit
21
E2(p)
iL(0+)L
dt
R
1
(0 )
U
–
C
U
(p)
L
pL
получим
IR(p)
(p)
I
C
1
pC
E1(p)
UC(p)
Рис. 3.3 Рис. 3.4
Возьмем интеграл Лапласа от правой и левой части уравнения, с
учетом преобразований табл. 3.1 получим
i
R
00 0
t
1
idt L eRee
C
C
di
tdd
dt
( )
21
–
pt pt
L
–
et
.
В полученном соотношении перейдем к изображениям:
((())–0)
IpR LpIpLi
() (0)
Ip
1
CC
(3.5)
Cp p
LL
U
21
pEp
)),
((
или
((()))())(
UpUpUp Ep Ep
RCL
где
, () ()
pEp – изображение ЭДС
12
изображение напряжения на резисторе;
,
21
и() ) (et e t; () ()
12
() ()– ) (0
U p LpI p Li
LLL
Up IpR
79
RR
–
–
изображение напряжения на индуктивности;
p
(0 )
U
C
– изображение напряжения на емкости.
Up Ip
() ()
C С
1
pC
p
Преобразовав (3.5), получим уравнение, составленное по второму
закону Кирхгофа в операторной форме для заданного контура:
IpR IppCLpI p
((()))
R С L
0– () ( ()– )
Li E p E
. (3.6)
L
1
(0 )
U
C
p
21
Полученное уравнение соответствует схеме замещения участка
цепи в операторной форме, которая показана на рис. 3.4. Его можно
обобщить и записать как
форме
.
второй закон Кирхгофа в операторной
Для любого замкнутого контура схемы замещения цепи в операторной форме алгебраическая сумма операторных изображений
напряжений на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных изображений ЭДС всех источников того же контура.
{ ( )} { ( )}
Up Ep
ii
. (3.7)
Полученные соотношения можно сформировать в виде табл. 3.2,
которая позволяет получить любые операторные схемы замещения для
расчета переходных процессов.
Рассмотрим участок схемы замещения цепи (рис. 3.5) с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости с нулевыми начальными значениями:
00 0 и() 0 0 0() () ()
ii u u
––
LL C C
.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]