Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox
.pdf
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 51
Ðèñ. 2.4. Структурная схема дискретной системы
Сформируем следующие команды (в дополнение к приведенным выше):
sys2 = tf(1,conv([den1], [Tm 0]))
Ts = 0.01;
sys2d = c2d(sys2,Ts);
regd = tf([T1 +Ts -T1],[T2 -T2],Ts);
sysd = series(regd, sys2d);
sysd1=feedback(sysd,1);
figure(4)
bodemag(sysd1)
grid (Ï. 2.1.4)
Первая команда формирует систему sys2 с передаточной
функцией (2.1), команда ñ2d «устанавливает» на ее входе фиксатор с периодом дискретности T
, regd представляет собой цифро-
s
вой регулятор с дискретной передаточной функцией (2.9) и периодом повторения вычислений T
, команда series формирует ра-
s
Ðèñ. 2.5. Диаграмма Боде для замкнутой дискретной системы
52 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
зомкнутую систему, а команда feedback замкнутую. В результате
будет построена АЧХ замкнутой дискретной системы (рис. 2.5). Ее
полоса пропускания почти не изменилась, а максимум M
возрос
r
от 2.3 для непрерывной системы до 3.2 для дискретной, что говорит о том, что последняя будет иметь значительно большее перерегулирование. Отметим, что характеристика строится только до
частоты π/T
.
s
2.1.2. Сингулярные величины. Для MIMO систем команда bode
строит массив характеристик — зависимости между каждым входом и каждым выходом, каждая из которых имеет свое значение
. В то же время целесообразно иметь некоторый единый пока-
M
r
затель для оценки таких качеств MIMO как колебательность и робастность. Таким показателем являются сингулярные величины.
Для матрицы À с комплексными элементами размера m x n ýòî ð
положительных квадратных корней из собственных значений матрицы А*А, где А* — транспонированная матрица с комплексно
сопряженными элементами, ð = min (m,n):
(2.10)
i = 1...p, причем σ
σ
eig= ()A*A
ii
> ... . В нашем случае элементы матри-
1>σ2
öû À есть передаточные функции, т. е. являются функциями s = jω,
следовательно, и σ
есть функции ω. Команды sigma(A) èëè
i
sigma(sys) и строят эти функции. Для SISO команды bodemag è
sigma дают одинаковые характеристики. Особое значение имеет
характеристика для σ
обозначается как ||A||
систем, является аналогом величины M
дает с ней в этом последнем случае. Обозначим σ
величину σ
. Приведем основные соотношения для сингулярных
i
. Ее максимум называется infinity-нормой и
1
. Эта величина, используемая для MIMO
∞
для SISO систем и совпа-
r
минимальную
ð
величин:
1. σ
Здесь под
= maxx||Ax||2при условии ||x||2= 1. (2.11)
1
понимается евклидова норма вектора, т. е. его
•
2
длина, равная корню квадратному из суммы квадратов его проекций. Приведенное соотношение означает следующее. Если придавать вектору õ единичной длины различные положения, то и длина «выходного» вектора Àõ будет изменяться. При нахождении
вектора õ в наиболее «удачном» положении, когда длина «выходного» вектора максимальна, эта длина и будет равна σ
2. σ
= minx||Ax||2при условии ||x||2= 1. (2.12)
ð
.
1
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 53
Таким образом, σр— длина «выходного» вектора Àõ в наиболее «неудачном» положении õ.
3. Значения абсолютных величин собственных значений мат-
ðèöû À заключены между σ
4. Если обратная матрица À
è σ1.
ð
-1
существует, то
= 1/σ1(À-1). (2.13)
σ
ð
5. σ
6. σ
7.
(A+B) ≤σ1(A)+σ1(B). (2.14)
1
(AB) ≤σ1(A) σ1(B). (2.15)
1
n
∑
i
2
σ
Sp
=
(*)AA
i
=
1
. (2.16)
Здесь Sp означает след матрицы — сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали.
С использованием этой нормы мы будем иметь дело далее.
Для ее получения можно воспользоваться командой
[ninf,fpeak] = norm(À,inf),
которая возвращает значение нормы ninf и частоту fpeak, при которой этот максимум достигается.
2.1.3. Диаграмма Найквиста. Диаграмма Найквиста представ-
ляет собой график амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы АФХ, построенный в комплексной плоскости, с частотой как параметром. Диаграмма Найквиста дает возможность
оценить устойчивость замкнутой системы, в том числе при неустойчивой разомкнутой системе, для не минимально-фазовой системы и при множественных пересечениях графиком Боде нулевого
уровня. Замкнутая система будет устойчива, если при изменении
частоты ω îò −∞ äî ∞ число обходов АФХ точки [−1,0j] равно числу полюсов разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости (т. е. неустойчивых). Если разомкнутая система таких полюсов
не имеет, то условие устойчивости формулируется так: АФХ не
должна охватывать точку [−1,0j]. Для построения диаграммы
Найквиста служит команда
Nyquist(sys,{Wmin,Wmax}). (Ï. 2.1.5)
Возможно также строить несколько диаграмм на одном графике, указывая имена систем через запятые.
Модули комплексных чисел, принадлежащих диаграмме Найквиста, могут на несколько порядков превосходить 1, т. е. ту об-
54 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
ласть, которая нас интересует, в связи с чем часто приходится рассматривать графики для различных диапазонов частот. Имеется
возможность рассмотреть эту область в увеличенном масштабе.
Для этого нужно щелкнуть на графике правой кнопкой мыши, при
этом появится ниспадающее меню, в котором выбирается опция
«zoom on». Возможно также, вызвав опцию «characteristics» и далее
«minimum stability margins», отметить точки, соответствующие запасам по фазе и по амплитуде. Далее, если установить указатель
мыши на какую-либо точку графика и щелкнуть левой кнопкой, то
на экране появятся название системы, вещественная и мнимая координаты графика, а также частота, соответствующая этой точке.
Команда «grid» для этого графика вызывает не построение прямоугольной сетки, а строит семейство кривых, каждая из которых соответствует какому-либо постоянному значению амплитуды замкнутой системы. Пересечение кривой Найквиста с какой-нибудь
кривой из этого семейства дает значение амплитуды замкнутой
системы при частоте, соответствующей точке пересечения.
На рис. 2.6 приведен график Найквиста для системы (2.1),
(2.2). Формирование системы sys было описано выше. Она не
имеет полюсов в правой полуплоскости, и кривая АФХ не охватывает точку [−1,0j], следовательно, система устойчива. Точка А
пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса определяет
запас по фазе: он равен углу, который образует вектор, проведенный из начала координат в эту точку, с отрицательно на-
Ðèñ. 2.6. Диаграмма Найквиста для системы (2.1), (2.2)
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 55
правленной осью абсцисс. Точка B определяет запас по амплитуде: он равен обратной величине абсолютного значения координаты этой точки на вещественной оси. Имеем δθ ≈ 49°,
Gm ≈ 1/0.12 = 8.3, что согласуется с приведенными ранее данными. Точка С, в которой АФХ пересекает кривую 2 дБ, соответствует частоте~25 рад/с, что можно видеть, щелкнув левой кнопкой при указателе, установленном на эту точку. Действительно,
это совпадает с результатом рассмотрения АЧХ замкнутой системы, приведенной на рис.2.3.
На рис. 2.7 приведена диаграмма Найквиста для той же системы, но при уменьшении Т
в 10 раз. Теперь АФХ охватывает точку
2
[−1,0j], следовательно, система неустойчива.
Ðèñ. 2.7. Диаграмма Найквиста для неустойчивой системы
2.1.4. Диаграмма Никольса. Диаграмма Никольса представляет
собой шаблон для построения графика амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы АФХ в осях: ось абсцисс —
фаза, линейный масштаб, ось ординат — амплитуда, логарифмический масштаб. Шаблон содержит семейство кривых постоянных
амплитуд и семейство кривых постоянных фазовых сдвигов замкнутой системы. На рис.2.8 показана диаграмма Никольса для системы (2.1), (2.2), построенная командами
nichols(sys, {5, 200}).
grid.
56 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.8. Диаграмма Никольса системы (2.1), (2.2)
Как видно, масштаб получается достаточно мелким, и детали
диаграммы рассмотреть трудно. Для получения информации о запасах устойчивости нужно на графике щелкнуть правой кнопкой
и в появившемся меню вызвать опцию «characteristics» и далее
«minimum stability margins». При этом появятся точки, отмеченные
на рисунке как «А» и «В». Если теперь поместить курсор мыши в
точку «А», то на экране появится текст, говорящий о запасе по
фазе в 49.4 град при частоте 29.6 рад/с. Если теперь поместить
курсор мыши в точку «В», то на экране появится текст, говорящий
о запасе по амплитуде в 18.8 дБ (что соответствует Gm = 8,7) при
частоте 132 рад/с.
2.1.5. Диаграмма собственных значений. Команда
[cg,ph,w] = cgloci(ss)
вычисляет собственные значения λiпередаточной матрицы системы G(jω) как функции частоты, т. е. корни характеристического
уравнения (det — символ определителя)
det(λI − G) = 0. (2.17)
Команда возвращает cg — модуль собственных значений,
ph — их фаза при частоте ω. Без левой части команды на экране
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 57
строится график модуля и фазы в функции частоты. Команда может быть полезна при анализе системы, но более достоверные результаты при анализе робастности дает описанная выше команда
sigma.
2.1.6. Корневой годограф. Корневой годограф представляет со-
бой траекторию перемещения корней замкнутой системы в комплексной плоскости при изменении какого-либо параметра системы. Эта информация может быть использована для анализа влияния изменения этого параметра на расположение полюсов
замкнутой системы и получения приближенной информации о
быстродействии и колебательности системы. Для устойчивой системы все полюса должны находиться в левой полуплоскости.
Если, например, ближайший к мнимой оси корень вещественный,
а комплексные полюса находятся относительно далеко, то переходный процесс при ступенчатом изменении задания близок к
экспоненте с постоянной времени, равной абсолютному значению
обратной величины этого корня. Если же ближайшие к мнимой
оси корни комплексные сопряженные — a ± jb, а остальные корни
находятся далеко, то соответствующий полином равен
2
P = s
+ 2as + a2+ b2= s2+ 2 ζωns +ω
2
, (2.18)
n
и примерные показатели переходного процесса при ступенчатом
воздействии имеют вид:
πξ
−
a
ω
n
= 4.6/a,
s
⎞
⎟
⎟
2
ξ1
⎠
(2.19)
(2.20)
, ts— время до вхождения в
ωξ
n
= 1.8/ωn, t
t
r
22
ab
=+ =
,,
=π/b,t
max
⎛
Δ
max
ãäå t
— время, соответствующее изменению выхода от 0.1 до 0.9,
r
t
— время от подачи воздействия до достижения максимума
max
выходной величины, равного 1 + Δ
⎜
exp ,=−
⎜
⎝
max
1% зону. На рис. 2.9 приведен переходный процесс для системы с
передаточной функцией 1/P ïðè ω
Время t
отличается от значения, даваемого (2.20), так как на
s
= 1, ζ=0.5 (à = 0.5, b = 0.866).
n
рис. 2.9 оно указано для 2% зоны. Отметим, что приведенный
процесс получен командой step, а указанные на рис. характерные
точки получены нажатием правой клавиши мыши при ее указате-
58 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
ле, установленном на графике, при этом раскрывается меню, в
котором выбирается пункт «characteristics», а затем выбираются
требуемые характеристики. Для систем более высокого порядка
приведенные формулы могут дать только грубую оценку из-за
влияния других корней.
Ðèñ. 2.9. Переходный процесс в колебательном звене
Наиболее часто в качестве параметра при построении корневого годографа выбирается коэффициент усиления Ê. Передаточную функцию разомкнутой системы запишем в виде:
G(s) = Kd(s)/q(s), (2.21)
ãäå d è q—полиномы, степени m è n соответственно, m < n.Характеристическое уравнение записывается как:
Kd(s) + q(s) = 0. (2.22)
Ïðè Ê = 0 корни этого уравнения совпадают с полюсами разомкнутой системы q(s) = 0, à ïðè Ê →∞m корней стремятся к
корням числителя d(s) = 0, а остальные стремятся к ∞. Имеется команда
rlocus(sys),
которая строит корневой годограф разомкнутой системы sys при
ее замыкании с коэффициентом усиления Ê как параметром.
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 59
С полученным графиком можно произвести следующие действия:
увеличить отдельные участки графика, включив Zoom, нарисовать
сетку командой grid, подвести указатель мыши на какую-либо
точку годографа и нажать левую клавишу, при этом появляется
следующая информация об этой точке: коэффициент усиления
(Gain), для которого эта точка построена, точные координаты точки (Pole) на комплексной плоскости, коэффициент демпфирования (Damping), перерегулирование (Overshoot) и собственная частота (frequency), рассчитанные по формулам (2.19),(2.20).
Вернемся к рассматриваемому нами примеру (2.1), (2.2) и выполним команды:
T1 = 0.12; T2 = 0.004; Tm = 1; T3 = 0.01; T4 = 0.005;
[num] = [T1 1];
[den1] = conv([T3 1],[T4 1]);
[den] = conv([den1],[Tm*T2 0 0]);
sys = tf(num,den);
rlocus(sys)
grid (Ï. 2.2)
Получим картину корневого годографа, изображенную на
рис. 2.10, 2.11. Корень ð1 = 1/0.005 = 200 вещественный, он стартует из этой точки и уходит в бесконечность. Корень ð2 стартует из
точки ð2 = 1/0.01 = 100 и движется по вещественной оси к началу
координат. При Ê = 0.824 он встречается с корнем ð3, и в дальней-
Ðèñ. 2.10. Корневой годограф системы (2.1), (2.2)
60 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.11. Часть корневого годографа системы (2.1), (2.2)
в крупном масштабе
шем эти два корня образуют комплексно-сопряженную пару. При
Ê = 8.72 их траектория смещается в правую полуплоскость и сис-
тема становится неустойчивой. Это значение Ê соответствует найденному ранее значению запаса по модулю Gm. Корни ð3èð4
стартуют из точки нуль. Они образуют комплексно сопряженную
пару до значения Ê = 0.816. До значения Ê = 0.824 корень ð3 движется по вещественной оси навстречу корню ð2, а затем, как уже
сказано, образует с ним комплексно сопряженную пару, а корень
ð4 движется по вещественной оси к началу координат, и заканчивает свое движение на нуле 1/ T
= 8.3.
1
2.1.7. Временные характеристики. Анализ временных характе-
ристик является заключительным этапом при исследовании систем автоматического управления. Он дает возможность определить, соответствует ли разработанная система предъявляемым к
ней требованиям. При этом часто необходимо рассматривать как
переходные характеристики, т. е. реакцию системы на одноразовое воздействие, так и квазиустановившиеся реакции на периодические сигналы сложной формы. Наиболее часто исследуется реакция на ступенчатое входное воздействие, т. е. реакция системы
на команду step. С этой командой мы уже много раз встречались
ранее и приводили характеристики переходного процесса (см.,
к примеру, рис. 2.9). Часто используется также реакция системы
на входной единичный импульс, так называемая импульсная реак-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]