Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox
.pdf
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 91
Ðèñ. 2.38. Переходные процессы при различном выборе
размещения полюсов
На рис. 2.38 показан переходный процесс. Видно, что вариант
р1 дает несколько лучший результат (меньшее перерегулирование
и меньшее время регулирования). Отметим, что из-за кратности
полюса и учета того фактора, что ранг матрицы bg1 = 1, команда
place неприменима. Читатель может поэкспериментировать с другими наборами полюсов.
2.2.4. Использование наблюдателя. Управление в соответствии
с соотношением (2.35) требует полной информации о фазовых координатах системы; наличие такой информации можно считать
скорее исключением, чем правилом, в соответствии с чем описанные выше регуляторы используются обычно для оценки матрицы
Ê и для нахождения предельных характеристик системы, к которым надо стремиться на практике. В реальных системах информацию о õ получают с помощью так называемых наблюдателей.
Уравнение наблюдателя для системы (1.1), (1.2) имеет вид:
d
x
e
Ax Bu Ly Cx=++−(),
dt
ãäå A
, Be— оценки матриц A, B, L — матрица коэффициентов
e
ee e e
(2.40)
усиления наблюдателя. Закон управления имеет вид:
uKx=−
. (2.41)
e
92 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.39. Структурная схема системы с наблюдателем
Структурная схема регулятора приведена на рис. 2.39, где r —
заданный вход.
Очевидно, что если бы матрицы системы и начальные значения были бы известны точно, необходимости в третьем слагаемом
бы не было, но поскольку в действительности такое невозможно,
это слагаемое вводится для того, чтобы обеспечить достаточно
точное слежение x
çà x. Полюсы наблюдателя — это корни харак-
e
теристического уравнения
det(sI − A
+ LC) = 0. (2.42)
e
Обычно матрица L выбирается так, чтобы получить заданные
корни (2.42). Подход к их выбору такой же, как и к выбору полюсов объекта с регулятором, однако рекомендуется, чтобы первые
были бы более «быстрыми», чем вторые, т. е. чтобы они имели
большие по абсолютной величине вещественные части. Полностью наблюдаемая система в состоянии обеспечить любое распределение корней (2.42). Так как полюса A
− LC)Ò= A
(A
e
T
− CTLT, то из сравнения этого выражения с фор-
e
− LC равны полюсам
e
мулой (2.39) следует, что матрицу L можно найти, выполнив приведенные выше команды
L = acker(A,'C',p)'è L = place(A',C',p)',
причем первая команда применима к системам с одним выходом.
После нахождения матрицы L нужно выполнить соединение
объекта, наблюдателя и матрицы управления Ê. Для этой цели
имеются специальные команды estim è reg. Первая из них формирует наблюдатель с выбранной матрицей L, а вторая образует
регулятор, включая матрицу Ê. Первая команда имеет синтаксис:
est = estim(sys, L, sensors, known).
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 93
Здесь sys — система, описываемая уравнениями (1.1), (1.2),
для которой строится наблюдатель, sensors — вектор, содержащий
индексы выходов sys, которые используются наблюдателем,
known — вектор, содержащий индексы входов sys, которые ис-
пользуются для управления. Выход est содержит выходы y
e
= Cx
наблюдателя и его оценку состояния xe.
Вторая команда имеет вид:
rsys = reg(sys, K, L, sensors, known, controls).
В этой команде формируется выход u, который может быть подан на вход sys как обратная связь, в соответствии с уравнениями:
d
x
e
ALCBKxLy=−− +[],uKx=−
dt
eee
. (2.43)
e
Векторы sensors è known имеют тот же смысл, что и для предыдущей команды, а вектор controls содержит индексы входов sys,
на которые будет подан сигнал u.
Однако часто в сложных системах применение этих специальных команд вызывает трудности и приходится использовать общие команды соединения систем, описанные в гл.1.
Рассмотрим пример. Пусть в рассмотренной в предыдущем
разделе задаче состояния M
è ωmне измеряются, и требуется при-
y
менение наблюдателя. Структурная схема системы регулирования
приведена на рис. 2.40. Создадим программу (П. 2.7).
J1 = 21.5; C = 243; J1e = 21.5; J2e = 7; Ce = 243; J2 = 7;
age = [0 -1/J1 0 0; Ce 0 -Ce 0; 0 1/J2e 0 0; 1000];
bg1 = [1/J1; 0; 0; 0];
cg1 = [1 0 0 0];
agre = [0 -1/J1 0; Ce 0 -Ce; 0 1/J2e 0];
bgr = [1/J1; 0; 0];
cgr = [1 0 0]; cgr1 = [0 0 1];
p = [-5+5*i, -5-5*i, -9, -10];
K = place(age, bg1, p);
K1 = K(1:3), K2 = K(4);
pe = 2*[-5+5*i, -5-5*i, -9];
L = place(agre', cgr', pe)';
agr = [0 -1/J1 0; C 0 -C; 0 1/J2 0];
sysr =ss(agr, bgr, [cgr; cgr1], 0);
est = estim(sysr, L, [1], [1]);
sys1 = series(est, K1, [2 3 4], [1 2 3]);
sys2 =parallel(sysr, sys1, [1], [1],[ ],[ ]);
sysrz =connect(sys2, [1 -3; 2 1], [1], [1 2]);
ireg = tf([0 K2], [1 0]);
e
94 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.40. Структурная схема регулирования скорости в двухмассовой
системе с интегральным регулятором и наблюдателем
sys3 =series(ireg, sysrz);
sys4=feedback(sys3,1, [1], [1]);
step(sys4,2). (Ï. 2.7)
Дадим к ней пояснения. Матрицы age è bg1 такие же, как и в
предыдущей задаче. Они используются при расчете матрицы обратной связи Ê, обеспечивающей заданное распределение полюсов ð. Полюса приняты различными, что дало возможность применить более точный алгоритм place. После расчета матрица разделяется на матрицу Ê
связи по состояниям наблюдателя, и коэффициент Ê
, которая будет использована для обратной
1
, который
2
определяет воздействие от интегрального регулятора скорости. Так
как нет необходимости наблюдать х
, то система уравнений на-
4
блюдателя оказывается третьего порядка и образуется матрицами
agre, bgr, cgr è cgr1, причем последняя используется для того, чтобы иметь возможность наблюдать неизмеряемую скорость механизма. Полюса наблюдателя ðå приняты равными удвоенным полюсам объекта с регулятором, причем один вещественный полюс
исключен, после чего находится матрица наблюдателя L, обеспечивающая это расположение полюсов. Далее, формируется система sysr, описываемая уравнениями (1.3)—(1.5) и имеющая в качестве выходов обе скорости: ω
è ωm, причем только первая изме-
d
рима и может быть использована для построения системы
регулирования. Система est является наблюдателем с матрицей L
и использует первый вход и первый выход системы. Она имеет два
входа — u è y в соответствии с (2.40), а на выходе образует оценку
выхода и всех трех состояний (рис. 2.41, а). Система sys1 образуется присоединением к выходам состояний est матрицы Ê
,âðå-
1
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 95
Ðèñ. 2.41. К синтезу системы регулирования скорости в двухмассовой
системе с интегральным регулятором и наблюдателем
Ðèñ. 2.42. Переходные процессы в системе регулирования скорости
с интегральным регулятором и наблюдателем
96 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
зультате чего формируется величина ue= k11x1e+ k12x2e+ k13x3e, ãäå
k
— элементы матрицы Ê1. После выполнения команды parallel
1i
образуется система, изображенная на рис. 2.41, б.
Результат выполнения команды connect показан на
(рис. 2.41, в). Выход объекта y =ω
подается на второй вход на-
d
блюдателя, а первый выход системы sys1 (третий выход sys2)на
вход объекта и наблюдателя со знаком минус. В заключение формируется система интегратора ireg, которая подсоединяется последовательно к объекту с наблюдателем, и замыкается обратная
связь по скорости (рис. 2.41, г). На рис. 2.42 показаны переходные
процессы скорости двигателя и механизма при ступенчатом задании скорости.
Рассмотрим более сложный пример, в котором также приходится использовать общие команды соединения систем. В рассмотренной выше задаче предполагалось, что момент сил сопротивления нагрузки (далее — момент нагрузки), приложенный ко
второй инерционной массе, равен нулю. Фактически такой момент существует всегда, причем он, как правило, не измеряется и
для повышения качества системы должен оцениваться. Объект
описывается уравнениями (1.3), (1.4), (1.14). Расширим систему
уравнений наблюдателя, введя в него уравнение для оценки момента нагрузки, предполагая, что он меняется очень медленно по
сравнению со временами переходных процессов в системе, так что
можно принять
dMce
dt
= 0
(2.44)
Введем вектор x
= [ωde, Mye, ωme, Mce], тогда уравнение наблю-
e
дателя (2.40) четвертого порядка. Управление (2.41) использует
только три первых выхода наблюдателя. Программа для этой системы имеет вид:
J1 = 21.5; C = 243; J1e = 21.5; J2e = 7;Ce = 243; J2 = 7;
age = [0 -1/J1 0 0; Ce 0 -Ce 0; 0 1/J2e 0 0; 1000];
bge = [1/J1; 0; 0; 0];%Âõîä Md
agre = [0 -1/J1 0 0; Ce 0 -Ce 0; 0 1/J2e 0 -1/J2e; 0000];
cgre = [1 0 0 0];
agr = [0 -1/J1 0; C 0 -C; 0 1/J2 0];
bgr = [1/J1; 0; 0];%Âõîä Md
bgr2 = [0; 0; -1/J2];%Âõîä Mc
cgr=[1 0 0];%Выход Wd
cgr1=[0 0 1];%Выход Wm
cg1=[1000];
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 97
bg1=[1/J1; 0; 0; 0];
p = [-5+5*i, -5-5*i, -9, -10];
K = place(age, bge, p);
K1 = K(1:3); K2 = K(4);
pe = 2*[-5+5*i, -5-5*i, -9, -10];
L = place(agre', cgre', pe)';
sysr =ss(agr, [bgr bgr2], [cgr; cgr1], 0);
est =ss(agre - L*cg1, [ bg1 L], eye(4), 0 );
sys1r = append(est, K1);
sys1 = connect(sys1r, [3 1; 4 2; 5 3], [1 2], [4 5]);
sys2 = parallel(sysr, sys1, [1], [1], [ ], [ ]);
sysrz = connect(sys2, [2 -4; 3 1], [1 2], [1 2 3]);
ireg = tf([0 K2], [1 0]);
sys3 = append(ireg, sysrz);
sys4 = connect(sys3, [1 -2; 3 1], [1 2], [2 3 4]);
subsys1 = sys4(:,1);
step(subsys1,2);
subsys2 = sys4(:,2);
figure(2)
step(100*subsys2, 2)
sys5 = parallel(sys4,10*sys4, [1], [2], [2], [2]);
subsys3=sys5(3,2);
figure(3)
step(subsys3,2) (Ï. 2.8)
Матрица регулятора Ê вычисляется так же, как и в предыдущем примере. Для вычисления матрицы коэффициентов усиления
наблюдателя L используется системная матрица наблюдателя agre,
сформированная по уравнениям (1.3), (1.4), (1.14), (2.44). Объект
sysr отличается от предыдущего примера (П. 2.7) тем, что в нем
имеется второй вход для момента нагрузки. Так как наблюдатель
est имеет системную матрицу, отличную от системной матрицы
объекта, то для его формирования используется непосредственно
уравнение наблюдателя (2.40); наблюдатель имеет два входа: u (в
данном случае момент двигателя) и ó — измеряемый выход объекта. Все состояния наблюдателя наблюдаемы. В дальнейшем мы
предполагаем наблюдать оценку момента нагрузки, поэтому для
соединения наблюдателя с матрицей Ê
коэффициентов усиления
1
регулятора нельзя применить команду series, так как при этом
выходом результирующей системы будет только управление u
, òàê
å
что для этого используются команды append(est, K1) è connect.
Результирующая система sys1 имеет два входа: M
äà: u
è Mce. Следующие две команды parallel è connect формиру-
e
ют замкнутую систему объект — наблюдатель — матрица Ê
è y è äâà âûõî-
d
—
1
объект sysrz. При выполнении первой команды входы u обеих
98 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
систем sysr è sys1 соединяются между собой, в результате чего
система sys2 имеет три входа M
, Md, y и четыре выхода ωd, ω
c
(только для целей регистрации), Mce,ue. Отметим, что в соответствии с рис. 1.12 после выполнения команды parallel объединенные
входы и выходы оказываются между собственными входами и соответственно выходами отдельных систем. В команде connect соединяются вход M
(2.41), âõîä ó с выходом ω
ляются M
, Md, а выходами — ωd, ωm, Mce.
c
с выходом ueсо знаком минус в соответствии с
d
; входами результирующей системы яв-
d
Далее необходимо соединить sysrz с интегратором и замкнуть
всю систему по скорости. Для этого нельзя использовать команду
series, так как при этом в результирующей системе исчезнет вход
, поэтому опять используется команда append, в результате
M
c
чего система sys3 будет иметь три входа: интегратора I
четыре входа: I
соединяются вход интегратора с выходом — ω
связь), вход M
имеет два входа: ω
, ωd, ωm, Mce. При выполнении команды connect
î
(основная обратная
с выходом интегратора, окончательная система
d
è Mcи три выхода ωd, ωm, Mce.
r
d
, Mc, Mdè
i
Команда subsys1 выделяет из sys4 подсистему с воздействием только по первому входу, а subsys2 — только по второму. На
рис. 2.43 и рис. 2.44 показаны выходы системы при ступенчатых
m
Ðèñ. 2.43. Переходные процессы в системе регулирования скорости
с наблюдателем момента нагрузки при скачке задания
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 99
Ðèñ. 2.44. Переходные процессы в системе регулирования скорости
с наблюдателем момента нагрузки при скачке нагрузки
воздействиях по этим входам. На первом из них процессы изменения скоростей практически такие же, как на рис. 2.42. При
этом переходный процесс скорости не влияет на оценку момента
нагрузки (отклонения порядка 10
-11
). На втором рис. видно, как
процесс оценки момента нагрузки сходится к истинному значению. Иногда необходимо оценить изменения скоростей при одновременном воздействии как задания скорости, так и момента
нагрузки. Для этого две одинаковые системы соединяются параллельно, причем вход задания скорости первой системы соединяется со входом момента нагрузки второй с коэффициентом усиления 10, что соответствует соотношению между скоростями и моментами в реальном электроприводе (номинальная скорость
вращения 150 рад/с, номинальный момент 1500 Нм). Выходы
скорости механизма суммируются. Переходный процесс при одновременном задании скорости и момента нагрузки показан на
рис. 2.45. Этот же процесс можно получить с использованием команды lsim (см. программу П. 2.2.2) следующим образом. Зададим
дискретность выборки входного сигнала dt = 0.01 и время моделирования t = 0 : dt : 2. Теперь создадим матрицу, имеющую две
строки и 2/dt + 1 столбцов, причем элементы первой строки равны 1, а второй 10, и вызовем команду lsim:
100 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.45. Переходные процессы в системе регулирования скорости
с наблюдателем момента нагрузки при одновременном изменении
нагрузки и задания
t=0:0.01 : 2;
w = ones(2, length(t));
w = [1 0; 0 10]*w;
lsim(sys4(2, 1:2), w, t). (Ï. 2.8.1)
Получим переходный процесс, не отличающийся от изобра-
женного на рис. 2.45.
2.2.5. Наблюдатель уменьшенного порядка. Наблюдатель для
системы порядка n также имеет порядок n (а в некоторых случаях
и выше, как мы видели из последнего примера). В то же время,
если m фазовых координат известны (измеримы, наблюдаемы), то
представляется, что можно ограничиться наблюдателем только порядка n − m. Такой наблюдатель называется наблюдателем уменьшенного порядка. Его уравнения получаются следующим образом.
Предположим, что вектор õ упорядочен таким образом, что
его первые m координат равны ó. Тогда можно записать
x = [x
, x2]Ò= [y, x2]Ò. (2.45)
1
Разобьем матрицы A è B на соответствующие подматрицы и
запишем уравнение (1.1) в виде:
·
=++
xAxAxBu
11111221
. (2.46)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]