Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox
.pdf
Глава 1. Способы описания линейных динамических систем 41
риваемой системы. В действительности, однако, системы sys1 è
sys2 могут различаться, в первую очередь, из-за различных люфтов
в передачах, не учитываемых в рассматриваемых линейных систе-
Ðèñ. 1.21. Переходные процессы в электроприводе
при одинаковых параметрах эластичных муфт
Ðèñ. 1.22. Переходные процессы при различных
муфтах и отсутствии коррекции скорости
42 Глава 1. Способы описания линейных динамических систем
Ðèñ. 1.23. Переходные процессы при различных
муфтах и включенной коррекции скорости
мах, а также из-за разности коэффициентов упругости обеих муфт,
вызванной различным износом упругих элементов муфт. На
рис. 1.22 показан процесс при Ñ
= 0.7Ñ1. Видно заметное увеличе-
2
ние колебательности. На рис. 1.23 показан тот же процесс, но при
введении воздействия по разности скоростей вращения обоих двигателей с коэффициентом пропорциональности K
= 120. Видно,
pi
что процесс близок к таковому в симметричной системе (рис. 1.21).
Иногда возникает необходимость в выделении части входов и
выходов системы и в оперировании с такой усеченной подсистемой как с самостоятельной единицей. Для этой цели можно использовать обычные приемы выделения подматриц, используемые
в системе MATLAB. Например, из MIMO системы sys с несколькими входами и выходами можно извлечь SISO систему, соответствующую первому входу и второму выходу, командой
subsys = sys(2,1)
(первый индекс выход, второй-вход), подсистему с выходом 2 и
входами1и2командой
subsys = sys(2,1:2),
подсистему, сохраняющую все выходы от входа 1 командой
subsys = sys(:,1),
Глава 1. Способы описания линейных динамических систем 43
подсистему, сохраняющую все входы и только 1 и 3 выходы командой
subsys = sys([1 3],:).
В системе можно добавлять входы. Если, например, в системе с
одним выходом и двумя входами, образованной командой
H = [h11 h12], записать
s=tf('s')
sys=[Í,1/s],
то получим систему с тремя входами, причем передаточная функция от третьего входа к выходу равна 1/s.
В системе можно также удалить некоторые входы или выходы.
Если, например, требуется удалить второй и третий входы, выполняется команда:
sys(:,2:3)=[].
Использование команд оперирования с матрицами системы
MATLAB часто может быть эффективным средством для построения сложной системы. Рассмотрим, например, задачу из руководства по использованию Control System Toolbox. Дана схема, приведенная на рис. 1.24, Í
, Í2, Í3— передаточные функции, G —
1
скалярный коэффициент усиления, F—передаточная функция
фильтра. Необходимо получить систему, имеющую три входа: u,
w
и два выхода: yf, f. Для этой цели оказывается достаточно
1,w2
трех команд:
Px = append ([ss(H1), H2], H3)
Px=[-G G;1 1]*Px
Pxd = append(F, 1)* Px. (Ï. 1.10)
Первая команда сначала образует систему с двумя входами u,
и выходом f1, затем добавляет к ней систему Í3 с выходом f2.
w
1
При этом также осуществляется преобразование одной из систем,
а именно Í1 в систему SS, так как в таком виде точность максимальна. В соответствии с (1.42) и все дальнейшие преобразования
будут представлены в таком же виде. Вторая команда выполняет
операцию
f
−+
−
GG
⎡
⎢
⎣
⎡
⎤
1
*
⎢
⎥
f
2
⎦
⎣
⎤
⎥
⎦
⎡
=
⎢
⎣
Gf Gf
12
+
ff
12
y
⎤
⎡
⎤
=
⎥
⎥
⎢
f11
⎣
⎦
⎦
а третья команда фильтрует первый выход и пропускает без изменения второй. Надо сказать, что применение такого рода состав-
44 Глава 1. Способы описания линейных динамических систем
Ðèñ. 1.24. К использованию команд работы с матрицами
ных команд требует определенных навыков, и может быть рекомендовано только после освоения основных, более прозрачных
команд, приведенных в табл. 1.2.
До настоящего времени мы рассматривали команды, которые
предлагает Control System Toolbox, но Robust Control Toolbox также предлагает команды взаимосвязи систем.
Например, команда
[ssc] = interc(sós,Ì,N,F)
присоединяет к системе sós постоянные матрицы Ì, N, F по схеме рис. 1.25. Предполагается, что sós имеет вид (1.1), (1.2), в результате выполнения команды ssc будет иметь такой же вид, но с
матрицами
= A + BFXC, Bc= B(M + FXDM),
A
c
C
= NXC, Dc= NXDM, X = (I − DF)-1. (1.53)
c
Ðèñ. 1.25. К выполнению команды interc
Глава 2. Методы анализа и синтеза
линейных динамических систем
2.1. Методы анализа линейных
стационарных систем
2.1.1. Диаграмма Боде. Под диаграммой Боде понимаются ам-
плитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики системы регулирования, изображенные на одной и той же (или
на параллельных) частотной оси абсцисс. Амплитуда выражается в
децибелах (1 дБ = 20 lg|A(ω)|), а фаза в град. Частота обычно выражается в рад/с и имеет логарифмический масштаб. Диаграмма
Боде может быть построена как для разомкнутой, так и для замкнутой систем.
Для построения диаграммы Боде в Control System Toolbox ис-
пользуется команда
bode(sys,{ω
min
, ω
max
}).
Выражение в фигурных скобках, указывающее интервал, в котором строится характеристика, может быть опущено, тогда программа определяет этот интервал самостоятельно. Возможно также
строить диаграммы Боде для нескольких систем на одном графике,
тогда наименования этих систем указываются как аргументы bode
через запятые. (Подробности этих и других команд рассматриваются в последующих главах). Можно также записать команду с левым
аргументом:
[Aa,Af,w] = bode(sys,{ω
min
, ω
max
}),
тогда в рабочей области сформируются массивы амплитуд, фаз и
соответствующих частот, которые могут быть использованы при
расчетах.
В качестве примера будем рассматривать передаточную функ
цию системы в виде
-
46 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
G
=
Ts s s
m
++
001 1 0005 1(. )(. )
1
(2.1)
и регулятор
1
Ts
+
1
K
=
Ts
2
(2.2)
Выполним программу:
T1 = 0.12; T2 = 0.004; Tm = 1;
[num] = [T1 1];
[den] = conv([0.01 1], [0.005 1]);
[den] = conv([den], [T2*Tm 0 0]);
sys = tf(num, den);
bode(sys)
grid (Ï. 2.1)
В результате получим диаграмму Боде, рис. 2.1. Большинство
промышленных систем относится к числу так называемых минимально-фазовых, у которых все нули находятся в левой полуплоскости. У таких систем существует однозначная зависимость между
АЧХ и ФЧХ характеристиками, в связи с чем часто достаточно ограничиться только первой. Для ее построения существует команда
bodemag.
Ðèñ. 2.1. Диаграмма Боде для системы (2.1), (2.2)
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 47
Исходной точкой при рассмотрении диаграммы Боде является
частота среза ω
, которая равна частоте, при которой амплитуда
ñ
равна 1, т. е. точка 0 дБ. В диаграмме можно выделить три участка: низкочастотный, лежащий в области частот, значительно
меньших частоты среза; высокочастотный, лежащий в области
частот, значительно больших частоты среза; среднечастотный, лежащий в окрестности частоты среза. Характеристики низкочастотного участка определяют статическую точность системы регулирования. Если этот участок при малых частотах горизонтальный с
амплитудой 20 lg(A(0)), то система является статической, и при
постоянном входном воздействии относительная статическая
ошибка равна 1/(A(0) + 1). Если начальный участок имеет наклон
−20 дБ/дек. (1 декада соответствует изменению частоты в 10 раз),
то система имеет астатизм первого порядка и обеспечивает нулевую ошибку при постоянном входном сигнале, но обладает ошибкой при линейно нарастающем сигнале. Наша система имеет наклон −40 дБ/дек. (действительно, А(0.5) = 60äÁ, À(5) = 20дБ) и,
следовательно, имеет астатизм второго порядка, обеспечивая нулевую ошибку слежения за линейно изменяющимся входным сигналом, а при параболическом сигнале u
2
a/(ω
A(ωx)), ãäå A(ωx) — значение амплитудной характеристики в
x
ее низкочастотной области при частоте ω
= 1 À = 250 (48 äÁ).
ω
x
= at2/2 ошибка равна
âõ
. В нашем случае при
x
Наиболее важен среднечастотный участок, который определяет динамические качества системы (устойчивость, время регулирования, перерегулирование). Для большинства систем критерий
устойчивости выглядит так: при фазовом сдвиге −180° амплитудная характеристика (в дБ) должна быть меньше нуля. Этот критерий годится для тех систем, для которых увеличение коэффициента усиления ведет к неустойчивости, и для тех систем, у которых
амплитудная характеристика пересекает ось абсцисс один раз.
Если обозначить θ
÷èíà δθ = 180° +θ
θ
= 131°, ò. å. δθ = 49°. Чем больше запас по фазе, тем меньше ко-
0
лебательность системы, тем меньше перерегулирование Δ
— фазовый сдвиг при ω=ωñ(ðèñ.2.1), òî âåëè-
0
называется запасом по фазе. В нашем случае
0
max
. Для
систем рассматриваемого типа имеет место приблизительное соотношение
Δ
В нашем случае Δ
max
(П. 2.1) добавим команды:
= 1/sinδθ − 1. (2.3)
max
= 1/sin(49°) − 1 = 0.31. К программе
48 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
sys1 = feedback(sys,1)
figure(2)
step (sys1)
grid (Ï. 2.1.1)
и выполним программу. Получим график переходного процесса в
замкнутой системе с приведенной выше передаточной функцией
при ступенчатом воздействии (рис. 2.2). Перерегулирование составляет 0.27 (27%), что хорошо согласуется с найденным выше
значением.
Ðèñ. 2.2. Переходный процесс в системе (2.1), (2.2)
Наряду с запасом по фазе может приниматься во внимание запас по амплитуде Gm. Так называется величина, показывающая,
во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы
система стала неустойчивой, т. е. чтобы значение АЧХ при фазовом сдвиге −180° равнялось 1. В рассматриваемом примере имеем
при θ=−180° À =−18.8 äÁ = 0.115, запас по амплитуде 1/0.115 = 8.7.
Значения запасов по фазе и по амплитуде можно получить, используя команду
[Gm, Pm, Wcg, Wcp] = margin(sys). (Ï. 2.1.2)
Здесь Gm — запас по амплитуде, Pm — запас по фазе, остальное — частоты, при которых они достигаются. Применяя эту команду в нашем примере, найдем Gm = 8.75, δθ = Pm = 49.4,
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 49
ωcg= 132.3, ωcp= 29.6, что соответствует найденным выше результатам.
Далее, чем выше частота среза, тем больше быстродействие
системы, которое можно характеризовать разными способами. Например, время нарастания t
— это время, в течение которого вы-
r
ходная координата изменится от 0.1 до 0.9 при единичном ступенчатом воздействии на входе. Приближенно
t
= 1/ωc. (2.4)
r
Время согласования t
— это время, в течение которого выход-
ñ
ная координата системы в первый раз достигает установившегося
значения (см. рис. 2.2). Приближенно
= (1.65...1.9)/ωc, (2.5)
t
c
причем большие значения относятся к большим значениям запаса
по фазе. В нашем примере ω
= 0.033 ñ, tc= 0.055...0.063 с. В соответствии с рис. 2.2.
êè t
r
t
= 0.036 ñ,tc= 0.055 ñ.
r
= 30 рад/с, откуда получаются оцен-
c
Наряду с АЧХ разомкнутой системы имеет смысл рассматривать АЧХ замкнутой системы. Построим обе характеристики на
одном графике, для чего к приведенной выше программе добавим
команды
figure(3)
bodemag(sys, sys1, {1,100})
grid (Ï. 2.1.3)
В результате получим АЧХ, изображенные на рис. 2.3. Для
АЧХ замкнутой системы имеются две характерные точки: максимальное значение M
и полоса пропускания ωp. Последняя равна
r
частоте, при которой амплитуда равна 0.71 (−3 дБ). В нашем примере ω
са по фазе, таким образом, чем меньше величина M
перерегулирование. В нашем примере M
= 53 рад/с. Величина Mrвозрастает при уменьшении запа-
p
= 2.3. Значение Mrиграет
r
, тем меньше
r
большую роль в робастном регулировании, как это мы увидим
позднее. В частности, доказывается, что если передаточная функция системы известна не точно (из-за влияния неучтенных параметров, учтенных, но не точно известных параметров и др.), так
что истинную передаточную функцию можно представить в так
называемом мультипликативном виде:
G(s) = G
(s)(1+Δ(s)), (2.6)
0
50 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
и замкнутая система с передаточной функцией G0(s) и некоторым
регулятором Ê(s) устойчива, то и система с передаточной функцией G(s) будет устойчива, если
|T(jω)| |Δ(jω)| < 1, (2.7)
ãäå T(jω) — АЧХ замкнутой системы, или же
M
|Δ(jω)| < 1. (2.8)
r
Ðèñ. 2.3. Диаграммы Боде разомкнутой и замкнутой систем (2.1), (2.2)
Таким образом, чем меньше M
, тем более «грубой», «робаст-
r
ной» является система.
Диаграмма Боде может быть также построена для дискретной
системы. Предположим, что объект с передаточной функцией
(2.1) регулируется цифровым интегро-пропорциональным регулятором. Структура системы приведена на рис. 2.4. SYS2 имеет передаточную функцию (2.1), на входе системы устанавливается фиксатор нулевого порядка F. Цифровой регулятор имеет передаточную функцию
TTzT
()
+−
s
ãäå T
Dz
()
— дискретность регулятора, ключи замыкаются с такой же
s
11
=
Tz
1
()
−
2
(2.9)
периодичностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]