Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Пакеты расширения MATLAB. Control System Toolbox и Robust Control Toolbox
.pdf
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 111
няя величина значительно меньше первой и лучше сглажена, что
указывает на хорошую работу фильтра.
2.2.7. Синтез робастных систем. В рассмотренных выше спосо-
бах синтеза систем регулирования предполагалось, что параметры
регулируемого объекта известны точно и что они не изменяются в
процессе работы. Однако в большинстве случаев параметры объекта подвержены изменениям при изменении условий эксплуатации, а также с течением времени, так что параметры объекта, на
которых базируется расчет регулятора, и фактические параметры
объекта отличаются друг от друга. Во многих приведенных выше
примерах этот факт подчеркивался введением наряду с матрицами
объекта À, Â, матриц оценок объекта À
, Âе, В этих примерах они
å
предполагались равными, однако после окончания синтеза регулятора желательно (или даже необходимо) проверить его работоспособность при изменении параметров объекта в возможных пределах (À
, Âеостаются постоянными, À, Â изменяются).
å
Описанные выше методы синтеза факт возможного отличия
параметров объекта от их номинальных значений, закладываемых
в расчет регулятора, не учитывают, что может привести к тому,
что при изменениях первых желаемое качество системы не достигается, или даже нарушатся условия устойчивости.
Системы регулирования, которые обеспечивают сохранение
основных характеристик при изменении параметров объекта в достаточно широких пределах, называются «грубыми», или «робастными».
Существует ряд методов проектирования таких систем. Ниже
используются только методы, применяемые в Robust Control
Toolbox. Эти методы основаны на операциях с частотными характеристиками систем. Они являются относительно новыми, так как
начали разрабатываться с конца 70-х годов, и требуют для своего
понимания достаточно серьезной математической подготовки.
Они не могут быть достаточно подробно изложены в данной книге
ввиду ее практической направленности, в связи с чем ниже приводятся только основные понятия, необходимые для синтеза робастных регуляторов.
Уже было показано (2,8), какую роль играет максимум АЧХ
при оценке робастности системы: чем он меньше, тем большее изменение параметров объекта может быть допущено без потери устойчивости.
Одним из показателей, косвенно характеризующих величину
максимума АЧХ, является так называемая Í
норма, определяемая
2
для матрицы передаточных функций F(s) êàê
112 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
∞
1
=
FSpFjFjd
2
∫
2
π
−∞
ωωω[*()()],
(2.72)
где * означает транспонированную матрицу с комплексно сопряженными элементами. Более прямой подход к оценке робастности
заключается в нахождении сингулярных величин передаточной
матрицы системы и минимизации основанной на них норме ||F||
(раздел 2.1.2).
Ниже кратко описываются основные принципы синтеза робастного управления на основе этой нормы. Для передаточных матриц F(jω) сингулярные величины зависят от частоты, в том числе
и наибольшая сингулярная величина σ
личины при изменении ω в пределах 0 < ω ≤ ∞ называется Í
. Верхняя граница этой ве-
1
íîð-
∞
мой передаточной матрицы:
∞
σω ω ω
() max ( *( )( )),= FF
F
1
F
eig j j
i
∞
i
= sup ( ).
01ω
<≤∞
σω
F
(2.73)
(2.74)
Очевидно, что для того, чтобы эта норма имела конечное значение, передаточные функции должны быть правильными (см.
раздел 1.2).
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.50, a. Здесь G—
передаточная функция объекта регулирования, G
— ее номиналь-
0
ная величина, ΔG — ее вариации, K — передаточная функция регулятора. G, Δ G è K устойчивы и правильные. Так как в соответствии с критерием Найквиста график GK(jω) не должен проходить
или охватывать точку −1, j0, то достаточным условием устойчивости является ||GK||
< 1. Пусть выполняется условие ||G0K||∞< 1. Êàê
∞
велика может быть величина |ΔG|, чтобы условия устойчивости не
нарушались?
Ðèñ. 2.50. Структурная схема системы при наличии
аддитивной неопределенности
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 113
Вместо |ΔG(jω)| рассматриваем верхнюю границу |Rà(jω)| такую,
что для всех 0 ≤ω≤∞
|ΔG(jω)| < |R
(jω)|. (2.75)
à
Система, изображенная на рис. 2.50, а, может быть преобразована в систему, изображенную на рис. 2.50, б, так как сигналы,
циркулирующие в контуре, у них одинаковы. Тогда на основе
приведенных выше рассуждений можно записать достаточное условие устойчивости в виде:
||ΔGK(1 + G
K)-1||∞< 1 (2.76)
0
èëè
K(1 + G0K)-1||∞< 1 (2.77)
||R
à
èëè äàæå
||K(1 + G0K)-1||∞< 1. (2.78)
||R
à||∞
Таким образом, достаточное условие робастной устойчивости
(2.77) формулируется в виде ограничения Í
нормы взвешенной в
∞
функции частоты номинальной передаточной матрицы системы.
Такой подход к синтезу систем принят в Robust Control Toolbox.
Отклонения передаточной функции объекта о номинальной
вызываются как изменениями его параметров, так и немоделируемой динамикой (неучтенными малыми инерционностями, нелинейностями) и действием различного рода возмущений. Обычно
различают аддитивные (как на рис. 2.50) и мультипликативные неопределенности (рис. 2.51, а). Этот рис. можно преобразовать к
Ðèñ. 2.51. Структурная схема системы при наличии
мультипликативной неопределенности
114 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
виду рис. 2.51, б, и из его сравнения с рис. 2.50 с учетом (2.78) получается достаточное условие устойчивости в виде:
||R
|| ||G0K(1+ G0K)-1||∞< 1. (2.79)
b
Поскольку обычно присутствуют неопределенности обоих видов, необходимо выполнять условия (2.78) и (2.79) одновременно,
однако чаще все неопределенности приводятся к одной мультипликативной.
Стандартная теорема робастной устойчивости, основанной на
сингулярных величинах, утверждает следующее: пусть M(jω)—передаточная функция номинальной системы, «видимая» со стороны
отклонения Δ(jω) (передаточные функции, стоящие во вторых знаках нормы в (2.78) и (2.79)). Пусть M(jω) и отклонение Δ(jω)устойчивы. Тогда при наличии отклонений система остается устойчивой, если
||Δ(jω)||
< 1/ ||Ì(jω)||∞. (2.80)
∞
Приведенная оценка запаса устойчивости часто является
слишком осторожной. Для получения более оптимистичных оценок используется так называемое диагональное масштабирование.
Его идею видно из рис. 2.52. Циркулирующие в контуре сигналы
не меняются. Матрица D — диагональная. Если допустить, что
-1
Δ — диагональная, то новая неопределенность D
ΔD такая же,
как и прежняя, и достаточное условие устойчивости приобретает
вид:
||Δ(jω)||
< 1/||DÌ(jω)D-1||∞. (2.81)
∞
При этом можно выбрать D так, что новая норма будет меньше, чем прежняя, и, следовательно, границы устойчивости расширяются. Для выполнения этой операции служит команда ssv. Она
имеет ряд опций. По умолчанию используется метод Перрона.
Выполним программу П. 2.11.
Ðèñ. 2.52. Принцип диагонального масштабирования
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 115
num = {[0 4 32] [12 64 0]; [0 3 2] [0 8 32]};
den = [1 12 32];
ssg = tf(num,[den]);
w = logspace(-3, 3);
skal = 20*log10(ssv(ssg, w));
sig = 20*log10(max(sigma(ssg, w)));
semilogx(w, sig, 'k:', w,skal, 'k-');
legend('Singular Value', 'Perron',3)
grid (Ï. 2.11)
Система ssg имеет передаточную матрицу 2х2 с общим для
всех элементов знаменателем. Величина sig есть максимальная
сингулярная величина для каждой частоты, а skal — сингулярная
величина после масштабирования с использованием метода Перрона (рис. 2.53). Если для первой получаем запас устойчивости
всего лишь в 8.4% (максимум равен 11.9), то вторая дает более
благоприятный результат: запас устойчивости 1/1.85 = 54%.
Ðèñ. 2.53. Сравнение характеристик системы
до и после диагонального масштабирования
Как можно подойти к выбору R
? Один путь заключается
a,Rb
в анализе возможных отклонений частотных характеристик реальной системы от номинальной. Если, например, имеется неоп-
116 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
ределенность в коэффициенте à числителя передаточной функции, то
as b
as b
+
cs d
+
+
0
=
cs dascs d
+
+
Δ
+
т. е. здесь имеет место аддитивная неопределенность, а если имеется неопределенность с коэффициентом ñ знаменателя, то
as b
+
cs cs d
++
Δ
000
as b
≈
cs d
⎛
+
+
1
⎜
⎝
−
cs d
⎞
cs
Δ
,
⎟
+
⎠
т. е. здесь имеется мультипликативная неопределенность. Такого
рода неопределенности, когда структура системы известна, а неизвестны только точные значения параметров, называются структурными.
Однако в большинстве случаев можно оценить только верхнюю границу отклонения передаточных функций или частотных
характеристик от номинальных, без точного знания, чем и в какой
степени эти отклонения вызваны. Часто границы для отклонений
находят экспериментальным путем, например, получением нескольких точек реальной частотной характеристики, которые затем интерполируются и экстраполируются. Такие неопределенности называются неструктурными. Robust Control Toolbox имеет
дело только с такими характеристиками.
Обычно с увеличением частоты неопределенность системы возрастает, однако из-за того, что при этом уменьшается модуль АЧХ
(для правильных передаточных функций), разность АЧХ номинальной и реальной систем, начиная с некоторой частоты, уменьшается.
Если, например, точная передаточная функция имеет вид
s + 1)(Tms + 1)
d
è ïðè T
F = 1/(T
<< Tdпри расчетах принято
m
F
= 1/(Tds + 1),
r
то разность будет
ΔF = T
и при увеличении частоты сначала |ΔF(jω)| растет (при T
T
= 0.02 äî ω=7.07), а затем уменьшается. Более ясное представ-
m
s/(Tds + 1)(Tms + 1),
m
= 1è
d
ление о расхождении характеристик можно получить, анализируя
относительную величину |G(jω) − G
(jω)|/|G0(jω)|.
0
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 117
В качестве примера приведем следующий. Рассматриваемая
выше двухмассовая система с упругой связью является существенным упрощением реально существующей упругой конструкции
цементной печи, имеющей 7 степеней свободы и описываемой
системой уравнений 13-го порядка. На рис. 2.54 приведены разность ΔG частотных характеристик полной и упрощенной систем,
полученная при моделировании, и относительная разность ΔG/G
Видно, что первая имеет только небольшой участок увеличения
модуля, тогда как вторая имеет явную тенденцию к увеличению к
концу частотного диапазона. На основании этих характеристик
можно задать ограничивающие кривые R
a,Rb
.
.
0
Ðèñ. 2.54. Разность частотных характеристик полной
и упрощенной систем цементной печи
Возможно также для назначения ограничивающих частотно
зависимых кривых применить другой подход, который базируется
на частотных требованиях к системе. На практике он применяется
более часто, чем первый. Представим исследуемую систему в
обычном виде (рис. 2.55). Здесь G — объект, Ê — регулятор, r —
задание, w — возмущение, приложенное к объекту, v — помеха измерения, e—ошибка регулирования, u — управляющее воздействие, W
, W2, W3— функции, зависящие от частоты.
1
118 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Ðèñ. 2.55. Структурная схема системы
для синтеза робастного регулятора
Передаточная функция (матричная)
S = (I + GK)
-1
(2.82)
называется передаточной функцией ошибки, или функцией чувствительности. Она определяет связь между r, w, v и ошибкой e.Соответственно передаточная функция
T = GK(I + GK)
-1
(2.83)
называется передаточной функцией замкнутой системы, или дополняющей передаточной функцией, так как выполняется соотношение
S + T = I. (2.84)
Передаточная функция
R = K (I + GK)
-1
(2.85)
называется функцией чувствительности управления. Запасы по
амплитуде Gm è ïî ôàçå δθ можно тогда оценить как
Gm ≥ 1/ ||T|
, δθ ≥ 2 arcsin(1/2||T|∞). (2.86)
|∞
В дальнейшем ищется регулятор такой, чтобы минимизировать норму ||z
1;z2;z3||∞
. При этом для парирования возмущений не-
обходимо иметь малую ошибку å в диапазоне низких частот, а для
обеспечения устойчивости и подавления высокочастотных помех
Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем 119
желательно иметь малое значение ó в высокочастотном диапазоне.
Для этого нужно ошибку å в диапазоне низких частот «взвешивать» с большим весом, чем при высоких частотах, т. е. амплитуда
частотной характеристики W
должна уменьшаться при увеличе-
1
нии частоты. Напротив, амплитуда частотной характеристики W
должна увеличиваться при увеличении частоты. Что касается частотной характеристики W
то она может оказаться полезной для
2,
ограничения мощности управления, а также как параметр, настраиваемый для регулирования быстродействия. Кроме того, в
некоторых случаях введение W
необходимо, чтобы рассматривае-
2
мая задача имела решение. При этом можно ограничиться простейшим выбором W
=εI, ãäå ε — малая величина, I — единичная
2
матрица соответствующего размера. Так как сингулярная величина S(jω) определяет ослабление возмущений, то требуемое ослабление возмущений может быть задано как
σ
(S(jω)) ≤ |W
1
-1
(jω)|. (2.87)
1
Имея в виду сказанное выше, границы для остальных функций чувствительности задаются в виде:
(R(jω)) ≤ |W
σ
1
σ
(T(jω)) ≤ |W
1
-1
(jω)|, (2.88)
2
-1
(jω)|. (2.89).
3
3
При этом должно выполняться условие
σ
1(W1
-1
(jω)) +σ1(W
-1
(jω)) > 1. (2.90)
3
Из изложенного видно, что выбор весовых матриц является
неоднозначной задачей, требующей для своего решения достаточного опыта разработчика, а также применения метода проб и
ошибок. Robust Control Toolbox не дает метода для выбора этих
частотных характеристик, а только сообщает при решении задачи,
дают ли выбранные характеристики возможность довести решение
задачи до конца. С конкретными примерами выбора этих функций читатель ознакомится далее при рассмотрении примеров.
После задания весовых матриц существующая система расширяется так, что она включает в себя уравнения этих матриц как
дополнительные фазовые координаты. Эта операция выполняется
командами
[TSS] = augss(sys, ssw1, ssw2, ssw3) èëè
[TSS] = augtf(sys, W1, W2, W3).
120 Глава 2. Методы анализа и синтеза линейных динамических систем
Здесь sys — исходная система G, в первом случае ssw1 и другие — это системы, созданные командой mksys, т. е. весовые матрицы описываются в пространстве состояний, а во втором случае
W
и другие — это диагональные матрицы, на диагоналях которых
1
расположены соответствующие весовые функции. При этом каждая весовая функция задается двумя строчками в матрице W, соответствующими числителю и знаменателю, так что если, например,
as b
+
W
=
1
W1 = [a b; c d;a1 b1;c1 d1].
⎡
⎢
cs d
⎢
⎢
⎣
0
+
as b
11
cs d
11
⎤
0
⎥
,òî
⎥
+
⎥
+
⎦
Ïðè ýòîì G, W1, W3G должны быть правильными, а W3—не
обязательно. Расширенная система приобретает вид (1.13), (рис. 1.2);
эту систему в более детальном виде на основании рис. 2.55 можно
представить в виде, изображенном на рис. 2.56. Все требования к
системе по ослаблению возмущений и обеспечению запаса устойчивости сводятся к единственному требованию к норме
|| T
≤ 1, (2.91)
y1u1||∞
ãäå
WS
⎡
⎤
1
⎢
yu
11
=
WR
2
⎢
WT
⎢
3
⎣
⎥
⎥
⎦
T
⎥
(2.92)
— так называемая функция стоимости метода смешанной чувствительности.
Для решения задачи минимизации нормы T
y1u1(Í2
èëè Í∞)
Robust Control Toolbox имеет команды h2lqg, hinf è hinfopt. Для
дискретных систем соответственно dh2lqg, dhinf è dhinfopt.
Первая из них минимизирует норму ||T
. Решение основа-
y1u1||2
но на аналогии между данной задачей и уравнениями фильтра
Калмана, так как минимизация величины (2.72) ведет к минимизации интеграла от квадрата сигнала на выходе системы с передаточной функцией F(s). Команда имеет вид
[sscp,sscl] = h2lqg(TSS),
ãäå TSS — расширенная система, sscp — уравнения регулятора,
sscl — уравнения расширенной системы с регулятором. В регуля-
торе реализуются соотношения (см. уравнения (1.10)—(1.13))
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]