Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия и законы молекулярной физики. Учебное пособие
.pdf
молекул, попавших в этот цилиндр. Несложно заметить, что величина
(3.54)
(3.55)
(3.56)
представляет собой обратную концентрацию молекул, тогда средняя
длина свободного пробега молекулы
Мы полагаем, что σ не зависит от температуры, то есть считаем
молекулы «твёрдыми шариками».
Введём понятие плотности потока частиц, то есть числа частиц,
прошедших перпендикулярно площади S в единицу времени:
Рассмотрим одномерную задачу о пространственном переносе молекул
в направлении оси ОХ, в этом случае плотность потока можно записать как
В выделенном направлении движется шестая часть всех молекул.
Это несложно понять, если учесть, что все три пространственные
направления абсолютно равноправны, и в вдоль оси ОХ будет двигаться
третья часть молекул, половина из которых будет лететь в обратном
направлении. Поток молекул в точке х можно представить как
Разложим в ряд Тейлора всё, что находится в числителе выражения и
учтём только первые два члена разложения:
81
(3.57)
(3.58)
(3.59)
Мы получили выражение для плотности потока величины х. Знак «‒» в
выражении означает, что поток направлен в сторону убывания величины.
Можно отметить, что полученное нами выражение является общим для всех
явлений, относимых к явлениям переноса, в чём мы сейчас убедимся.
3.10 Диффузия, теплопроводность, вязкость
Рассмотрим явление диффузии, при котором происходит
самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц соприкосновения
нескольких (в простейшем случае двух) газов, жидкостей или твёрдых тел до
тех пор, пока имеет место градиент плотности. В случае диффузии
происходит пространственный перенос массы, поэтому для описания этого
явления введём величину плотность потока массы jm, то есть массы вещества,
которое диффундирует в единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную оси х. Тогда число частиц ,прошедших через единицу
площади в единицу времени (из соображений размерности): jm(x) = n(x)<v>.
Если температура постоянная, то <v> также будет постоянной величиной,
следовательно,
тогда с учётом полученных ранее выражений:
где можно ввести так называемый коэффициент диффузии
и в
итоге:
82
мы получаем закон Фика для диффузии. Из полученного выражения следует,
(3.60)
(3.61)
что диффузионный поток происходит из области с большей концентрацией
(или плотностью) частиц в область с их меньшей концентрацией
(плотностью), на что и указывает знак «‒» в законе Фика.
Явление теплопередачи сводится к пространственному переносу
тепловой энергии. В одной области газа молекулы могут обладать большей
кинетической энергией, чем в другой его области. Поскольку молекулы газа
участвуют в хаотическом тепловом движении они сталкиваются друг с
другом, что приводит в конечном итоге к выравниванию кинетических
энергий молекул, а следовательно, и температур разных областей газа. Для
количественного описания данного явления можно ввести величину,
называемую плотностью теплового потока где m
‒ масса молекулы, Т(х) – температура, зависящая от координаты, сV –
удельная теплоемкость газа при постоянной объёме.
Следует отметить, что температура меняется с координатой
незначительно, поэтому величину <v> можно считать постоянной. Теперь
Плотность теплового потока равна
0
где
- коэффициент теплопроводности.
Полученное выражение представляет собой закон Фурье.
Вязкость или внутреннее трение возникает за счёт хаотического
теплового движения молекул, приводящего к тому, что слои газа,
движущиеся с разыми скоростями, обмениваются молекулами, в результате
83
импульс слоя, который движется быстрее уменьшается, а движущегося
(3.62)
(3.63)
медленно ‒ увеличивается. В итоге слой движущийся быстрее замедляется, а
движущийся медленнее ‒ ускоряется. Данное явление было исследовано И.
Ньютоном. Для количественного описания явления введём величину –
плотность потока где скорость молекул в потоке
зависит от координаты х. Продифференцируем обе части выражения по
переменной х:
. В итоге получим закон Ньютона для
внутреннего трения:
где
‒ коэффициент вязкости.
3.11 Движение жидкостей и газов
В 1840 г. французский медик Ж. Пуазейль решил задачу о протекании
вязкой жидкости через цилиндрическую трубку. Пуазейль определил объём
жидкости протекающий в единицу времени через сечении трубки (другие
название расход жидкости или объёмная скорость):
В рассматриваемой задаче Пуазейль считал течение жидкости
ламинарным, при котором слои жидкости скользят относительно друг друга
без перемешивания. Такой тип течения наблюдается при небольших
скоростях движения жидкости, Слой, примыкающий к краю трубки
практически неподвижен, а в центре трубы скорость жидкости будет иметь
максимальное значение (см. рис. 32).
84
Рисунок 32 – Ламинарное течение жидкости
(3.64)
(3.65)
(3.66)
Выделим в жидкости настолько малый цилиндрический слой dx, что
скорость жидкости внутри этой полоски можно считать постоянной v = const.
Объём жидкости, который будет протекать через эту полоску
где ‒ площадь сечения выделенного цилиндрического слоя dx.
Соответственно, для того чтобы определить весь объём, необходимо
проинтегрировать выражение (3.64) от 0 до r:
и соответственно,
Поскольку скорость течения жидкости зависит от координаты, сразу
этот интеграл вычислить не удастся, так как нам сначала необходимо
получить выражение для скорости жидкости. Для этого выделим внутри
85
трубы цилиндр радиусом х (см. рис. 33).
Рисунок 33 – К вопросу о вычислении скорости течения жидкости
(3.67)
(3.68)
Цилиндр движется равномерно, следовательно, равнодействующая
всех сил равна нулю. Сила давления на входе в трубу F
давления на выходе из трубы F
. Сила давления
, то
дав2
= πх
2
р
, сила сопротивления
2
. Поскольку
дав1
= πх
2
р1, сила
получаем дифференциальное уравнение
интегрирования получим
В результате
Далее
86
(3.70)
(3.71)
Рисунок 34 – Турбулентное течение жидкости
(3.69)
Объём жидкости, вытекающий из трубы за единицу времени будет равен
Кроме ламинарного течения существует ещё турбулентное течение,
при котором частицы жидкости могут переходить из одного слоя в другой,
что сопровождается перемешиванием жидкости (газа) и образованием
вихрей. В случае турбулентного течения скорость жидкости резко возрастает
при удалении от стенок трубки, а затем заметного её роста не происходит изза интенсивного её перемешивания (рис. 34).
Количественно переход от ламинарного течения к турбулентному
можно охарактеризовать величиной, которая в физике носит название число
Рейнольдса:
где l ‒ характерный размер течения (в качестве него может выступать
диаметр трубы).
87
(3.72)
irir
AnM
,
Поскольку число Рейнольдса безразмерная величина, его можно
представить как отношение двух размерных величин, например
кинетической энергии движущейся жидкости
энергии вязкого трения
, следовательно
и
Значение числа Рейнольдса, при котором наблюдается переход
ламинарного течения в турбулентное составляет 2300. При меньших
значениях числа Рейнольдса течение будет ламинарным.
4 Примеры решения задач и основные формулы к ним,
вопросы и тесты для самоконтроля
4.1 Примеры решения задач
Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относительную
молекулярную массу Мr; 2) молярную массу М.
Решение. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме
относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав
молекулы данного вещества, и определяется по формуле
,
где ni — число атомов i-го элемента, входящих в молекулу; A
r.i
–
относительная атомная масса i-го элемента Химическая формула серной
кислоты имеет вид H2S04. Из формулы серной кислоты далее следует, что
n1=2 (два атома водорода), n2=1 (один атом серы) и n3=4 (четыре атома
кислорода).
Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода
найдём в таблице Д. И. Менделеева:
A
r.1
= 1, A
=32, A
r.2
= 16.
r.3
88
Подставив значения ni, и A
9816432112
r
M
kMM
r
M
Ri
с
v
2
M
Ri
с
p
2
2
624
02,0
31,823
vc
1040
02,0
31,8223
p
c
3
104,10
002,0
31,825
vc
3
106,14
002,0
31,8225
p
c
массу серной кислоты:
Зная относительную молекулярную массу Мr, найдём молярную массу
серной кислоты по формуле
где k = 10-3 кг/моль.
Подставив значения величин, получим
Ответ: М = 98·10-3 кг/моль.
Пример 2. Вычислить удельные теплоёмкости при постоянном объёме
, найдём относительную молекулярную
r.i
.
,
М = 98·10-3 кг/моль.
и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за
идеальные.
Решение. Удельные теплоёмкости идеальных газов выражаются
формулами
,
,
где i – число степеней свободы, М – молярная масса. Для неона
(одноатомный газ) i = 3, М = 20·10-3 кг/моль, тогда
Дж/(кг·К),
Дж/(кг·К).
Для водорода (двухатомный газ) i = 5, M = 2·10-3 кг/моль, тогда
Дж/(кг·К),
Дж/(кг·К).
Ответ: He: 624 Дж/(кг·К), 1040 Дж/(кг·К);
H: 10,4·103 Дж/(кг·К), 14,6·103 Дж/(кг·К).
Пример 3. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря
диаметром 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот
89
пузырь?
ddR
p
84
2
2
2
22
2222, dRSSSA
2
2 dA
2,3
1,0
10408
3
p
332
105,210401,014,32
A
2211
VpVp
ghpp
02
3
11
3
4
rV
1
3
1
3
22
8
1
23
4
3
4
V
r
rV
1010
8
1
VghpVp
Решение. Плёнка мыльного пузыря имеет две сферические
поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают
давление на воздух, заключённый внутри пузыря. Так как толщина плёнки
мала, то диаметры обеих поверхностей почти одинаковы, поэтому
добавочное давление равно
.
Работа, которую нужно совершить, чтобы растянуть плёнку (надуть
пузырь) равна:
,
тогда
.
Найдём численные значения
Па,
Дж.
Ответ: р = 3,2 Па, А = 2,5·10-3 Дж.
Пример 4. На какой глубине радиус пузырька воздуха вдвое меньше,
чем у поверхности вода, если атмосферное давление у поверхности воды р0.
Решение. Так как температура остаётся неизменной, к газу можно
применить закон Бойля-Мариотта
. Из условия задачи р1=р0 находим
, где gh – гидростатическое давление жидкости. Тогда объем
пузыря воздуха у поверхности и на глубине h, соответственно :
;
.
После подстановки получаем
,
откуда
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]