Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия и законы молекулярной физики. Учебное пособие
.pdf
В физике под вероятностью понимают долю каких-то событий,
Рисунок 6 – Шестигранный кубик
(1.14)
(1.15)
считающихся благоприятными, к общему числу событий. Рассмотрим этот
вопрос на примере шестигранного кубика, который часто используют для
определения числа ходов в настольных играх (рис. 6).
При броске такого кубика число, изображённое на каждой грани,
выпадает случайным образом. Распределение вероятности в данном случае
носит дискретный характер: кубик не может упасть на ребро и остаться в
таком положении. Пусть Х1, Х2, Х3, …, ХN – это события, например,
выпадения одного из чисел на гранях кубика, где N – число событий
(достаточно велико). Определим среднее значение величины, которая
выпадет при бросании кубика. Это одна из очень важных задач. Для этого
можно воспользоваться следующим правилом:
Число «1» на грани кубика может выпасть N1 раз, число «2» ‒ N2 раз и
так далее, поэтому перепишем предыдущее выражение так:
при этом можно заметить, что
события Х2 и так далее. Ранее уже отмечалось, что в физике вероятности
‒ это доля события Х1,
‒ это доля
21
понимаются именно как доли, следовательно, можно утверждать, что
(1.16)
(1.17)
(1.18)
‒ вероятность события Х
,
1
‒ вероятность события Х2 и так
далее.
Среднее значение величины, таким образом, это
Именно так вычисляется среднее значение дискретной величины.
Теперь нам необходимо научится находить среднее значение какой-
либо функции. Это можно сделать так:
В физике существует много непрерывных случайных величин,
например, скорость молекулы газа, которая может меняться в результате
столкновений с другими молекулами как по величина, так и по направлению.
Какова вероятность, например, что эта скорость примет значение ровно 500
м/с? Если величина распределена непрерывно, то не имеет смысла говорить о
каком-то точном значении, вероятность описанного выше события будет
равна нулю. Но, тем не менее, можно говорить о вероятности попадания
скорости молекулы в какой-то конечный интервал. Введём обозначения:
dW(x) ‒ вероятность попадания величины в интересующий нас интервал [x,
x+dx]. Тогда величину называют плотностью вероятности непрерывной
случайной величины:
или dW(x) = w(x)dx.
22
Чтобы найти среднее значение непрерывной случайной величины
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
необходимо взять интеграл вида:
где интегрирование производится по всем возможным значениям величины
х.
Если бросить шестигранный кубик, то какова вероятность что выпадет
какое-то значение? Под словосочетанием «какое-то значение»
подразумевается любой исход этого события. Очевидно, что вероятность
выпадения какого-то значения равна 1, поскольку что-то обязательно
выпадет. Для дискретной величины:
поскольку
.
Это так называемое условие нормировки:
Для непрерывной случайной величины условие нормировки выглядит
следующим образом:
1.8 Нормальное распределение. Распределение Максвелла,
распределение Больцмана. Барометрическая формула
В XIX веке американский физик и математик Д. У. Гиббс для
термодинамической системы, находящейся в состоянии термодинамического
23
равновесия с окружающей средой, получает выражение для распределения
(1.21)
(1.22)
(1.23)
состояний этой системы, получившее впоследствии название канонического
распределения Гиббса. В упрощённом виде оно выглядит так:
где w(x) – плотность вероятности распределения, х – совокупность координат
и импульсов частиц, β – параметр распределения (
), Z – параметр,
определяемый из условий нормировки.
Что касается величины Е, то в случае, если её рассматривать в качестве
кинетической энергии движения молекул, то мы получим распределение
Максвелла, а если рассматривать её как потенциальную энергию
взаимодействия молекул, получим распределение Больцмана. То есть
распределение Максвелла и распределение Больцмана являются частными
случаями канонического распределения Гиббса, если принять величину Е в
качестве полной энергии, приходящейся на одну степень свободы молекулы.
Существует три варианта распределения Максвелла: по компонентам
скорости, по вектору скорости и по модулю скорости. Рассмотрим лишь одно
из них – распределение по модулю скорости:
где m0 – масса молекулы газа.
Величина F(v) в выражении (1.22) носит название функция
распределения молекул по скоростям. Её физический смысл ‒ относительное
число молекул, скорости которых лежат в единичном интервале вблизи
заданного значения скорости v:
24
Рисунок 7 – Распределение Максвелла по модулю скорости при различных
температурах
(1.24)
где ΔN ‒ это количество молекул, скорости которых лежат в пределах
интервала от v до v + Δv, N ‒общее число молекул.
График распределения Максвелла по модулю скорости представлен на
рисунке 7.
Кривая распределения начинается в начале координат, и это означает,
что в газе нет неподвижных молекул. Из графика видно, что максимум
кривой при увеличении температуры газа смещается вправо в сторону
увеличения скорости. Значение скорости молекул газа, на которое
приходится максимум кривой распределения Максвелла, носит название
наиболее вероятной скорости молекул газа:
В области высоких скоростей кривая асимптотически приближается к
оси абсцисс, из чего следует, что молекул с очень большими скоростями
мало. Этот факт имеет простое объяснение. Для того чтобы молекула могла
25
приобрести при столкновениях очень большую скорость, ей необходимо
(1.25)
(1.26)
совершить много таких столкновений, при которых она получает энергию, и
ни одного столкновения, при котором она её теряет. Поскольку это очень
маловероятная ситуация слишком большие и слишком малые значения
скорости молекул по сравнению с максимальным значением должны быть
крайне редки.
Помимо наиболее вероятной скорости молекул газа, на которую
приходится максимум функции распределения Максвелла можно ввести ещё
две характерные для молекул газа скорости, и именно, среднюю
арифметическую скорость его молекул
а также среднеквадратичную скорость молекул газа
Рассмотрим ещё один частный случай распределения Гиббса. Как уже
было отмечено ранее если в выражении
величину Е рассматривать как потенциальную энергию
взаимодействия молекул, мы придём к распределению Больцмана. Пусть
ансамбль частиц находится в некотором силовом поле, рассмотрим
произвольно выбранный в этом поле объём, в котором содержится некоторое
количество молекул N, на которые со стороны поля действует сила F (рис. 8).
Молекулы газа в этом цилиндре находятся в состоянии
термодинамического и механического равновесия, то есть результирующая
сила равна нулю. Слева давление равно p(x)S, а справа p(x + dx)S.
26
Следовательно,
(1.27)
Рисунок 8 – К вопросу о получении распределения Больцмана
(1.28)
где
Тейлора.
Кроме того, число частиц N = n(x)V, где n(x) ‒ концентрация частиц, а
‒ получено с помощью разложения в ряд
объём V = Sdx, откуда N = n(x)Sdx. Тогда
или
Поскольку F – консервативная сила, то её связь с потенциальной энергией
выражается соотношением
, следовательно,
.
, а в одномерном случае
Рассмотрим теперь конкретную физическую систему – идеальный газ.
Его давление p = nkT (уравнение Менделеева-Клапейрона). Пусть
температура газа остается величиной постоянной, тогда dp = kTdn или kTdn =
‒ ndE
или
пот
. После интегрирования обеих частей этого
уравнения получаем:
.
распределение Больцмана.
27
Пользуясь распределением Больцмана, получим ещё одно выражение,
(1.29)
(1.30)
(1.31)
так называемую барометрическую формулу. Пусть газ находится в
однородном гравитационном поле. Напряжённость этого поля можно
охарактеризовать ускорением свободного падения g = const. Если ускорение
свободного падения есть величина постоянная, то потенциальная энергия
молекулы, находящейся на некоторой высоте h по отношению к уровню,
принятому для потенциальной энергии за нулевой, равна Е
= m0gh,
пот
следовательно
или
где р0 – давление на нулевой высоте.
Поскольку вместо массы молекулы удобнее пользоваться молярной
массой, то барометрическую формулу можно представить в следующие виде:
где μ – молярная масса газа.
2 Термодинамика
Термодинамика аксиоматическая наука, построенная на основе
некоторых аксиом, которые принято называть началами или постулатами.
Объектом изучения термодинамики является термодинамическая система,
представляющая собой совокупность макроскопических тел,
обменивающихся между собой и с другими телами энергией.
Первый или основной постулат термодинамики, гласит: если
28
термодинамическая система изолирована, то через некоторое время в этой
(2.1)
системе устанавливается термодинамическое равновесие, и все её параметры
перестают меняться с течением времени. Из этого состояния
термодинамического равновесия система не может выйти самопроизвольно.
Рассмотрим второй постулат, который также называют нулевым
началом термодинамики. В нём, опять же, аксиоматически вводится понятие
температуры.
Если системы А и В находятся в тепловом равновесии, системы А и С
находятся в тепловом равновесии, то системы В и С также будут находится в
тепловом равновесии.
Следовательно, есть некий параметр, который характеризует состояние
теплового равновесия системы и этот параметр будет одинаковым во всех
трёх системах. Этот параметр называют температурой.
Таким образом, термодинамическое состояние определяется внешними
параметрами и температурой, что, кстати, можно считать ещё одной
формулировкой второго постулата термодинамики.
2.1 Первое начало термодинамики
В XIX в. Дж. Джоуль, Р. Майер и Г. Гельмгольц независимо друг от
друга формулируют закон сохранения энергии для тепловых процессов.
Следствием этого фундаментального закона является первое начало
термодинамики.
Сообщённое системе количество теплоты идёт на изменение её
внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.
где δQ ‒ количество теплоты, сообщённое системе,
dU – изменение внутренней энергии системы,
29
δА – совершенная системой работа.
Рисунок ‒ 9 К вопросу вычисления работы газа
(2.2)
Следует вспомнить, что в механике работа совершается внешней силой
над системой. В термодинамике работа отличается знаком от работы в
механике.
Термодинамика создавалась и развивалась для того, чтобы
усовершенствовать тепловой двигатель, а назначение теплового двигателя –
совершать работу над чем-то внешним. Поэтому в первом начале
термодинамики перед работой стоит знак «+». Рассмотрим систему (рис. 9),
представляющую собой цилиндр с поршнем, с площадью поперечного
сечения S. Поршень находится на расстоянии l от основания цилиндра,
объём, занимаемый газом, составляет V = Sl.
Поршень перемещается на столь малое расстояние dl, что давление p в
системе не успевает заметным образом измениться и его можно считать
постоянным. Давление по определению:
где F – сила, действующая на поршень.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]