Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия и законы молекулярной физики. Учебное пособие
.pdf
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
Можно заметить, что величина
то есть не изменяется в политропном процессе, следовательно
поставить в показатель степени:
тогда
можно
Полученное выражение представляет собой уравнение политропы.
Можно ввести обозначение
, тогда уравнение политропы
можно представить в следующем виде:
поскольку уравнение политропы принято записывать в переменных p и V.
Вообще политропными являются все известные элементарные
процессы, в которых один из параметров остаётся постоянным:
изотермический, изобарный, изохорный и адиабатический.
В изобарном процессе давление является постоянной величиной,
следовательно, теплоёмкость с = ср, и показатель политропы в таком
процессе n = 0. В изотермическом процессе постоянной остаётся
температура, произведение pV = const, показатель политропы n = 1. В
41
изохорном процессе не изменяется объём, поэтому с = сV, показатель
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
политропы n = ∞. Для адиабатического процесса отсутствует теплообмен с
окружающей средой δQ = 0, следовательно с = 0, тогда показатель политропы
, иначе его называют показателем адиабаты и обозначают γ. Для
адиабатического процесса, как нам уже известно:
Процесс распространения звука в газе можно считать адиабатическим,
причём его скорость должна зависеть от показателя адиабаты γ. Определим
скорость звука в газе, воспользовавшись уравнением Пуассона. Перепишем
его через плотность и давление газа, для этого вспомним, что плотность
, следовательно объём газа
, масса газа считается величиной
постоянной, тогда
Учитывая, что скорость звука, если считать газ упругой средой:
Продифференцируем выражение (2.51):
откуда
Далее из уравнения Менделеева-Клапейрона
получим
считая, что
42
,
(2.55)
(2.56)
2.6 Второе начало термодинамики. Энтропия
Первое начало термодинамики являющееся, по сути, законом
сохранения энергии для тепловых процессов не даёт ответа на вопрос о
направлении протекания процессов, например, при контакте двух тел с
разной температурой с точки зрения первого начала термодинамики
самопроизвольный переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому
вполне возможен.
Существует очень много формулировок второго начала
термодинамики. Приведём одну из них: существует некая функция
состояния, которая называется энтропией dS, что её изменение в
равновесных процессах равно
,
Под равновесным понимают такой процесс, который протекает
настолько медленно, что успевает установиться новое состояние равновесия,
близкое к предыдущему. Такие процессы являются обратимыми, то есть
могут протекать и в обратном направлении. Надо понимать, что все реальные
процессы являются неравновесными, и, следовательно, необратимыми.
В равновесном адиабатическом процессе изменение энтропии равно
нулю (dS = 0), следовательно энтропия в таком процессе остаётся величиной
постоянной. Для неравновесного адиабатического процесса энтропия
возрастает ΔS > 0, это так называемый закон неубывания энтропии.
Предположим, у нас имеется адиабатическая оболочка (рис. 13), внутри
которой находятся два тела с абсолютными температурами Т1 и Т2. От
первого тела ко второму было передано некоторое количество теплоты δQ.
43
Рисунок 13 ‒ К вопросу о возрастании энтропии в неравновесном
адиабатическом процессе
(2.57)
(2.58)
(2.59)
Энтропия, также как и внутренняя энергия системы, является функцией
состояния, то есть не имеет значения, каким образом система в данное
состояние перешла из предыдущего. Тогда dS = dS1 + dS2, где первое
слагаемое – это изменение энтропии первого тела, а второе слагаемое –
изменение энтропии второго тела. Изменение энтропии первого тела
изменение энтропии второго тела:
Следовательно
44
Процесс, который происходит в системе неравновесный, но от тела
(2.60)
(2.61)
отняли настолько малое количество теплоты δQ, что процесс можно считать
равновесным, следовательно, энтропия должна возрасти:
что справедливо, если Т1 > T2, то есть тепло будет самопроизвольно
переходить только от более нагретых тел к менее нагретым, но не наоборот!
2.7 Статистический вес. Закон возрастания энтропии.
Статистическое распределение энтропии
Энтропия характеризует стремление термодинамической системы к
состоянию равновесия. Нам уже знаком закон возрастания энтропии, в
котором говориться, что энтропия в замкнутой системе может только расти.
Когда система приходит в состояние термодинамического равновесия
энтропия принимает своё максимальное значение.
Больцманом была получена функция
Необходимо уточнить, что константу, которую мы называем
постоянной Больцмана ввёл в физику М. Планк, сам же Больцман это
выражение записывал в виде пропорциональности, а не равенства. В
выражении (2.61) присутствует некая величина Ω, которая в физике получила
название статистического веса.
Статистический вес – это число микросостояний термодинамической
системы, которые реализуют данное макросостояние. Планк статистический
вес называл термодинамической вероятностью.
В системе есть состояния с большой термодинамической
45
вероятностью, а есть с маленькой термодинамической вероятностью. Чаще
наблюдаются состояния с большой термодинамической вероятностью. Тогда
как будет происходить эволюция системы? Энтропия такой системы будет
расти, так как растет Ω. Следовательно, энтропия растёт только потому, что
термодинамическая система переходит в более вероятные состояния.
2.8 Теоремы Карно. Тепловой двигатель
В 1824 году вышла работа французского инженера Сади Карно
«Размышление о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту
силу». В те времена установившейся терминологии ещё не существовало, и в
данном случае под силой понималась энергия или мощность. Карно
сформулировал несколько теорем, формулировки которых будут приведены
сейчас, а в дальнейшем будут доказаны.
Теорема 1. Коэффициент полезного действия (далее КПД) теплового
двигателя, работающего по циклу Карно, не зависит от природы
используемого рабочего тела, а определяется только максимальной и
минимальной температурами, между которыми работает этот двигатель, и не
зависит ни от каких других параметров двигателя.
Теорема 2. Никакой другой тепловой двигатель, работающий между
теми же самыми максимальной и минимальной температурами, не может
иметь КПД больший, чем КПД двигателя, работающего по циклу Карно.
Теорема 3. Наибольшим КПД, при одинаковых температурах
нагревателя и холодильника, по сравнению с другими циклами, обладает
цикл, состоящий из двух адиабат и двух изотерм.
Тепловой двигатель – это циклически работающее устройство, которое
совершает работу за счёт полученного извне тепла.
Циклы теплового двигателя обычно изображают в координатах p, V.
Во-первых, это естественно, поскольку при движении поршня изменяется
объём, следовательно V может выступать в роли независимой переменной.
46
Во-вторых, площадь pdV имеет смысл работы А. Полная работа будет
(2.62)
(2.63)
Рисунок 14 ‒ Произвольный процесс, представленный в координатах p, V.
представлять собой площадь криволинейной трапеции (рис. 14).
Вспомним второе начало термодинамики:
откуда получается, что
Но можно воспользоваться и другими координатами, например, Т, S, в
этом случае площадь криволинейной трапеции будет представлять собой
переданное количество теплоты (рис. 15). Будем рассматривать работу
теплового двигателя в координатах Т, S. Тепловой двигатель работает по
некоторому произвольному замкнутому циклу 1-2-3-4. Запишем первое
начало термодинамики: Q = ΔU + A. Если процесс циклический, то
изменение внутренней энергии системы равно нулю (ΔU = 0) поскольку она
является функцией состояния системы, следовательно Q = A.
47
Рисунок 15 ‒ Произвольный процесс, представленный в координатах Т, S.
(2.64)
Рисунок 16 ‒ Цикл работы теплового двигателя в координатах Т,S.
На участке 1-3 (рис. 16) dS > 0, следовательно, и δQ > 0 и двигатель
получает тепло. На участке 3-1 dS < 0, двигатель отдаёт тепло. Итак, Q = Qн ‒
Qх = А. Тепло, полученное от нагревателя Qн это площадь трапеции 1-2-3,
тепло, переданное холодильнику Qх ‒ это площадь трапеции 1-4-3. Разность
этих площадей и есть работа за цикл:
48
По определению коэффициент полезного действия ‒ это отношение полезной
(2.65)
Рисунок 17 ‒ Принцип работы холодильной машины
(2.66)
работы к затраченной. В данном случае, полезная работа — это работа,
совершенная тепловым двигателем, а затраченная работа – это количество
теплоты, сообщённое тепловому двигателю для работы, то есть Qн. Тогда
Что произойдёт если запустить тепловой двигатель в обратном
направлении? Получится холодильная машина, в которой у холодильника
забирается тепло и передаётся более нагретому телу, для этого необходимо
совершить работу (рис. 17).
Что будет характеризовать эффективность этого процесса? Введём
величину, называемую холодильным коэффициентом:
как видно из выражения (2.66) данная величина может быть как больше, так
49
и меньше единицы.
(2.67)
Рисунок 18 ‒ К вопросу о доказательстве первой теоремы Карно.
Теперь займёмся доказательствами теорем Карно. Докажем первую
теорему Карно. Анализируя графики циклов Карно, построенных в
координатах Т, S в этом действительно легко убедиться.
В данном примере, проиллюстрированном рисунком 18, у обоих
циклов одинаковые Т
и Т
max
, но энтропия изменяется по-разному.
min
Определим КПД для этих циклов. Для первого цикла Qн = Т
Т
minΔS1
. Для второго цикла Qн = Т
maxΔS2
, Qх = Т
minΔS2
. КПД двигателя
maxΔS1
, Qх =
Это формула КПД теплового двигателя, работающего по циклу
Карно. Как видно из выражения (2.67) КПД такого двигателя зависит только
от температур нагревателя и холодильника.
Докажем вторую теорему Карно. Для этого на графике построенном в
координатах Т,S окружим произвольной цикл прямоугольником, поскольку
от изменения энтропии КПД не зависит (рис. 19).
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]