Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные понятия и законы молекулярной физики. Учебное пособие
.pdf
Эта сила совершает работу
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
где Sdl = dV – изменение объёма газа.
Обратим внимание на то, что у некоторых величии, входящих в
выражение первого начала термодинамики пишется δ, а у других d. Это
связано с тем, что работа является функцией процесса, а внутренняя энергия
– функцией состояния. Количество теплоты, переданное системе, также
зависит от процесса. Можно записать первое начало термодинамики не для
элементарного, а для конечного процесса:
откуда следует
Мы получили выражение первого начала термодинамики для конечных
процессов. Перепишем его несколько иначе:
Это достаточно распространённая форма записи первого начала
термодинамики. Чтобы воспользоваться им для конкретных условий,
необходимо знать функции U = U(V, Т) и p = p(V, T). В термодинамике
функцию U = U(V, Т) называют энергетическим уравнением состояния, а p =
p(V,T) – термическим уравнением состояния, поскольку оно даёт
возможность измерить температуру.
31
Найдем дифференциал от функции двух переменных:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
следовательно
2.2 Теплоёмкость идеального газа
Рассмотрим ещё одно физическое понятие – теплоёмкость. По
определению теплоёмкость ‒ это отношение количества теплоты,
сообщённого телу к изменению температуры:
Различают удельную теплоёмкость:
и молярную теплоёмкость:
где ν – количество вещества.
Легко видеть, что теплоёмкость, также как и количество теплоты
является функцией процесса и в различных процессах теплоёмкость будет
разной. Покажем это на примере нескольких простейших процессов:
изотермического, изобарного, изохорного и адиабатического (в следующих
32
параграфах изопроцессы будут рассмотрены более подробно).
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
В изотермическом процессе dT = 0 и теплоёмкость будет стремиться к
бесконечности, а в адиабатическом процессе она будет равна нулю. Для
изохорного процесса (dV = 0) можно записать:
Следовательно, для произвольного количества вещества
Итак
Перепишем первое начало термодинамики с помощью только что
полученного соотношения:
Теперь получим выражение для теплоёмкости при изобарном процессе
при p = const.
Тогда
следовательно
или
далее можно записать:
33
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Конкретизируем полученное выражение (2.17). Для этого рассмотрим
модель идеального газа, у которого отсутствует взаимодействие между
молекулами на расстоянии, тогда его внутренняя энергия будет представлять
собой только кинетическую энергию хаотического движения его молекул.
Согласно теореме Больцмана о равномерном распределении энергии по
степеням свободы, средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну
степень свободы равна
свободы i, то
‒ энергия для i степеней свободы. Если число молекул в
, где k ‒ постоянная Больцмана. Если степеней
газе N, то
причём для идеального газа внутренняя энергия является только функцией от
температуры U = U(T) и не зависит от объёма. Число молекул в свою очередь
можно представить как N = νNA, тогда
учитывая, что R = kNA ‒ универсальная газовая постоянная (константа
Менделеева), получим
Итак, поскольку от объёма внутренняя энергия идеального газа не
зависит, то
34
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Теперь рассмотрим разность молярных теплоёмкостей cp – cV:
Воспользовавшись термическим уравнением для состояния идеального
газа, а это уравнение Менделеева-Клапейрона: можно прийти к
выводу, что
Полученное соотношение носит название уравнение Майера.
2.3 Изопроцессы
Процессы, в которых один из параметров, характеризующий
идеальный газ (p, V или Т) остаётся постоянным носят называние
изопроцессов.
Изотермическим называется процесс, при котором для
неизменной массы газа (m = const) температура остаётся постоянной (Т =
const). На рисунке 10 показаны графики изотермического процесса в
различных координатах. В термодинамике графики изопроцессов (и не
только) принято строить так, чтобы на вертикальной оси откладывалось
давление газа, а на горизонтальной – его объём, поскольку в этих
координатах площадь фигуры под графиком будет численно равна работе,
которую совершает газ, или работе, которую внешние силы совершают над
газом, в зависимости от направления процесса. Следует помнить, что для
других координат это правило не выполняется.
35
Рисунок 10 – Графики изотермического процесса в различных координатах
(2.24)
(2.25)
Получим выражение для работы, которую совершает газ при
изотермическом расширении:
Поскольку температура газа в изотермическом процессе остаётся
постоянной, то его внутренняя энергия не изменяется, следовательно,
и всё количество теплоты, сообщённое газу, идёт на совершение им
работы против внешних сил.
При расширении газа его температура должна понижаться, в
изотермическом процессе к газу необходимо подводить тепло, равное
совершённой им работе.
Изохорным процессом называется процесс, при котором для
неизменной массы газа (m = const) его объём остаётся постоянным (V =
const). Графики изохорного процесса в различных координатах приведены на
рисунке 11.
36
Рисунок 11 – Графики изохорного процесса в различных координатах
(2.26)
(2.27)
Рисунок 12 – Графики изобарного процесса в различных координатах
Уравнение Менделеева-Клапейрона для изохорного процесса примет
вид:
В изохорном процессе не происходит расширения газа, следовательно,
работа газом над внешними телами не совершается, а всё сообщённое газу
тепло идёт на увеличение его внутренней энергии, соответственно, и
, следовательно
Изобарным процессом называется процесс, при котором для
неизменной массы газа (m = const) его давление остаётся постоянным (р =
const). Графики изобарного процесса в различных координатах приведены на
рисунке 12.
37
Уравнение Менделеева-Клапейрона для изобарного процесса принимает вид:
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
В изобарном процессе работа при расширении газа
В соответствии с уравнением Менделеева-Клапейрона, можно также
получить следующее выражение для работы газа при изобарном расширении:
Ранее нами была получена теплоёмкость газа для изобарного процесса,
поэтому
Изменение внутренней энергии газа в изобарном процессе
определяется соотношением:
2. 4 Адиабатический процесс
Адиабатический процесс – это процесс, при котором не происходит
теплообмен с окружающей средой. Для того, чтобы исключить теплообмен с
окружающей средой, необходимо наличие теплоизоляции либо время
протекания процесса должно быть очень малым. Рассмотрим выражение,
описывающее данный процесс. Оно носит название уравнение адиабаты.
Для адиабатического процесса теплообмен с окружающей средой
отсутствует, следовательно, в уравнении первого начала термодинамики
38
, и можно записать: и , кроме того,
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
, следовательно,
Если продифференцировать уравнение Менделеева-Клапейрона,
получим
Разделим (2.34) на (2.33):
Далее несложно заметить, что
, где
– коэффициент
Пуассона. Проинтегрировав полученное выражение, запишем:
. Из полученного выражения следует уравнение Пуассона для
адиабатического процесса:
2.5 Политропные процессы
Политропическим называется процесс с постоянной теплоёмкостью (c
= const).
Получим уравнение политропы для идеального газа. Для этого
запишем первое начало термодинамики для идеального газа:
поскольку для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объёма, то
, следовательно:
39
(2.38)
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
где с – постоянная теплоёмкость, характеризующая политропный процесс.
Умножим обе части полученного выражения на dT:
получили дифференциальное уравнение политропы. Теперь обе части
выражение поделим на Т:
учитывая, что имеем:
В полученном выражении проинтегрируем правую и левую части:
или
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]