Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Общая теория статистики. Практикум
.pdf
61
Совокупность однородна т.к. коэффициент вариации не превышает 33 %.
ПРИМЕЧАНИЕ. Расчет показателей вариации вручную достаточно трудоемок, особенно при больших объемах совокупностей.
Стандартные статистические методы обработки данных включены в
состав электронных таблиц, математических пакетов. В частности,
величины показателей вариации можно произвести с помощью программы Microsoft Excel.
Для определения среднего отклонения выбираем функцию
=СРОКТЛ (диапазон).
Для нахождения квадратического отклонения набираем =СТАН.
Появляется меню, выбираем =СТАНДОТКЛОН.Г Г- означает генеральная совокупность. Но лучше выбирать =СТАНДОТКЛОН.Встандартное отклонение выборки.
Для нахождения дисперсии выбираем функцию =ДИСП.В.
Определение коэффициента вариации происходит следующим
образом: =СТАНДОТКЛОН.Г (диапазон) / СРЗНАЧ (диапазон)*100 %.
6.3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задание 6.3.1. Отдел маркетинга занимался изучением потреби-
тельского спроса. Сотрудник отдела в течение рабочего дня регистрировал число покупок, сделанных покупателями, посетившими
магазин. В табл. 6.3.1 представлены итоги регистрации.
62
Таблица 6.3.1
Итоги регистрации
Номер
покупателя
Число
покупок
Номер
покупателя
Число
покупок
Номер
покупателя
Число
покупок
1 4 10 3 19
2
2 2 11 2 20 2 3 3 12 3 21 2 4 1 13 6 22
2
5 1 14 3 23 3 6 5 15 4 24
4
7 2 16 1 25 2 8 6 17 5 26 1 9 1 18 3 27
5
Необходимо:
1. Сделать структурную группировку. Представить результаты
группировки в виде табличной формы.
2. Рассчитать среднюю по совокупности.
3. Рассчитать показатели вариации. Ручным способом и с помо-
щью программы Microsoft Excel.
4. Сделать вывод.
63
ГЛАВА 7. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
7.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
В конспекте Логиновой С.Л. данная тема раскрывается на
стр. 53–58.
Выборочное наблюдение проводится в тех случаях, когда проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно.
Выборочной совокупностью называют ту часть единиц, которые
отобраны для наблюдения (n), а генеральной — всю совокупность
единиц, из которых производится отбор (N) [1].
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того,
насколько состав выборки представляет генеральную совокупность,
т.е., насколько выборка репрезентативна.
Методы отбора единиц в выборочную совокупность подразделяют на повторный и бесповторный.
При повторном отборе каждая попавшая в выборку единица
возвращается в генеральную совокупность и имеет шанс вторично
попасть в выборку. Бесповторный отбор означает, что каждая отобранная единица не возвращается в генеральную совокупность и не
может подвергнуться вторичной регистрации, а поэтому для остальных единиц вероятность попадания в выборку увеличивается [3].
При формировании выборочной совокупности используют следующие виды (способы) отбора: простой случайный отбор; механический отбор; серийная, расслоенная (типическая или стратифицированная), многоступенчатая, много-фазовая и моментная выборки.
Случайный отбор производится с помощью жеребьевки либо по
таблице случайных чисел. При механическом способе отбирается
каждый (n/N)-й элемент генеральной совокупности. При серийном
способе в порядке случайной или механической выборки отбирают не
64
единицы, а определенные районы, серии (гнезда), внутри которых
проводится сплошное наблюдение [4].
Расслоенным (стратифицированным) способом производится
отбор единиц из неоднородной совокупности. Для этого генеральную
совокупность с помощью типологической группировки разбивают на
однородные группы, а затем из каждой группы случайным или механическим способом отбирают единицы в выборочную совокупность.
При этом единицы разных групп включаются в выборку пропорционально их численности в генеральной совокупности.
Определение ошибок выборки
Разность между показателями выборочной и генеральной совокупностей называется средней ошибкой выборки и обозначается μх.
В условиях большой выборки (n ≥ 30) средняя ошибка выборки
определяется по формулам теории вероятностей.
Формулы для расчета ошибок выборки сведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Формулы для расчета ошибок выборки
Показатели
При определении
средней величины
При определении
доли
Повторный
способ отбора
Средняя
ошибка
выборки
n
S
x
2
=
(22)
n
ww
w
)1( −
=
(23)
Предельная
ошибка
выборки
n
S
t
x
2
=
(24)
n
ww
t
w
)1( −
=
(25)
Бесповторный
способ отбора
Средняя
ошибка
выборки
)1(
2
N
n
n
S
x
−=
(26)
)1(
)1(
N
n
n
ww
w
−
−
=
(27)
Предельная
ошибка
выборки
)1(
2
N
n
n
S
t
x
−=
(28)
)1(
)1(
N
n
n
ww
t
w
−
−
=
(29)
65
Где σ2 — дисперсия совокупности, p — доли единиц, обладающих альтернативным признаком, n — число единиц в совокупности,
N — объем генеральной совокупности, t — коэффициент доверия
(нормированное отклонение), зависящий от доверительной вероятности Р, с которой гарантируется величина предельной ошибки. Он
определяется по формуле:
, (20)
где S 2 — выборочная дисперсия, w — выборочная доля.
Величина t определяется по удвоенной нормированной функции
Лапласа
( )
dtePtФ
t
t
t
+
−
−
==
2
2
2
1
, по специальной таблице.
Вероятность изменяется в пределах от «0» до «1». Например,
уровень вероятности 0,95 означает, что только в пяти случаях из ста
ошибка может выйти за установленные границы.
Формулы предельной ошибки позволяют решать задачи двух
видов.
1 задача: определение пределов генеральных характеристик с
заданной степенью надежности (доверительной вероятностью) на основе показателей, полученных по данным выборки.
Тогда доверительные интервалы для генеральной средней будут
иметь вид
x
xx =
~
, т.е.
xx
xxx +−
~~
, (30)
доверительные интервалы для генеральной доли
w
wp =
;
ww
wpw +−
, (31)
x
x
t
=
66
где
x
~
— выборочная средняя, р — генеральная доля.
2 задача: определение доверительной вероятности того, что ге-
неральная характеристика может отличаться от выборочной не более
чем на определенную заданную величину.
Определение численности выборки
Определение численности выборки производится в зависимости
от метода отбора. Для расчета объема выборки необходимо иметь
следующие данные:
1) доверительную вероятность Р либо коэффициент доверия t;
2) дисперсию изучаемого признака S2 или w (1 – w);
3) величину максимально допустимой ошибки Δх или Δр;
4) объем генеральной совокупности N.
Формулы для расчета численности выборки представлены в
табл. 7.2.
Таблица 7.2
Формулы для расчета численности выборки
Численность
выборки
Способ отбора единиц
повторный
бесповторный
для средней
2
22
x
St
n
=
(32)
222
22
StN
NSt
n
x
+
=
(33)
для доли
( )
2
2
1pwwt
n
−
=
(34)
( )
( )
wwtN
Nwwt
n
p
−+
−
=
1
1
22
2
(35)
В случаях, когда частость w даже приблизительно неизвестна, в
расчет вводят максимальную величину дисперсии доли, т.е. 0,25 (при
w = 0,5).
67
7.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Пример 7.2.1. Необходимо произвести 10 %-ю выборку деталей,
выпускаемых четырьмя бригадами N-го цеха, для проверки их качества. Если, количество деталей, взятых для поверки качества, первой
бригады N1 = 40 деталей, второй бригады N2 = 50 деталей, третьей
N3 = 80 деталей, и четвертой N4 = 100 деталей.
Решение
1. Определим объем генеральной совокупности:
N = 40 + 50 + 80 + 100 = 270 дет. — число единиц в генеральной
совокупности.
2. Определим объем выборочной совокупности:
n = 0,1 * N = 27 дет.
Определить попавших в выборку деталей по группам (ni) можно
по формуле:
N
N
nn
i
i
=
. (36)
3. Определим количество деталей для определения качества в
первой группе n1 = 27 * 40 / 270 = 4 детали.
Во второй группе: n2 = 27 * 50 / 270 = 5 деталей.
В третьей группе: n3 = 27 * 80 / 270 = 8 деталей.
В четвертой группе: n4 = 27 * 100 / 270 = 10 деталей.
Проверим. 4 + 5 + 8 + 10 = 27 деталей.
Пример 7.2.2. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки произвели 100 наблюдений (n) и установили среднюю
продолжительность одного телефонного разговора (
x
~
) — 5 мин при
среднем квадратическом отклонении — 2 мин. Какова вероятность
68
того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 секунд.
Решение
Для того, чтобы найти вероятность Р, требуется рассчитать коэффициент доверия t
x
x
t
=
. (37)
Для этого определим μx по формуле 22.
.2,0
100
2
2
мин
x
==
тогда
5,1
2,0
6018
=
=t
По таблице (Приложение 1) при t = 1,5Р = 0,866.
Вывод. Вероятность того, что средняя продолжительность одного телефонного разговора не превысит 18 секунд, составляет 86,6.
Пример 7.2.3. С целью изучения уровня цен на молоко в трех
районах области было произведено 10 %-ное типичное обследование
торговых магазинов. При этом отбор производился пропорционально
числу торговых магазинов в каждом районе. Результаты обследования представлены в табл. 7.2.2.
Требуется определить с вероятностью 0,945 среднюю и предельную ошибку выборочной средней.
69
Таблица 7.2.2
Результаты обследования торговых магазинов
Район
Число
торговых
магазинов, N
i
Объем
выборки,
n
i
Цена на молоко у.е
Средняя,
x
j
Дисперсия,
S
j
2
Ленинский
580
58
20
1,44
Кировский
350
55
25
2,61
Чкаловский
420
42
22
2,25
Решение
1. Определим объем совокупности N = 580 + 350 + 420 = 1 350.
2. Предварительно определим среднюю из внутригрупповых
дисперсий
____
2
i
=
i
ii
n
nS
2
. (38)
____
2
i
=
423558
42*25,235*61,358*44,1
++
++
= 2,25.
3. Определим среднюю квадратическую ошибку по формуле
(26):
)
1350
135
1(
135
25,2
−=
x
= 0,12.
Для определения предельной ошибки средней по таблице Приложения1 из условия Р = 0,954 определяем t = 2,0.
4. Определим предельную ошибку выборки по формуле 28.
)
1350
135
1(
135
25,2
2 −=
x
= 0,24.
70
Пример 7.2.4. Из партии электроламп взята 20 %-ная случайная
бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие (см. табл. 7.2.3).
Таблица 7.2.3
Вес, мг
38–40
40–42
42–44
44–46
Число спиралей, шт.
15
30
45
10
Требуется определить с вероятностью 0,95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.
Решение
Для того чтобы определить интервалы, требуется рассчитать
x
~
и Δ х.
мг
f
fx
x
i
ii
0,42
10453015
1045454330411539
~
=
+++
+++
==
;
−==
N
n
n
S
tt
xx
1
2
; N = n / 0,2 = 500 электроламп.
По таблице находим t: при вероятности Р = 0,95t = 1,96;
( )
( ) ( ) ( ) ( )
мг
f
fxx
S
i
i
0,3
100
104245454243304241154239
~
2222
2
2
=
−+−+−+−
=
−
=
.
Тогда
мг
x
3,0
500
100
1
100
3
96,1 =
−=
, а доверительный интервал
для генеральной средней с вероятностью 0,95 имеет вид
42,0 – 0,3
х
42,0 + 0,3,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]