Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев, А. Р. Миндубаева
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Учебно-методическое пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2020
УДК 517.31(075)
ББК 22.161.1я7
Б60
Б60
Бикмухаметова, Д. Н.
Неопределенный интеграл : учебно-методическое пособие /
Д. Н. Бикмухаметова, Р. Ф. Ахвердиев, А. Р. Миндубаева; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во
КНИТУ, 2020. – 92 с.
ISBN 978-5-7882-2842-6
ISBN 978-5-7882-2842-6
©
Бикмухаметова Д. Н., Ахвердиев Р. Ф.,
Миндубаева А. Р., 2020
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2020
УДК 517.31(075)
ББК 22.161.1я7
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. А. Турилова
канд. техн. наук А. И. Кадыйров
Приведены необходимые теоретические сведения и решения типовых
задач по неопределенным интегралам, а также расчетные задания и варианты
тестовых и контрольных работ.
Предназначено для бакалавров всех направлений подготовки, изучаю-
щих дисциплину «Математика».
Подготовлено на кафедре высшей математики.
1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение. Функция F(x), определенная в промежутке X, назы-
вается первообразной данной функции f(x) в этом промежутке, если для
любого значения x X выполняется равенство F ´(x)=f(x).
Например, функция F(x)=x3, первообразная функции f(x)=3x2
в интервале X={-∞;+∞}, поскольку (x3)´=3x2 для всех x . Первообразных
y функции множество. Например, для функции 3x2 первообразными являются (x3+2), (x3−5) и т. д., так как (x3+2)´= 3x2, (x3−5)´= 3x2.
Две различные производные одной и той же функции отличаются
друг от друга на постоянные слагаемые.
Определение. Неопределенным интегралом от данной функции
f(x) называется множество всех ее первообразных, он обозначается сим-
волом
dxxf )(
.
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx –
подынтегральным выражением, а переменная x – переменной интегрирования.
Таким образом, интегрирование – нахождение неопределенного
интеграла – есть восстановление функции по ее производной. Очевидно, интегрирование – операция, обратная дифференцированию.
2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I. (
dxxf )(
)´= f(x).
II. d
dxxf )(
=f(x)dx.
III.
dxxfk )(
=k
dxxf )(
, (k=const).
IV.
dxxfdxxfdxxfxf )()())()((
2121
+=+
.
3
4
3. НЕЗАВИСИМОСТЬ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ОТ ВЫБОРА
ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Это свойство интеграла вытекает из инвариантности формы первого дифференциала dF(u)=F´(u)du, при этом u может быть независимой переменной или любой дифференцируемой функцией.
Исходя из этого переменная интегрирования u в таблице интегра-
лов также может быть независимой переменной или функцией.
Таблица простейших интегралов:
1.
+= cudu
.
2.
n
u
du=
c
n
u
n
+
++1
1
, (n≠−1).
3.
cu
u
du
+=ln
.
4.
+= c
a
a
dua
u
u
ln
, (a≠1, a>0).
5.
+= cedue
uu
.
6.
+−= cuudu cossin
.
7.
+= cuudu sincos
.
8.
=
u
du
2
cos
tgu+c.
9.
+−= cctgu
u
du
2
sin
.
10.
+=
+
c
a
u
arctg
a
ua
du 1
22
, (a≠0).
11.
+
+
−
=
−
c
au
au
a
au
du
ln
2
1
22
, (a≠0).
12.
+=
−
)(,arcsin
22
auc
a
u
ua
du
.
5
13.
cauu
au
dx
+++=
+
2
2
ln
.
Справедливость формул можно проверить путем дифференциро-
вания их правых частей. Вошедшие в таблицу интегралы будут называться в дальнейшем табличными.
4. ПОНЯТИЕ ОБ ОСНОВНЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Не существует универсальных методов вычисления интегралов.
Однако имеется несколько приемов, которые позволяют, хотя и не всегда, привести интеграл к одному или нескольким известным.
В простейших случаях интегрирование возможно с помощью
тождественных преобразований подынтегральной функции или подынтегрального выражения. Тождественное преобразование подынтегральной функции иногда называют методом разложения, а тождественное преобразование подынтегрального выражения – подведением
функции под знак дифференциала. В более сложных ситуациях используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
4.1. Интегрирование разложением подынтегральной функции
Этот прием подразумевает приведение интеграла к табличным с
помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и
применением 3 и 4 свойств интеграла.
Пример 1. Вычислить
( )
++− dxxxx 433
26
.
Решение. Представляя интеграл алгебраической суммы в виде интегралов слагаемых, вынося постоянные множители за знак интегралов и
применяя формулу 2 таблицы основных интегралов, получим
( )
++− dxxxx 433
26
=3
++− dxxdxdxxdxx 43
26
=
6
=
Cx
xxx
+++− 4
2
3
37
3
237
.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции:
d(
Cx
xxx
+++− 4
2
3
37
3
237
)=(
Cx
xxx
+++− 4
2
3
37
3
237
)´dx=
= (
42
2
3
3
3
1
7
7
3
26
++− xxx
)dx = (3x6-x2+3x+4)dx.
Пример 2. Вычислить
++
dx
x
xx
5
2
2
.
Решение. Производя почленное деление и применяя свойства III и
IV неопределенного интеграла, получим
++
dx
x
xx
5
2
2
=
dx
x
x
x
x
x
)
2
(
5
2
++
=
=2
−
−
++ dxxdxx
x
dx
2
1
5
3
= 2
Cxxx +++ 2
2
5
ln
5
2
.
Пример 3. Вычислить
xx
xdx
22
cossin
2cos
.
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой cos2x =
=cos2x − sin2x, тогда
xx
xdx
22
cossin
2cos
=
−
dx
xx
xx
22
22
cossin
sincos
=
=
dx
xx
x
22
2
cossin
cos
–
dx
xx
x
22
2
cossin
sin
=
=
−
x
dx
x
dx
22
cossin
= − ctgx – tgx +C.
Пример 4. Вычислить
+24xx
dx
.
Решение. Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции
x2, получим
+24xx
dx
=
( )
dx
xx
xx
+−+1
1
22
22
=
( ) ( )
+
−
+
+
dx
xx
x
dx
xx
x111
22
2
22
2
=
7
=
++1
22
x
dx
x
dx
= −
.1Carctgxx+−
Примеры для самостоятельного решения. Решить следующие инте-
гралы:
1.
( )
−− dxxx 152
58
Ответ:
Cxxx +−−
69
6
5
9
2
.
2.
− dx
x
x
)
11
(
2
Ответ:
Cxx+−− ln
1
.
3.
−+
dx
x
xx 14
3
Ответ:
.2
3
8
2
3
3
2
Cxxxx +−+
4.
dx
x
x
2
1
+
Ответ:
.ln2
1
Cx
x
x +−+
5.
+
++
dx
xxx3
65
2
Ответ:
.2
2
2
Cxx++
6.
+
+
dx
x
x
2
2
1
2
Ответ:
.Carctgxx ++
7.
dx
x
x
+
+−
2
2
5
53
Ответ:
.5ln
55
3
2
Cxx
x
arctg +++−
8.
+ xx
dx
2
sin2cos
Ответ:
.Ctgx +
9.
dx
x
xxe
x
−
Ответ:
.Cxe
x
+−
10.
−
−++
dx
x
xx
4
22
1
11
Ответ:
.1lnarcsin
2
Cxxx ++++
11.
( )
+ dxxx
3
3
Ответ:
C
x
xxxxxx ++++
213
18
7
9
5
2
2
6
2
3
22
.
8
12.
+−
dx
x
xxx
2
22
cos
1cossincos
Ответ:
.cos
2
xtgxx ++
13.
dx
x
xtg−
2
2
sin
54
Ответ:
.54 Cctgxtgx ++
14.
dx
x
2
sin
2
Ответ:
( )
.sin
2
1
Cxx +−
15.
+dxx
x
2
2
1
Ответ:
Carctgxx +−
.
4.2. Интегрирование подведением функции под знак
дифференциала
Метод основан на тождественном преобразовании подынтегрального выражения. Переход от φ´(x)dx к dφ(x) (φ´(x)dx = dφ(x)) называется
подведением множителя φ´(x) под знак дифференциала.
При тождественных преобразованиях подынтегрального выражения удобно использовать простейшие преобразования дифференциала:
dx=d(x+b), b=const.
dx=
)(1axd
a
, где постоянная a≠0.
dx=
)(
1
baxda+
, где постоянная a≠0.
xdx=
).(
2
1
2
xd
xdx=
).(
2
1
2
bxd +
sinxdx=-d(cosx).
cosxdx= d(sinx) т.д.
В общем случае φ´(x)dx = dφ(x).
9
Пример 5. Вычислить
.5cos xdx
Решение. Преобразуем дифференциал
),5(
5
1
xddx =
тогда интеграл
== )5(5cos
5
1
)5(
5
1
5cos5cos xxdxdxxdx
представляет формулу
7 таблицы интегралов при u=5x:
=)5(5cos
5
1
xxd
Cx +5sin
5
1
.
Проверка: d(
Cx +5sin
5
1
)=(
Cx +5sin
5
1
)´dx=
=
.5cos55cos
5
1
xdxdxx =
Пример 6.
( )
+.438x
dx
Решение. Преобразуем дифференциал
)43(
3
1
+= xddx
, тогда
( )
+.438x
dx
=
( )
+
+
8
43
)43(
3
1
x
xd
=
=
( )
++
−
)43(43
3
1
8
xdx
=
( )
.
437
1
7
Cx+
+
−
При решении примера использована формула 2 таблицы интегралов
при u=3x+4, n = −8.
Пример 7.
− 4sin
cos
2
x
xdx
.
Решение. Приведем cosx под знак дифференциала cosxdx=d(sinx). Тогда
− 4sin
cos
2
x
xdx
=
+
+
−
=
−
C
x
x
x
xd
2sin
2sin
ln
4
1
2sin
)(sin
22
.
Пример решен по формуле 11 таблицы интегралов при u=sinx, a=2.
10
Пример 8. Вычислить
x
dx
e
x
.
Решение. Подведем
x
1
под знак дифференциала
dx
x
1
=
( )
xd2
:
x
dx
e
x
=
+== .2)(2)(2 Cexdexde
xxx
Интеграл вычислен по формуле 5 таблицы интегралов.
Пример 9. Вычислить
+ 4
3
3
2
x
x
.
Решение. Так как 3x2dx=d(x3+4), имеем
+ 4
3
3
2
x
dxx
=
( )
Cx
x
xd
++=
+
+
4ln
4
4
3
3
3
.
Использовали формулу 3 таблицы интегралов при u=x3+4.
Примеры для самостоятельной работы. Найти следующие интегралы
и проверить результаты дифференцированием:
1.
( )
− dxx723
Ответ:
( )
.
8
2321
8
Cx+
−
−
2.
+15x
dx
Ответ:
.15ln
5
1
Cx ++
3.
( )
+ dxx 45sin
Ответ:
( )
.45cos
5
1
Cx ++−
4.
−
dxe
x
2
Ответ:
.2
2
Cex+−
−
5.
+ dxx 1
Ответ:
( )
.1
3
2
3
Cx ++
6.
tgxdx
Ответ:
.cosln Cx +−
7.
−dxx
x
2
3
1
arcsin
Ответ:
Cx+
4
arcsin
4
.
8.
+ dxxx 5
2
Ответ:
( )
.5
3
1
3
2
Cx ++
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]