Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
41
=++ Cx2sin
16
1
Cxsinxsinx +++ 2
16
1
2
1
8
3
.
Если подынтегральная функция является рациональной функ-
цией от tgx, то применяется подстановка tgx=t, тогда x=arctgt, и мы получим
+
=
+
=
=
=
2
2
1
)(
1
)(
t
dttR
t
dt
dx
ttgx
dxtgxR
.
Рассмотрим пример.
Пример 47.
( )
=
+
=
=
=−
2
2
13t
dt
dx
ttgx
dxxtg
После замены получим
=
( )
=
+
−+
=
+
−
dt
t
t
t
dtt
1
41
1
3
2
2
2
2
Выделяя целую часть из полученной неправильной рациональной
дроби и разбивая интеграл на два слагаемых, будем иметь два табличных интеграла:
=
=+−=
+
− Carctgtt
t
dt
dt 4
1
4
2
Возвращаясь к исходным переменным, получим
= tgx-4x+С.
Пример 48.
=
+
=
=
=
2
4
1 t
dt
dx
ttgx
xdxtg
В результате этой замены снова получим неправильную рацио-
нальную дробь, из которой тем же приемом выделяем целую часть и
правильный остаток.
=
( )( )
=
+
+
+
−+
=
+
−+
=
+ 11
11
1
11
1
22
22
2
4
2
4
t
dt
dt
t
tt
dt
t
t
t
dtt
42
=
( )
=++−=
+
+− Carctgtt
t
t
dt
dtt
3
1
1
3
2
2
В результате опять получаем табличные интегралы относительно переменной t.
=
.
3
1
3
Cxtgxxtg +++
Если подынтегральная функция содержит функции
x
2
sin
,
x
2
cos
, то подстановка та же: tgx=t, но в этом случае используются для
них следующие тригонометрические формулы:
x
2
sin
=
xtg
xtg
2
2
1+
,
x
2
cos
=
xtg
2
11+
.
Тогда в результате получим
t
dt
dx
t
x
t
t
x
ttgx
dxxxR
+
=
+
=
+
=
=
=
1
1
1
cos
1
sin
)cos;(sin
2
2
2
2
2
22
Рассмотрим этот случай на примере.
Пример 49.
− x
dx
2
sin2
=
t
dt
dx
t
t
x
ttgx
+
=
+
=
=
=
1
1
sin
2
2
2
=
( )
+
+
−
2
2
2
1
1
2 t
t
t
dt
.
43
После несложных алгебраических преобразований получим таб-
личный интеграл
+
=+=
−
.
22
1
22
1
2
2
C
tgx
arctgC
t
arctg
t
dt
И наконец, рассмотрим так называемую универсальную тригонометрическую подстановку, которую применяем для интегралов вида
( )
dxxxR cos,sin
.
В этом случае применяем подстановку
t
x
tg =
2
(для −π<x<π). Чтобы
выразить через нее функции
xsin
и
xcos
, используем следующие три-
гонометрические формулы:
2
1
2
2
sin
2
x
tg
x
tg
x+=
,
2
1
2
1
cos
2
2
x
tg
x
tg
x
+
−
=
.
Тогда будем иметь
( )
dxxxR cos,sin
=
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sin
2
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
t
x
tg
+
=
+
−
=
+
=
=
.
Заметим, что эта подстановка часто приводит нас к необходимо-
сти достаточно сложных алгебраических преобразований, поэтому использовать ее следует только в случаях, когда другие тригонометрические подстановки не приводят к успеху.
Рассмотрим примеры.
44
Пример 50.
=
x
dx
sin
2
2
1
2
1
2
sin
2
t
dt
dx
t
t
x
t
x
tg
+
=
+
=
=
=
( )
=+==
+
+
Ct
t
dt
t
t
t
dt
ln
1
2
1
2
2
2
C
x
tg +
2
ln
.
Пример 51.
+ x
dx
cos2
=
2
2
2
1
2
1
1
cos
2
t
dt
dx
t
t
x
t
x
tg
+
=
+
−
=
=
=
Записывая подынтегральную функцию через новую переменную
и производя некоторые алгебраические преобразования, снова получим
табличный интеграл:
=
( )
=+=
+
=
+
−
++
C
t
arctg
t
dt
t
t
t
dt
33
2
3
2
1
1
21
2
2
2
2
2
=
.
3
2
3
2
C
x
tg
arctg +
45
Пример 52.
++ xxdxcossin1
=
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
1
2
sin
2
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
t
x
tg
+
=
+
−
=
+
=
=
=
( )
+
+
−
+
+
+
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
t
t
t
t
t
dt
=
После алгебраических преобразований
=
( )
+
=
+
=
−+++
222
2
121
2
22
t
dt
t
dt
ttt
dt
=
что является практически табличным интегралом
=
C
x
tgCt ++=++ 2
2
ln2ln
.
Если подынтегральное выражение содержит произведение
xsin
и
xcos
следующего вида:
nxdxmx coscos
,
nxdxmx cossin
,
nxdxmx sinsin
, то
применяем сначала одну из следующих тригонометрических формул:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+−−=
−++=
−++=
coscos
2
1
sinsin
coscos
2
1
coscos
sinsin
2
1
cossin
Например, после применения соответствующей формулы полу-
чаем простейшие интегралы:
46
( )
+
−=−= Cxxdxxxxdxx 8sin
8
1
2sin
2
1
2
1
8cos2cos
2
1
3sin5sin
Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы:
1.
( )
+ dxx 15cos
2
Ответ:
( )
Cxx +++ 210sin
20
1
2
1
.
2.
( )
dxx22sin1−
Ответ:
Cxxx +−+ 4sin
8
1
2cos
2
3
.
3.
xdxx23cossin
Ответ:
Cxx++−
5
cos
3
cos
53
.
4.
+
dx
x
x
2
3
cos
1sin
Ответ:
Ctgxx
x
+++ cos
cos
1
.
5.
+
− dxxx
4
cos
4
5sin
Ответ:
Cxx +−− 4sin
8
1
6cos
12
1
.
6.
+ xxdxcossin
Ответ:
C
x
tg
x
tg
+
++
−+
21
2
21
2
ln
2
1
.
7.
xdxtg
5
Ответ:
Cx
xtgxtg
+−−
2
24
cosln
2
1
23
.
8.
xdx
5
cos
Ответ:
C
xx
x ++−
5
sin
3
sin2
sin
53
.
9.
xdx2sin
6
Ответ:
C
x
xxx +
++−
12
4sin
8sin
16
3
4sin
2
5
8
1
3
.
10.
++ ctgxtgxdx44
Ответ:
.cosln
25
3
2
1
5
2
2ln
25
3
25
4
Cx
tgx
tgxx +−
+
++−
47
5.3. Интегрирование некоторых алгебраических
иррациональных выражений
Напомним, что алгебраическое выражение называется иррациональным относительно какой-нибудь величины, если оно содержит эту
величину под знаком радикала (корня).
I. Рассмотрим интегралы вида
( )
dxx,xR
n
,
где n – натуральное число. В этом случае подстановка
n
tx =
(где n –
наименьшее общее кратное показателей всех радикалов под которыми
х входит в подынтегральную функцию) упрощает рассматриваемый ин-
теграл и сводит его к интегралу от рациональной дроби.
Пример 53. Вычислить
+dxx
x
1
.
Решение.
+dxx
x
1
=
2
2
xt
tdtdx
tx
=
=
=
=
=
+
dt
ttt1
2
Получаем неправильную рациональную дробь, выделяем целую
часть:
=
=+dt
tt1
2
2
=
+
+−
dt
tt1
11
2
2
( )( )
=
+
+
+
+−
t
dt
dt
t
tt
1
2
1
11
2
=
( )
=+++− Ctlndtt 1212
Ctlnt
t
+++− 122
2
2
2
=
=
Cxlnxx +++− 122
.
Пример 54. Вычислить
+ x
dx
21
.
Решение.
+ x
dx
21
=
2
2
xt
tdtdx
tx
=
=
=
=
=+dt
tt21
2
48
=
=
+
−+
dt
tt21
112
=
+−t
dt
dt
21
Ctt ++− 12ln
2
1
=
=
Cxx ++− 12ln
2
1
.
Пример 55. Вычислить
( )
+ xx
dx
3
1
.
Решение.
( )
+ xx
dx
3
1
=
Так как наименьший общий знаменатель показателей корня ра-
вен 6, то замена будет =
6
6
5
6
xt
dttdx
tx
=
=
=
=
( )
=+dt
tt
t
32
5
1
6
=
=+dt
t
t
2
2
1
6
=
+
−+
dt
t
t
2
2
1
11
6
=
+
−
2
166t
dt
dt
=
Carctgtt +−66
=
Cxarctgx +−6666
.
Пример 56. Вычислить
dx
xx
x
+
+41
.
Решение.
dx
xx
x
+
+41
=
4
4
3
4
xt
dttdx
tx
=
=
=
=
=
+
+
dtt
tt
t
3
24
4
1
=
( )
( )
=
+
+
dt
tt
tt11
4
22
3
=
+
+
dt
t
tt
2
2
1
4
=
+
+−+
dt
t
tt
2
2
1
11
4
=
=
+
−
+
+
22
1
4
1
44
t
dt
t
tdt
dt
Carctgt
t
td
t +−
+
+
+
4
1
)1(
24
2
2
=
=
Carctgttt +−++ 41ln24
2
=
Cxarctgxx +−++
44
41ln24
.
49
Пример 57. Вычислить
dxxx−3
.
Решение.
dxxx−3
=
3
3
2
3
2
2
xt
tx
tdtdx
tx
−=
−=
=−
=−
=
( )
dtttt−− 23
2
=
=
( )
dttt−−
42
26
=
Ctt++−
5
2
3
6
53
=
( ) ( )
Cxx +−+−−
53
3
5
2
32
.
Пример 58. Вычислить
dx
x
x−1
.
Решение.
dx
x
x−1
=
1
1
2
1
2
2
−=
+=
=
=−
xt
tx
tdtdx
tx
=
=
+
dt
t
tt
2
1
2
=
=+dt
t
t
2
2
1
2
=
+
−+
dt
t
t
2
2
1
11
2
=
+
−
2
122t
dt
dt
=
Carctgtt +− 22
=
Cxarctgx +−−− 1212
.
II. Интегралы вида
++ cbxax
dx
2
после выделения под знаком
радикала полного квадрата сводятся к табличным:
1) если а >0, то к
+ Аx
dx
2
;
2) если а <0, то к
−22xА
dx
.
Пример 59. Вычислить
++ 1042xx
dx
.
Решение.
++ 1042xx
dx
=
+−++ 104442xx
dx
=
50
Из квадратного трехчлена под корнем выделяем полный квадрат:
=
( )
++ 62
2
x
dx
=
dtdxtx=
=+
2
=
+ 6
2
t
dt
=
=
Ctt +++ 6ln
2
=
Cxxx +++++ 1042ln
2
.
Пример 60. Вычислить
+− 182xx
dx
.
Решение.
+− 182xx
dx
=
+−+− 1161682xx
dx
=
=
( )
−− 154
2
x
dx
=
dtdxtx=
=−
4
=
−15
2
t
dt
=
=
Ctt +−+ 15ln
2
=
Cxxx ++−+− 184ln
2
.
Пример 61. Вычислить
++ 522xx
xdx
.
Решение.
++ 522xx
xdx
=
+−++ 51122xx
xdx
=
=
( )
++ 41
2
x
xdx
=
1
1
−=
=
=+
tx
dtdx
tx
=
+−4
)1(
2
t
dtt
=
Разбиваем полученный интеграл на два слагаемых:
+
−
+ 44
22
t
dt
t
tdt
=
=
2
2
4
2
dz
tdt
dztdt
zt
=
=
=+
=
Ctt
z
dz
+++−
4ln
2
1
2
=
z2
2
1
−
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]