Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
11
9.
xx
dx
3
ln
Ответ:
.
ln2
1
2
Cx+−
10.
+ 4
2
x
xdx
Ответ:
( )
.4ln
2
1
2
Cx ++
11.
x
xdx
3
sin
cos
Ответ:
.
sin2
1
2
Cx+−
12.
xdxexcos
sin
Ответ:
.
sinCex
+
13.
+dxx
arctgx
2
1
Ответ:
.
2
2
C
xarctg
+
14.
−24 x
xdx
Ответ:
.4
2
Cx +−−
15.
( )
+ xdxcos2sin
2
Ответ:
.sin2
3
sin
3
Cxx++
4.3. Интегрирование посредством замены переменной
Интегрирование производится путем введения новой переменной, позволяющей упростить интеграл:
= ,)())(()( dtttfdxxf
где x=φ(t) – непрерывная функция с непрерывной переменной.
При этом результат интегрирования будет выражен через переменную
t. Необходимо вернуться к старой переменной с помощью функции
t= φ-1(x), где φ-1(x) – функция, обратная x=φ(t).
Пример 10. Найти интеграл
.2dxxe
x
Решение. Положим x2=t, тогда 2xdx=dt, xdx=
.
2
dt
Подставив получен-
ное выражение в интеграл, имеем
.2dxxe
x
=
+=+=== .
2
1
2
1
2
1
2
22
CeCedte
dt
exdxe
xtttx
12
Этот интеграл можно решить подведением множителя под знак
дифференциала:
( )
.
2
1
2
xdxdx =
+=== .
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2222
22
Cexdexdexdxe
xxxx
Пример 11. Найти интеграл
.sincos
3
xdxx
Решение. Положим cosx=t, тогда
.sincos
3
xdxx
=
=
+−=+−=−=
=−
=
.
4
cos
4
sin
cos
44
3
C
x
C
t
dtt
dtxdx
tx
Того же результата можно добиться подведением sinx под знак
дифференциала: sinxdx=−d(cosx):
.sincos
3
xdxx
= −
.
4
cos
)(coscos
4
3
C
x
xdx +−=
Пример 12. Найти интеграл
+ dxxx 3
.
Решение. Чтобы избавиться от корня, положим
tx =+ 3
. Возводя
в квадрат это равенство, найдем x: x=t2−3.
+ dxxx 3
=
( )
=−=
=
−=
tdttt
tdtdx
tx
23
2
3
2
2
=
( )
( ) ( )
.323
5
2
3
3
5
232
35
35
24
CxxC
tt
dttt ++−+=+
−=−
Пример 13. Вычислить интеграл
−−
+xdx
xx11
1
.
Решение. Положим
x
x
t
−
+
=
1
1
, получим
.
1
1
2
x
x
t
−
+
=
Выразим
1
1
2
2
+
−
=
t
t
x
, тогда
( )
.
1
4
1
1
2
2
2
2
dt
t
t
dt
t
t
dx
+
=
+
−
=
13
Найдем
.
1
2
1
,
1
2
1
1
11
222
2
+
=
−
+
=
+
−
−=−
t
tdt
x
dx
tt
t
x
Подставив полученные выражения в подынтегральную функцию,
получим:
−−
+xdx
xx11
1
=
2
=
+
−+
=
+
dt
t
t
t
dtt
1
11
2
1
2
2
2
2
=
( )
=+−=
+
− Carctgttdtt2
1
1
12
2
=
.
1
1
2
1
1
2 C
x
x
arctg
x
x
+
−
+
−
−
+
Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы
с помощью подходящей замены переменной:
1.
+ dxx3
Ответ:
( )
.3
3
2
3
Cx ++
2.
( )
− xdxx cossin43
3
1
Ответ:
( )
.sin43
16
3
3
4
Cx +−−
3.
xx
dx
2
ln
Ответ:
.
ln
1
Cx+−
4.
x
dx
x)sin(ln
Ответ: -cos(lnx)+C.
5.
−
3
2
1x
xdx
Ответ:
( )
.1
4
3
3
2
2
Cx +−
6.
−
dxx
x
2
5
Ответ:
.5
5ln2
1
2
Cx+−
−
7.
+1
8
3
x
dxx
Ответ:
.)(
4
1
4
Cxarctg +
8.
+1
4
x
xdx
Ответ:
.)1ln(
2
1
42
Cxx +++
14
9.
( )
−27
x
x
e
dxe
Ответ:
.
7
1
C
e
x
+
−
10.
dx
x
a
x
2
1
Ответ:
.
ln
1
C
a
a
x
+−
11.
−1
2x
x
a
dxa
г Ответ:
(
)
.1ln
ln
1
2
Caa
a
xx
+−+
12.
dx
x
x
2
Ответ:
.
2ln
2
1Cx++
13.
+1
x
e
dx
Ответ:
.
11
11
ln C
e
e
x
x
+
++
−+
14.
−+
++
dx
x
x
11
11
Ответ:
.11ln414 Cxxx +−++++
15.
−
dxxe
x 2
3
Ответ:
.
3
1
3
Ce
x+−−
4.4. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям производится с помощью формулы
−= .vduuvudv
В соответствии с ней отыскание интеграла
udv
сводится к отысканию
интеграла
.vdu
Применение этой процедуры целесообразно в тех слу-
чаях, когда последний интеграл проще исходного или ему подобен.
При интегрировании по частям подынтегральное выражение
представляется в виде произведения двух множителей: u и dv. За dv все-
гда выбирается выражение, содержащее dx, из которого посредством
интегрирования можно найти v, за u принимается функция, которая при
дифференцировании упрощается.
Так, при нахождении интегралов вида
15
,cos)(,sin)(,)( kxdxxPkxdxxPdxexP
kx
где P(x) – многочлен, а k – некоторое число, полагают u=P(x), а при
нахождении интегралов вида
,)(,arccos)(,arcsin)(,ln)( arctgxdxxPxdxxPxdxxPxdxxP
полагают dv=P(x)dx.
В иных случаях выбор функции u осуществляется с помощью пе-
ребора возможных вариантов.
Пример 14. Вычислить
.ln xdxx
Решение. Полагаем u=lnx, dv=
.dxx
Тогда
.ln xdxx
=
===
==
2
3
2
1
3
2
,
1
,ln
xdxxvdxxdv
dx
x
duxu
=
=
=−
dx
x
xxx
1
3
2
ln
3
2
2
3
2
3
=−
dxxxx
2
1
2
3
3
2
ln
3
2
=
xx ln
3
2
3
−
=+ Cx
2
3
3
2
3
2
xx ln
3
2
3
−
.
9
4
3
Cx +
Пример 15. Вычислить
xdxx 3sin
.
Решение:
xdxx 3sin
=
−===
==
xxdxvxdxdv
dxduxu
3cos
3
1
3sin3sin
=
=
++−=+− .3sin
9
1
3cos
3
1
3cos
3
1
3cos
3
1
Cxxxxdxxx
Повторное применение интегрирования по частям. Нередко
формулу интегрирования по частям приходится применять последовательно несколько раз. Так, в следующем примере она применяется два
раза.
Пример 16. Вычислить
dxex
x2
.
16
Решение:
dxex
x2
=
==
==
xx
evdxedv
xdxduxu 2
2
=
=
=
==
==
=−
xx
xx
evdxedv
dxduxu
dxxeex 2
2
=
( )
.222
22
Cexeexdxexeex
xxxxxx
++−=−−
Возвращение к исходному интегралу. Иногда повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к уравнению относительно искомого интеграла.
Пример 17. Вычислить
( )
dxxlncos
.
Решение. Обозначим искомый интеграл буквой J:
J=
( )
dxxlncos
=
( ) ( )
=
==
−==
xvdxdv
dx
x
xduxu
,
1
lnsin,lncos
=
( ) ( ) ( ) ( )
=+=+ dxxxxdx
x
xxxx lnsinlncos
1
lnsinlncos
=
( ) ( )
=
==
==
xvdxdv
dx
x
xduxu
,
1
lncos,lnsin
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
.lnsinlncos
1
lncoslnsinlncos
Jxxx
dx
x
xxxxxx
−+=
=−+=
Получим следующее соотношение:
J=x(cos(lnx)-sin(lnx)) − J.
Перенесем J в левую часть равенства и разделив на 2, найдем
J=
2
1
x(cos(lnx)-sin(lnx))+C.
17
Рекуррентные формулы. Иногда интегрирование по частям поз-
воляет получить соотношение между неопределенным интегралом, содержащим степень некоторой функции, и аналогичным интегралом, но
с меньшим показателем степени той же функции. Подобные соотношения называют рекуррентными формулами.
Пример 18. Выведем рекуррентную формулу для интеграла
Jn=
( )
+nax
dx
22
.
Решение:
Jn=
( )
+nax
dx
22
=
( ) ( )
=
+
−+
=
+
dx
ax
aax
a
ax
dxa
a
nn
22
222
2
22
2
2
11
=
( )
−
+
+
dx
ax
ax
a
n
22
22
2
(
1
( )
=+)
22
2
dx
ax
x
n
=
( ) ( )
=
+
−
+
−
dx
ax
x
x
ax
dx
a
nn221
22
2
1
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
+
−
−=
+−
+
=
=
+
+
=
+
=
+
=
==
−
+−
1
22
1
22
22
22
2222
1
22
1
12
1
2
1
,
n
n
nnn
ax
nn
ax
ax
axd
ax
xdx
v
ax
xdx
dv
dxduxu
=
( ) ( )
=
+
−
−
+
−
+
−−
−
1
22
1
22
1
2
22
1
22
11
nn
n
ax
dx
n
ax
x
n
J
a
=
( )
=
−
−+
+
−
−−
−111
22
2
22
1
22
11
nn
n
J
n
J
ax
x
n
a
18
=
( )
−
−
+
+
−
−−1
1
22
2
22
32
22
11
n
n
J
n
n
ax
x
n
a
.
Получим формулу
Jn=
( )
−
−
+
+
−
−−1
1
22
2
22
32
22
11
n
n
J
n
n
ax
x
n
a
.
Применяя рекуррентную формулу при n=2, получим:
J2=
( )
+
2
22
ax
dx
( )
=
+
+
+
22
22
2
2
1
2
1
ax
dx
ax
x
a
=
.
1
2
1
222
C
a
x
arctg
a
ax
x
a
+
+
+
При n=3 найдем
J3=
( )
+
3
22
ax
dx
( )
=
+
+
2
2
22
2
4
3
4
1
J
ax
x
a
=
( )
.
8
3
8
3
4
1
32222
22
2
C
a
x
arctg
aax
x
a
ax
x
a
+
+
+
+
+
и т. д.
Примеры для самостоятельного решения. Применяя формулу
интегрирования по частям, найти интегралы:
1.
−
dxxe
x
Ответ: -e-x(x+1) + C.
2.
xdxx cos
Ответ: xsinx+cosx+C.
3.
( )
xdxx 3cos1+
Ответ:
.3cos
3
1
3sin
3
1
Cxx
x+++
4.
xdxln
Ответ:
.ln Cxxx +−
5.
arctgxdx
Ответ:
.)1ln(
2
1
2
Cxxarctgx ++−
19
6.
xarctgxdx
Ответ:
.
22
1
2
C
x
arctgx
x+−+
7.
xdxarcsin
Ответ:
.1arcsin
2
Cxxx +−+
8.
x
xdx
2
sin
Ответ:
.sinln Cxxctgx ++−
9.
x
xdxx
3
sin
cos
Ответ:
.
sin
2
1
2
Cctgx
x
x
+
+−
10.
xdxx sin
2
Ответ:
.cos2sin2cos
2
Cxxxxx +++−
11.
xdxx2ln
Ответ:
.
4
1
ln
2
1
ln
2
1
2222
Cxxxxx ++−
12.
+ dxx
2
1
Ответ:
.1ln1
2
1
22
Cxxxx +
++++
13.
xdxexsin
Ответ:
( )
.cossin
2
1
Cxxe
x
+−
14.
xdxe
x 22
sin
Ответ:
( )
.2cos2sin2
8
2
Cxx
e
x
+−−
15.
( )
+ dxx 2ln
2
Ответ:
.
22
4
2)2ln(
2
C
x
arctgxxx ++−+
5. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
5.1. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью будем называть дробь вида
)()(xQ
xP
, где P(x)
и Q(x) – многочлены. Если степень многочлена P(x) больше или равна
20
степени многочлена Q(x), то дробь
)()(xQ
xP
называется неправильной ра-
циональной дробью. В этом случае следует выделить из дроби
)()(xQ
xP
целую часть, т. е. представить ее в виде суммы r(x) +
)()(xQ
xR
, где r(x) и
R(x) – многочлены, степень которых меньше, чем у P(x), а степень R(x)
к тому же меньше, чем у Q(x), т. е.
)()(xQ
xR
– правильная дробь.
Пример 19.
+
dx
xx1
2
2
.
Решение. У дроби
1
2
2
+x
x
степени числителя и знаменателя равны, сле-
довательно, это неправильная дробь.
Выделим целую часть:
1
2
2
+x
x
=
1
11
2
2
+
−+
x
x
=
1
1
2
2
++x
x
−
1
1
2
+x
=1 −
1
1
2
+x
.
Тогда
+
dx
xx1
2
2
= (1 −
1
1
2
+x
)dx =
=
+−=
+
− .
1
2
Carctgxx
x
dx
dx
Пример 20.
−dxxx2
3
.
Решение.
23−x
x
– неправильная дробь, так как степень числителя
больше степени знаменателя.
Выделим целую часть:
23−x
x
=
2
88
3
−+−x
x
=
2
8
3
−−x
x
+
28−x
=
=
( )
( )
( )
2
422
2
−
++−
x
xxx
+
28−x
= x2+2x+4+
28−x
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]