Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
21
−dxxx2
3
= ( x2+2x+4+
28−x
)dx=
=( x2+2x+4)dx+
28−x
dx =
−
+++
2
84
3
2
3
x
dx
xx
x
=
=
23
)2(−=−=
xuпритаблицыизформулу
используемиинтегралмпреобразуе
xddxкактак
=
=
−
−
+++
2
)2(
84
3
2
3
x
xd
xx
x
=
.2ln8
3
2
3
Cxxx
x
+−+++
Итак, пусть дробь
)()(xQ
xR
– правильная. Существует 4 вида про-
стейших правильных рациональных дробей. Рассмотрим их:
1)
axA−
, где А, а – действительные числа.
Интеграл от такой дроби берется по правилу
+−=
−
.ln CaxAdx
ax
A
Пример 21.
++=
+
.2ln2
2
2
Cx
x
dx
Пример 22.
++=
+
=
+
=
+
.
4
3
ln
4
1
4
3
4
1
4
3
4
34
Cx
x
dx
x
dx
x
dx
2)
n
axA)( −
, где А, а – действительные числа, n є N, n≠1.
Интеграл от такой дроби берется по правилу
( )
( )( )
+
−−
=+
−
−
=
−
−
−
.
1
1
)(
1
1
C
axn
A
C
n
ax
Adx
ax
A
n
n
n
22
Пример 23.
( )
( ) ( )
( )
+
−
−=+
−
−
=+
−
−
=
−
−−
.
34
1
4
3
51
3
3
4
451
5
C
x
C
x
C
x
x
dx
Пример 24.
( )
( ) ( )
+
+
−=+
−
+
=+
−
+
=
+
−−
.
1
2
1
12
21
1
2
1
2
121
2
C
x
C
x
C
x
x
dx
3)
qpxx
NMx+++
2
, где N, M, p, q є R, причем многочлен x2+px+q не имеет
действительных корней (p2 − 4q < 0).
Для того чтобы вычислить
++
+
dx
qpxx
NMx
2
, необходимо пред-
ставить знаменатель в виде
−+
+
42
2
2
p
q
p
x
, т. е. выделить «пол-
ный квадрат», а затем ввести замену
.,
2
dtdxt
p
x ==+
J=
++
+
dx
qpxx
NMx
2
=
−++
+
dx
p
q
p
x
NMx
)
4
()
2
(
2
2
=
−+
+−
dt
p
qt
N
p
tM
4
)
2
(
2
2
=
=
2
2
2
2
4
,0
4
,04
a
p
qобозначим
p
qтоqpкактак
=−
−−
=
=
=
+
−
+
=
+
−+
dt
at
p
M
dt
at
Mt
dt
at
p
MNMt
222222
22
=
+
−
+
.
2
2222
at
dtp
M
at
tdt
M
23
Для вычисления
+22at
tdt
учтем, что
)(
2
1
22
atdtdt +=
, и ис-
пользуем формулу 3 из таблицы при
.22atU +=
+22at
tdt
=
++=
+
+
.ln
2
1
)(
2
1
22
22
22
Cat
at
atd
Интеграл
+22at
dt
вычисляется по формуле 10 из таблицы интегралов:
+22at
dt
=
.1C
a
t
arctga+
Окончательно получаем
=+−+= C
t
arctg
a
Mp
at
M
J
22
ln
2
22
=
=+
+
−−+
+ C
a
p
x
arctg
a
Mpp
q
p
x
M
2
242
ln
2
2
2
=
.
4
2
4
2
42
ln
2
22
2
2
C
p
q
p
x
arctg
p
q
Mpp
q
p
x
M
+
−
+
−
−−+
+
Пример 25.
+−
.
1362xx
dx
Решение. Выделим в знаменателе «полный квадрат»:
( ) ( )
.43)913(3
2
6
13
2
6
136
22
22
2
+−=−+−=
−+
−=+− xxxxx
Затем введем замену x−3=t, dx = dt. Получаем
+−
.
1362xx
dx
=
=
+
=
+
=
+−
2222
244)3( t
dt
t
dt
x
dx
=
.
2
3
2
1
22
1
C
x
arctgC
t
arctg +
−
=+
24
Пример 26.
++
−
dx
xx
x5432
2
.
Решение. Выделим в знаменателе «полный квадрат»:
( )
.1)2()45(2
2
4
5
2
4
54
2
2
22
2
++=−++=
−+
+=++ xxxxx
Затем введем замену x+2=t, dx = dt, учтем, что x = t−2. Получаем
++
−
dx
xx
x5432
2
=
=
+
−−
=
++
−
dt
t
t
dx
x
x
1
3)2(2
1)2(
32
22
=
=
+
−
+
+
=
+
−
+
=
+
−−
1
7
1
)1(
1
7
1
2
1
742
22
2
222
t
dt
t
td
t
dt
t
tdt
dt
t
t
=
.)2(71)2(ln71ln
22
CxarctgxCarctgtt ++−++=+−+
4)
n
qpxx
NMx
)(
2
++
+
, где N, M, p, q є R, n є N, n≠1, причем многочлен
x2+px+q не имеет действительных корней ( p2−4q<0).
Для того чтобы вычислить
++
+
dx
qpxx
NMx
n
)(
2
, необходимо
представить знаменатель в виде
−+
+
42
2
2
p
q
p
x
, т. е. выделить
«полный квадрат», а затем ввести замену
2
,,
2
p
txdtdxt
p
x −===+
.
Получаем:
J=
++
+
dx
qpxx
NMx
n
)(
2
−++
+
dx
p
q
p
x
NMx
n
))
4
()
2
((
2
2
=
=
−+
+−
dt
p
qt
N
p
tM
n
)
4
(
)
2
(
2
2
=
2
2
4
a
p
q =−
=
25
=
( )
+nat
tdt
M
22
+
−
2
Mp
N
( )
+nat
dt
22
.
При вычислении интеграла
( )
+nat
tdt
22
учитываем, что
( )
22
2
1
atdtdt +=
, и, воспользовавшись формулой 2 из таблицы инте-
гралов, при
22
atU +=
получаем
( )
+nat
tdt
22
=
( )
+
+
n
at
atd
22
22
)(
2
1
=
( ) ( )
++
−
2222
2
1
atdat
n
=
=
( )
( )
( )
C
atn
C
n
at
n
n
+
+−
=+
+−
+
−+−1
22
1
22
12
1
12
1
.
Остается вычислить интеграл
( )
+nat
dt
22
, для этого мы исполь-
зуем рекуррентную формулу, полученную в примере 18, из которой
имеем
Jn =
( )
+nat
dt
22
=
( )
−
−
+
+
−
−−1
1
22
2
22
32
22
11
n
n
J
n
n
at
t
n
a
,
где J
n-1
=
( )
−+122n
at
dt
.
Таким образом,
J=
( )
( )
1
22
12
1
−+−n
atn
M
+
+
−
2
Mp
N
( )
−
−
+
+
−
−−1
1
22
2
22
32
22
11
n
n
J
n
n
at
t
n
a
+С,
где
.
4
,
2
2
2
p
qa
p
xt −=+=
26
Пример 27.
( )
++
−
.
32
1
3
2
dx
xx
x
Решение. Выделим в знаменателе «полный квадрат»:
( )
.2)1()13(1
2
2
3
2
2
32
2
2
22
2
++=−++=
−+
+=++ xxxxx
Затем введем замену x+1=t, dx = dt, учтем, что x = t−1. Получаем
( )
++
−
.
32
1
3
2
dx
xx
x
=
( )
++
−
dx
x
x
3
2
2)1(
1
=
( )
=
+
−−
dt
t
t
3
2
2
11
=
( )
=
+
−
dt
t
t
3
2
2
2
( )
−+dt
t
t
3
2
2
( )
=+dt
t
3
2
2
1
2
=
( )
−
+
+
3
2
2
2
)2(
2
1
t
td
( )
=+dt
t
3
2
2
1
2
( )
2
2
2
1
2
2
−
+−t
−
( )
=+dt
t
3
2
2
1
2
=
( )
2
2
241+−t
−2J3+C.
J3=
( )
+dtt
3
2
2
1
=
+−
+
−
−
22
2
)2)(232(
232
332
2
1
t
t
J
=
=
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
28
4
3
24
2
3
2
1
+
+=
+
+
t
t
J
t
t
J
.
J2=
( )
+dtt
2
2
2
1
=
++)2(2
2
1
2
1
2
1
t
t
J
=
( )
24
4
1
2
1
++t
t
J
.
J1=
( )
+dtt 2
1
2
=
.
22
1
C
t
arctg +
J3=
( )
++24
224
1
4
3
2
t
tt
arctg
+
( )
2
2
28 +t
t
=
=
( )
216
3
2216
3
2
++t
tt
arctg
+
( )
2
2
28 +t
t
.
27
Тогда результат вычисления интеграла
( )
++
−
dx
xx
x
3
2
32
1
будет
иметь вид
m=
( )
2
2
241+−t
−2(
( )
216
3
2216
3
2
++t
tt
arctg
+
( )
2
2
28 +t
t
)+С=
( )
−
++
−
2
2
2)1(41x
−
( )
( )
( )
.
214
1
2)1(8
)1(3
2
1
28
3
2
2
2
C
x
x
x
xx
arctg +
++
+
−
++
+
−
+
Любую правильную рациональную дробь
)()(xQ
xR
можно предста-
вить в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого ее зна-
менатель Q(x) нужно представить в виде
Q(x)=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
m
k
S
mm
S
r
k
rr
qxpxqxpxaxaxax ++++−−−
2
11
2
21
1
21
где a1, a
2,
…, ak, p1, q1, p2, q2, …, pm, qm є R, r1, r2, …, rk, s1, s2, …, sm є N,
а трехчлены x2+pix+qi ,
mi ,1=
не имеют действительных корней. То-
гда дробь
)()(xQ
xR
можно представить в виде суммы
)()(xQ
xR
=
( )
( ) ( )
( )
+
−
+
−
++
−
+
−
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
ax
A
ax
A
ax
A
ax
A
r
r
+
( ) ( )
( )
( )
++
−
+
−
++
−
++
−
2
21
2
2
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
r
r
ax
A
ax
A
ax
A
ax
A
+
( )
( )
( )
++
++
+
+
++
+
+
−
2
11
2
1
2
1
2
11
2
1
1
1
1
qxpx
NxM
qxpx
NxM
ax
A
k
k
r
k
k
r
( )
( )
( )
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
2
2
22
2
11
11
2
11
1
11
mm
mm
mm
mm
s
ss
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
…+
28
+
( )
m
mm
S
mm
m
s
m
s
qxpx
NxM+++
2
.
Здесь
m
S
m
S
k
r
mmk
NMNMNMAAA ,,,,,,,,,,
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
– неопределенные
коэффициенты, которые нужно найти. Проще всего определить их методом неопределенных коэффициентов, который разберем на примерах.
Пример 28.
( )( )
+−
−+
.
11
323
2
dx
xxx
xx
Решение. Выпишем подынтегральную дробь
( )( )
11
323
2
+−−+xxx
xx
. Она пра-
вильная, так как степень числителя – 2, а степень знаменателя – 3. Знаменатель дроби уже разложен на сомножители. Представим дробь в
виде суммы простейших дробей.
Сомножитель x в знаменателе линейный, в первой степени, следовательно, ему соответствует одна простейшая дробь первого типа
x
A
1
.
Сомножитель (x−1) в знаменателе линейный, в первой степени,
следовательно, ему соответствует одна простейшая дробь первого типа
12−x
A
.
Сомножитель (x+1) в знаменателе линейный, в первой степени,
следовательно, ему соответствует одна простейшая дробь первого типа
13+x
A
.
Получаем
( )( )
11
323
2
+−−+xxx
xx
=
x
A
1
+
12−x
A
+
13+x
A
.
Приведем сумму в правой части равенства к общему знаменателю, он будет такой же, как и у дроби слева:
( )( )
11
323
2
+−−+xxx
xx
=
( )( )
11
)1()1()1)(1(
321
+−
−++++−
xxx
xxAxxAxxA
.
29
Из равенства дробей с одинаковыми знаменателями следует равенство их числителей, т. е.
3x2+2x−3 = A1(x-1)(x+1) +A2 x(x+1) + A3 x(x−1).
Найдем из этого равенства А1, А2, А3. Подставляем вместо x в это равен-
ство по очереди три числа, так как у нас три неопределенных коэффициента. Удобно подставлять числа, обращающие знаменатель в ноль,
т. е. x1=0, x2=1, x3 = −1.
При x1=0 имеем
)10(0)10(0)10)(10(10203
321
2
−++++−=−+ AAA
−3 = −А1, отсюда А1 = 3.
При x2=1 имеем
)11(1)11(1)11)(11(11213
321
2
−++++−=−+ AAA
2 = 2А2, отсюда А2 = 1.
При x3 =−1 имеем
( )
)11()1()101()1()11)(11(1)1(213
321
2
−−−++−++−−−=−−+− AAA
−2 = 2А3, отсюда А3 = −1.
Значит,
( )( )
11
323
2
+−−+xxx
xx
=
x
3
+
11−x−11+x
.
Тогда интеграл будет равен
( )( )
+−
−+
.
11
323
2
dx
xxx
xx
=
+
−
−
+=
+
+
−
+
11
3
1
1
1
13
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xxx
=
=
.1ln1lnln3 Cxxx ++−−+
Пример 29.
( )( )
+−
+
.
21
1611
2
dx
xx
x
Решение. Выпишем подынтегральную дробь
( )( )
2
21
1611+−+xxx
. Она пра-
вильная, так как степень числителя – 1, а степень знаменателя – 3. Знаменатель дроби уже разложен на сомножители.
Сомножитель (x−1) в знаменателе линейный, в первой степени,
следовательно, ему соответствует одна простейшая дробь первого типа
30
11−x
A
. Сомножитель (x+2)2 линейный, но во второй степени, следова-
тельно, ему соответствует сумма двух простейших дробей первого и
второго типов:
22+x
A
+
( )
2
2
2+x
A
.
Таким образом, можем записать
( )( )
2
21
1611+−+xxx
=
11−x
A
+
22+x
A
+
+
( )
2
2
2+x
A
.
Приведем сумму в правой части равенства к общему знамена-
телю, он будет такой же, как и у дроби слева:
( )( )
2
21
1611+−+xxx
=
( )( )
2
32
2
1
21
)1()2)(1()2(
+−
−++−++
xx
xAxxAxA
.
Из равенства дробей с одинаковыми знаменателями следует равенство их числителей, т. е.
11x+16 = A1(x+2)2+A2(x−1)(x+2)+A3(x−1).
Найдем из этого равенства А1, А2, А3. Подставляем вместо x в это
равенство по очереди три числа, так как у нас три неопределенных коэффициента. Удобно подставлять числа, обращающие знаменатель в ноль,
т. е. x1=1 и x2=-2, третье число берем произвольное, например x3 =0.
При x1=1 имеем
11+16= А1(1+2)2+А2(1−1)(1+2)+А3(1−1).
27=9А1, отсюда А1=3.
При x2=−2 имеем
−22+16= А10+А2(−3)0+А3(−2−1).
−6=−3А3, отсюда А3=2.
При x3=0 имеем
0+16= А1(2)2+А2(−1)2+А3(−1).
И, так как А1=3 и А3=2, получаем 16=12−2А2−2, отсюда 2А2=−6, А2=−3.
Получаем
( )( )
2
21
1611+−+xxx
=
13−x−23+x
+
( )
2
22+x
.
Тогда интеграл будет равен
( )( )
+−
+
.
21
1611
2
dx
xx
x
=
( )
=
+
+
+
−
−
dx
x
xx
2
2
2
2
3
1
3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]