Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
51
Ctt +++− 4ln
2
=
Cxxxxx +++++−++ 521ln52
22
.
Пример 62. Вычислить
+ xxdx6
2
.
Решение.
+ xxdx6
2
=
−++ 9962xx
dx
=
=
( )
−+ 93
2
x
dx
=
dtdxtx=
=+
3
=
− 9
2
t
dt
=
=
Ctt +−+ 9ln
2
=
Cxxx ++++ 63ln
2
.
Пример 63. Вычислить
−−223 xx
dx
.
Решение.
−−223 xx
dx
=
Выделяем полный квадрат из данного трехчлена, выносим минус
за скобку, но ни в коем случае не за знак квадратного корня:
−−++− )3112(
2
xx
dx
=
=
( )
+−
2
14 x
dx
=
dtdxtx=
=+
1
=
−24 t
dt
=
Ct+
2
arcsin
=
Тогда получим
=
Cx+
+21
arcsin
.
III. В интегралах, содержащих под радикалом выражение вида
( )
dxbaxxR
n
+,
или
dx
dcx
bax
xR
n
+
+
,
, для избавления от иррацио-
нальности применяется подстановка вида
k
tbax =+
или
k
t
dcx
bax
=
+
+
,
где к – по-прежнему наименьший общий знаменатель всех дробных показателей корней.
52
Рассмотрим примеры:
Пример 64. Вычислить
−
dx
x
xx21
=
( )
2
2
2
2
2
1
2
,
1
2
2
,
2
t
tdt
dxполучим
руядифференци
t
x
xtxxотсюда
выражаемt
x
x
−
=
−
=
=−
=
−
=
( )
=
−
=
−
−
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
t
dtt
t
tdt
t
t
Выделяем целую часть из неправильной дроби:
=
=+
+
−
−−=
−
−−=
−
+−
− C
t
t
t
t
dt
dtdt
t
t
1
1
ln
2
1
11
11
22
2
=
C
x
x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
−
−
−
1
2
1
2
ln
2
12
.
IV . В некоторых случаях для того, чтобы избавиться от иррацио-
нальности в подынтегральном выражении, приходится применять следующие тригонометрические подстановки.
В случае, когда подынтегральное выражение имеет вид
dxxaxR
−
22
,
,
может помочь замена
( )
taxилиtax cossin ==
.
Тогда
tatataaxa coscossin
222222
==−=−
.
53
Когда подынтегральное выражение имеет вид
dxxaxR
+
22
,
,
может помочь замена
( )
actgtxилиatgtx ==
.
При этом
t
a
ttgattgaaxa
cos
1
222222
=+=+=+
. Для выра-
жения, содержащего иррациональность в виде
dxaxxR
−
22
,
,
подходит подстановка
( )
ectaxилиtax cossec ==
.
Тогда
atgt
t
t
a
t
aataax =
−
=−=−=−
2
2
2
22222
cos
1
cos
1
sec
.
Для этих преобразований мы используем известные тригономет-
рические формулы:
=
=+
−=
t
t
t
ttg
tt
cos
1
sec
cos
1
1
sin1cos
2
2
22
Рассмотрим эти случаи на примерах.
Пример 65.
( ) ( )
=
−
=
=
=
=
=
−
3
2
3
2
sin55
cos5
5
arcsin
cos5
sin5
5 t
tdt
x
t
tdtdx
tx
x
dx
=
( )
( )
=+===
−
Ctgt
t
dt
t
tdt
t
tdt
5
1
cos
5
1
cos
cos
5
1
sin1
cos
5
5
23
3
2
3
=
C
x
arctgtg +
5
5
1
.
54
Пример 66.
===
+
=
=
=
=
=
+
t
tdt
tgt
tdt
ttgtgt
dt
arctgxt
t
dt
dx
tgtx
xx
dx
sin
coscos
1
cos
1
2
2
2
2
Умножим числитель и знаменатель на sint:
=
=−
=
=
−
=
dztdt
zt
t
tdtt
t
tdtt
sin
cos
cos1
sincos
sin
sincos
2
2
2
2
=
После замены переменной получим
=
+
+
−
+=
−
+=
−
+−
=
−
− C
z
z
z
z
dz
dzdz
z
z
z
dzz
1
1
ln
2
1
11
11
1
22
2
2
2
=
Возвращаясь последовательно к исходной переменной, получим
=
( )
( )
( )
.|
1cos
1cos
ln
2
1
cos
1cos
1cos
ln
2
1
cos C
arctgx
arctgx
arctgxC
t
t
t +
+
−
+=+
+
−
+
Пример 67.
( )
( ) ( )
=
−
=
=
−−=
==
=
−
−
−
t
tdt
t
t
t
tdt
dx
dtttdx
t
t
x
xx
dx
cos
sin
1
cos
1
cos
cos
sin
sincos
cos
cos
1
1
2
2
2
1
22
После алгебраических преобразований получим
=
+=+===
−
.)
1
sin(arccossincos
sin
cossin
cos
cos1
sin
2
2
2
C
x
Cttdt
t
tdtt
t
t
tdt
Заметим, что для возврата к исходной переменной нужно выразить
x
tтог да
x
t
1
arccos,
1
cos ==
.
Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы:
1.
dx
x
x
3
3
sin
Ответ:
( )
Cxxx +−
333
cossin3
.
2.
+ x
dx
21
Cxx ++−
2
1
ln
2
1
( )
+41 xx
dx
( )
Cxx ++− 1ln4
44
dx
x
x+ 2
C
x
x
x +
++
−+
++
22
22
ln
2
1
22
dx
x
x
−+++11
11
Cxxx ++++−+ 1411ln4
dx
x
xx21 −
C
x
x
x
x
x
x
+
+
−
−
−
−
−
−
1
2
1
2
ln
2
2
+− 182xx
dx
Cxxx ++−+− 184ln
2
( )
−+
−
2
369
53
xx
dxx
C
x
xx +
−
−−+−
2
1
arcsin
3
2
369
2
− dxxx229
55
Ответ:
.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
.
.
.
.
.
.
.
56
6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕСТЫ
1) Множество первообразных функции равно:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2) В интеграле введена новая переменная , тогда интеграл примет вид:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3) Множество первообразных имеет вид:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
4) Множество первообразных имеет вид:
1) ; 2) ; 3) ;
4) .
57
5) Множество первообразных имеет вид:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
6) Множество первообразных имеет вид:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
7) Множество первообразных имеет вид:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
8) Множество первообразных функции имеет вид:
1) ; 2) ; 3) ;
4) .
58
9) Множество первообразных имеет вид:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
10) Множество первообразных функции имеет вид:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
7. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ
Задание 1
Найдите интегралы:
1)
3
2
4
2
47
10 3 x cosx dx
x
16 x
+ − − +
−
;
2)
5
x3
23
58
3 10 x 4 dx
cos x x
− + − −
;
3)
4
x3
2
2
6 9 5
e x dx
sin x x
x4
+ − + −
−
;
4)
x
2
3
18
15sin x 13 4 6 dx
x9
x
− + + −
+
;
59
5)
x
6
5
14
2 5 3cosx 3 dx
x
x
− + − +
;
6)
5
4
22
10 1 3
x 3 dx
16 x sin x x
− + − +
+
;
7)
x
2
3
2
15 4 3
2 dx
cos x
x
x 25
−
+ − +
−
;
8)
4
x3
2
9
3 x 7cosx 3 dx
4x
− + − +
+
9)
7
x5
2
8
6 5 3sinx 2 x dx
x4
− + + −
+
;
10)
x
2
2
10 3 5
2 15 dx
sin x x
4x
− + − −
+
;
11)
3
52
2
93
12x 8 x 4sinx dx
cos x x
− + + −
;
12)
x
22
7 5 2
10 15 x dx
x 25 x sin x
− − + −
+
;
13)
5
x3
2
23
8cosx 5 4 x dx
x cos x
− + − +
;
14)
6
11
2
52
3 x sin x 13 dx
x sin x
+ − + −
;
15)
22
2
2 3 1
5 x dx
x sin x
16 x
− + +
+
;
16)
2
3
5
15 5 2
4cosx 8 dx
cos x x
x
− − + +
;
60
17)
6
13
22
42
6sinx 3 x 4 dx
25 x sin x
− − + −
+
;
18)
15
8x
2
2
7 4 14
8 x 6 dx
x 49 x
25 x
− − + −
+
−
;
19)
x
22
10 2
15 3 x 8sinx dx
cos x 1 x
+ − + −
+
;
20)
4
7x
2
13 7
8 x 9cosx 6 dx
sin x x
− + + −
;
21)
11
22
2
10 2 1
5x 3 dx
x 36 x
49 x
− + + +
+
−
;
22)
25
2
2
54
13x 3sin x 1 dx
cos x
64 x
− + + −
−
;
23)
x
7
15
2
7 9 18
2 x 4cosx dx
2 x 9 x
− + − −
+
;
24)
x
22
92
3 6sinx dx
81 x x 16
+ + −
−−
;
25)
x
6
5
2
1 8 14
9 x 5 dx
5 x 36 x
− + − +
+
;
26)
2
8
52
5 7 3 3
8sin x dx
cos x x
x x 49
− + + −
+
;
27)
x
5
14
2
2
2 3 10
6 x 7 dx
3 sin x
4x
− + + −
−
;
28)
6
13
22
1 4 2
3sin x 15 x dx
64 x cos x x
− + + +
+
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]