Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Неопределенный интеграл. Учебно-методическое пособие
.pdf
31
=
( )
=
=
+
+
+
−
−
получаем
биасогласно
dx
x
dx
x
dx
x
))
2
2
2
3
1
3
2
=
( )
.
2
2
2
1
ln3
12
2
22ln31ln3
12
C
xx
x
C
x
xx +
+
−
+
−
=+
+−
+
++−−
+−
Пример 30.
+243xx
dx
.
Решение. Выпишем подынтегральную дробь и разложим знаменатель
на сомножители
24
31xx +
=
)3(
1
22
+xx
. Первый сомножитель x2
можно рассмотреть как линейный во второй степени, значит, ему будет
соответствовать сумма двух простейших дробей первого и второго типа
x
A
1
+
2
2
x
A
.
Второй сомножитель (x2+3) – это квадратный трехчлен, не имею-
щий действительных корней, так как D = 0 − 4·3·1=−12< 0, он в первой
степени, следовательно, ему соответствует одна простейшая дробь тре-
тьего типа
32++x
NMx
. Таким образом, получаем равенство
)3(
1
22
+xx
=
=
x
A
1
+
2
2
x
A
+
32++x
NMx
.
Приведем сумму в правой части равенства к общему знамена-
телю, он будет такой же, как и у дроби слева. Получим
)3(
1
22
+xx
=
)3(
)()3()3(
22
22
2
2
1
+
+++++
xx
xNMxxAxxA
.
Из равенства дробей с одинаковыми знаменателями следует равенство их числителей, т. е.
1=A1x(x2+3)+A2(x2+3)+(Mx+N)x2.
Найдем из этого равенства А1, А2, M, N. Подставим вместо x в это
равенство по очереди четыре числа, так как у нас четыре неопределенных коэффициента. Удобно подставлять числа, обращающие знаменатель в ноль, т. е. x1=0, остальные берем произвольно, например x2=1,
x3 =−1, x4 =2.
32
При x1=0 имеем
1=А1·0·3+А2·3+(M·0+N)0
3А2=1, т. е.
3
1
2
=А
.
При x2=1, учитывая, что
3
1
2
=А
, имеем
1=А1·1·4+
3
1
4+(M+N)1
M+N+4 А1=1−
3
4
M+N+4 А1=−
3
1
(5.1)
При x3=−1,
3
1
2
=А
имеем
1=−4А1+
3
1
4+(−M+N)
−M+N − 4 А1=1−
3
4
−M + N − 4 А1=−
3
1
(5.2)
При x4=2,
3
1
2
=А
имеем
1=14А1+
3
1
7+(2M+N)4
14А1 + 8M+ 4N=1 −
3
7
14А1 + 8M+ 4N= −
3
4
(5.3)
33
Равенства (5.1)–(5.2) объединяем в систему уравнений
−=++
−=−+−
−=++
3
4
4814
3
1
4
3
1
4
1
1
1
NMA
MNA
NMA
из которой находим A, M, N. Здесь N=−
3
1
, A1=0, M=0.
Получаем
)3(
1
22
+xx
=
2
31x
−
)3(3
1
2
+x
.
Получаем сумму интегралов:
+243xx
dx
=
=
+
−=
+
−
3
3
1
3
1
3
3
1
3
1
2222
x
dx
x
dx
dx
xx
=
( )
+−−=
+
−
+−
+−
.
333
1
3
1
3
3
1
123
1
2
2
12
C
x
arctg
x
x
dxx
Примеры для самостоятельного решения. Вычислить инте-
гралы:
1.
+dxxx3
3
Ответ:
.3ln279
2
3
3
2
3
Cxxx
x
++−+−
2.
+
dx
xx4
2
4
Ответ:
.
2
84
3
3
C
x
arctgx
x
++−
3.
( )( )
−−
−
.
32
4
dx
xx
x
Ответ:
.3ln2ln2 Cxx +−−−
4.
−+
+
dx
xx
x272
2
Ответ:
.2ln1ln3 Cxx ++−−
5.
−
+
dx
xx
x
23
2
2
Ответ:
.ln2ln
1
Cxx
x
+−−+
34
6.
−
−+
dx
xx
xx
3
2
323
Ответ:
.1ln1lnln3 Cxxx ++−−+
7.
( )
+21xx
dx
Ответ:
.1lnln
1
1
Cxx
x
++−+
+
8.
−
−
dx
xx
x3423
Ответ:
.
11
ln1ln
2
C
x
x
xx +−+−−
9.
++
+
dx
xx
x
102
25
2
Ответ:
.
3
1
102ln
2
5
2
C
x
arctgxx +
+
−++
10.
+ 8
3
x
dx
Ответ:
.
3
1
34
1
2ln
12
1
42ln
24
1
2
C
x
arctgxxx +
−
++++−−
11.
( )
( )
++
++
.
11
123
2
2
2
dx
xx
xx
Ответ:
.
1
1
1ln1ln
2
1
2
Carctgx
x
xx ++
+
−++−+
12.
+++
++
dx
xxx
xx
44
42
23
2
Ответ:
.4ln
2
1
1ln
2
Cxx ++++
13.
+−
−
dx
xxx
x52157
23
Ответ:
.
2
1
2ln352ln
2
3
2
C
x
arctgxxx +
−
+−+−
14.
( )
+.1
2
2
dx
x
x
Ответ:
( )
.
12
1
2
Cx+
+
−
15.
++
+
dx
xx
x441
24
Ответ:
( )
.
2
8
2
24
2
2
C
x
arctg
x
x
++
+
−
16.
( )
++
2
2
22xx
xdx
Ответ:
( )
.1
22
2
2
1
2
Cxarctg
xx
x
+
++
++
+
−
35
5.2. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
В зависимости от вида тригонометрического выражения, находя-
щегося под интегралом, применяют различные способы их вычисления. Напомним, что буквой R обозначается рациональная функция, т. е.
функция, представляющая собой многочлен или отношение многочленов относительно своего аргумента:
I.
=
=
=
= dt)t(R
dtxdxcos
txsin
xdxcos)x(sinR
;
−=
=
=
= dt)t(R
dt xdxsin -
txcos
xdxsin)x(cosR
.
Заметим, что подобные примеры, вероятно, частично встречались
вам в разделе «Замена переменной в неопределенном интеграле», но
повторить их здесь как содержащие тригонометрические функции, нам,
кажется, будет полезно.
Пример 31. Вычислить
xdxcosxsin
.
Решение. Этот интеграл можно вычислить тремя способами:
1)
=+==
=
=
=
C
t
tdt
dtxdx
tx
xdxx
2
cos
sin
cossin
2
Cx+
2
sin
2
;
2)
=+−=−=
=
=
=
C
t
tdt
dtxdx -
tx
xdxx
2
sin
cos
cossin
2
=
Cx+−
2
cos
2
;
3)
=== xdxxdxxxdxx 2sin
2
1
cossin2
2
1
cossin
Сx +−= 2cos
4
1
.
Можно показать, что эти результаты отличаются друг от друга
лишь видом произвольной постоянной.
Пример 32. Вычислить
xdxsinxcos
5
.
Решение.
=−=
=
=
=
dtt
dtxdx -
tx
xdxx
55
sin
cos
sincos
36
=
C
x
C
t
+−=+−
6
cos
6
66
.
Пример 33. Вычислить
xsin
xdxcos
3
.
Решение.
===
=
=
=
−
dtt
t
dt
dtxdx
tx
x
xdx
3
33
cos
sin
sin
cos
=
C
x
C
t
+−=+
−
−22
sin2
1
2
.
Пример 34. Вычислить
xdxsinxcos
3
2
.
Решение.
=
=
=
=
sin
cos
sincos
3
2
dtxdx-
tx
xdxx
=
− dtt
3
2
=
C
xcos
C
t
dtt +−=+−=−
5
3
3
5
3
5
3
5
3
2
.
Пример 35. Вычислить
+ xcos
xdxsin
2
2
.
Решение.
=
=
=
=
+
sin-
cos
cos2
sin
2
dtxdx
tx
x
xdx
+
−
x
dt
2
cos2
=
=
=+++− Ctt
2
2ln
Cxx +++−
2
cos2cosln
.
Пример 36. Вычислить
+
xdxcos
xsin
xsin 2
2
.
Решение.
=
=
=
=
+
cos
sin
cos
sin
2sin
2
dtxdx
tx
xdx
x
x
+
= dt
t
t 2
2
=++=+=
Ct
t
t
dt
tdt ln2
2
2
2
Cxx++= sinln2
2
sin
2
.
37
Пример 37. Вычислить
xdxcosxsin 33
.
Решение.
=
=
=
=
=
3
3cos
3cos3
3sin
3cos3sin
dt
xdx
dtxdx
tx
xdxx
= dtt
3
1
CxsinC
t
dtt +=+==
3
2
3
2
1
9
2
2
3
3
1
3
1
.
Пример 38. Вычислить
+ xsin
xdxcos212
2
.
Решение.
=
=
=
=
=
+
2
2cos
2cos2
2sin
2sin1
2cos
2
dt
xdx
dtxdx
tx
x
xdx
Carctgt
t
dt
+=
+
=
2
1
12
1
2
C)x(sinarctg += 2
2
1
.
II. Если для подынтегральной функции выполняется равенство
R(−sinx,cosx) −R(sinx,cosx),
то выгодно применить подстановку cosx =t.
Если выполняется равенство
R(sinx,−cosx) -R(sinx,cosx),
то выгодно применить подстановку sinx =t.
В частности, интегралы типа
xdxcosxsin
nm
вычисляются
в зависимости от значений показателей степеней m и n (при этом один
из показателей может быть равен нулю).
Если m – нечетно, то следует применять подстановку cosx = t,
а если n – нечетно – то подстановку sinx =t.
38
Пример 39. Вычислить
xdxsinxcos
23
.
Решение
== xdxcosxsinxcosxdxsinxcos
2223
=
( )
=− xdxcosxsinxsin
22
1
dtxdxcos
txsin==
=
( )
=− dttt221
=
( )
=− dttt
42
C
xsinxsin
C
tt
+−=+−
5353
5353
.
Отделяя один сомножитель от функции в нечетной степени и используя основное тригонометрическое тождество
122=+ xcosxsin
для перевода оставшейся в четной степени функции в противоположную (
sincos в→
), мы пришли к уже рассмотренному случаю I и соот-
ветствующей замене.
Пример 40. Вычислить
xcos
xdxsin
6
3
.
Решение.
=
=
xcos
xdxsinxsin
xcos
xdxsin
6
2
6
3
=
( )
=
−
x
xdxx
6
2
cos
sincos1
-
dtxdxsin
txcos==
=
( )
=
−
−
6
2
1
t
dtt
=
=+−
−−
dttdtt
46
Ctt+
−
+
−
−
−−
35
35
=
C
xcosxcos
+−
35
3
1
5
1
.
Пример 41. Вычислить
xdxcos 2
3
.
Решение.
==
xdxxxdx 2cos2cos2cos
23
=
( )
=−
xdxx 2cos2sin1
2
2
2
22
2
dt
xdxcos
dtxdxcos
txsin
=
=
=
=
( )
=−dtt21
2
1
=
C
x
xC
t
t +−=+−
6
2sin
2sin
2
1
62
1
33
.
39
Заметим, что если оба показателя степени m и n – нечетные, то
отделяем сомножитель от меньшей степени, что позволяет избавиться
от лишних алгебраических преобразований в подынтегральном выражении.
Пример 42. Вычислить
xdxsinxcos
35
.
Решение.
== xdxcosxsinxcosxdxsinxcos
2535
=
( )
=− xdxsinxcosxcos
25
1
=
dtxdxsin
txcos=−=
=
=
+− dttdtt
75
=
C
xcosxcos
C
tt
++−=++−
8686
8686
.
Пример 43. Вычислить
xdxsinxcos
3
3
2
.
Решение.
xdxsinxcos
3
3
2
=
== xdxcosxsinxcos
2
3
2
( )
=− xdxsinxcosxcos
2
3
2
1
=
dtxdxsin
txcos=−=
=
( )
=−−
dttt
2
3
2
1
=+−
dttdtt
3
8
3
2
=
CxcosxcosC
tt
++−=++−
3
11
3
5
3
11
3
5
11
3
5
3
3
11
3
5
.
Если оба показателя m и n имеют четные значения, т. е.
R(−sinx,−cosx) R(sinx,cosx), то используют известные формулы пони-
жения степени:
2
21
2
xcos
xcos+=
,
2
21
2
xcos
xsin−=
.
40
Пример 44. Вычислить
xdxsinxcos
22
.
Решение. Первый способ.
= xdxsinxcos
22
=
=
−
+
dx
xcosxcos
2
21
2
21
( )
=−
dxxcos 21
4
1
2
=
=
+
−
dx
xcos
dx
2
4141
4
1
=−−
xdxcosdxx 4
8
1
8
1
4
1
=
=+−− Cxsinxx 4
4
181
8
1
4
1
Cxsinx +− 4
32
1
8
1
.
Второй способ. Можно сначала для упрощения подынтегрального выражения воспользоваться формулой синуса двойного угла
2
2xsin
xcosxsin =
. Тогда имеем
= xdxsinxcos
22
=xdxsin 2
4
1
2
=
−
dx
xcos24141
=
Cxsinx +− 4
32
1
8
1
.
Пример 45. Вычислить
xdxsin 3
2
.
Решение.
xdxsin 3
2
=
−
=
dx
xcos261
=
=−
xdxdx 6cos
2
1
2
1
Cxsinx +− 6
12
1
2
1
.
Пример 46. Вычислить
dx
x
cos
2
4
.
Решение.
dx
x
cos
2
4
=
dx
x
cos
2
2
2
=
=
+
=
dx
x
2
2
cos1
( )
=++
dxxcosxcos
2
21
4
1
=
=
+
++
dx
xcos
xdxcosdx
2
2141
2
1
4
1
+++ xxx
8
1
sin
2
1
4
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]