Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование и масштабирование биотехнологических процессов. Учебное пособие для студентов магистратуры по направлению подготовки 19.04.01 «Биотехнол
.pdf
Таблица 2.1
Количество биомассы разного возраста в момент времени t
Диапазон
возрастов клеток
0–∆t 0,5∆t ∆Х
∆t–2∆t 1,5∆t ∆Х2 ∆Х2/Х*
2∆t–3∆t 2,5∆t ∆Х3 ∆Х3 /Х*
3∆t–4∆t 3,5∆t ∆Х4 ∆Х4 /Х*
4∆t–5∆t 4,5∆t ∆Х5 ∆Х5 /Х*
Средний возраст
данного
диапазона
Концентрация
биомассы диапа-
зона возрастов
1
Доля биомассы
*
данного
диапазона
возрастов
∆Х1 /Х
Рассмотренное распределение возрастов клеток в популяции
*
микроорганизмов является «подиапазонным», т. е. сначала была задана произвольная ширина диапазонов возрастов, а затем определялось,
какая часть клеток находится в том или ином диапазоне.
Ясно, что уменьшая величину диапазонов ∆t до бесконечно
малых dt, можно найти распределение клеток по возрастам в виде
непрерывной функции распределения Х(θ), где θ – возраст отдельных
клеток.
Проблемой при учете распределения возрастов является необходимость расчета интегральной скорости биосинтеза продукта qP,
которую для некоторого числа поддиапазонов k можно определить
по формуле
k
qX
ii
i
1
q
P
=
k
i
,
(2.49)
X
i
1
где ∆Xi – концентрация клеток i-го поддиапазона; k – общее число
поддиапазонов.
Переходя к непрерывным функциям, получим:
q
= qi(θ) и Хi = Хi(θ). (2.50)
i
Наиболее часто для оценки возраста культуры используется так
называемый параметр средний возраст популяции θ*. Биологически
термин вполне понятен – это сумма возрастов всех клеток, деленная
на их количество. Если последовательно уменьшать величины ∆θ
и ∆X, доведя их до бесконечно малых dX и dθ, то для среднего воз-
раста можно получить интегральную формулу:
41
T
XXtdt
θ* =
00
0
(2.51)
,
X
где X(t) – функция изменения концентрации биомассы во времени;
Х0 и θ0 – начальная концентрация биомассы и ее возраст; Т – момент
времени, для которого определяется средний возраст культуры.
Представим функцию X(t) графически (рис. 2.15).
Рис. 2.15. Графическое выражение
интеграла из уравнения (2.51)
Рис. 2.16. К сравнению возрастных
характеристик двух культур микро-
организмов с разной предысторией
роста биомассы (кривые 1 и 2)
Интеграл в формуле (2.51) численно равен заштрихованной
площади на рис. 2.15, так что его нахождение практически очень просто.
В качестве примера можно привести два процесса, представленные на рис. 2.16. В момент времени Т они характеризуются одной
и той же концентрацией биомассы ХТ, в начале процесса концентрации Х0 у них также одинаковы. И, тем не менее, можно сказать, что
культура в процессе 2 имеет меньший средний возраст (более молодая), чем в процессе 1. Это следует из того, что площадь под кривой 2
значительно меньше, чем площадь под кривой 1.
Интересно, что в зависимости от удельной скорости роста культура может сохранять свой возраст в течение долгого времени неизменным, «молодеть» или «стареть». Пример представлен на рис. 2.17.
В момент времени t0 культура с некоторой предысторией, определяемой ее средним возрастом θ0, в зависимости от технологических
воздействий может начать расти медленно с удельной скоростью
роста μ1 или быстрее – μ2, или еще быстрее – μ3.
42
Для того чтобы возраст культуры не изменялся, должно соблюдаться равенство
μ = 1 / θ. (2.52)
Допустим, что до момента времени t0 удельная скорость роста
равна μ2:
μ2 = 1 / θ
*
, (2.53)
0
где θ
деть». Если же μ < 1 / θ
*
– возраст культуры в момент времени t0.
0
Если μ > 1 / θ
*
, т. е. μ3 > μ2 = 1 / θ
0
*
, в данном примере μ1 < μ
0
*
, то культура будет «моло-
0
= 1 / θ
2
*
, то культу-
0
ра будет «стареть». Зная оптимальный средний возраст культуры,
можно так управлять ростом биомассы, чтобы биосинтез продукта
был на максимальном уровне.
0 t0 t
Рис. 2.17. Варианты роста биомассы микроорганизмов
после момента времени t0 при различных значениях
удельной скорости μ
Рассмотрим также форму зависимости удельной скорости биосинтеза продукта qP от среднего возраста культуры qP = f(θ).
Если зависимость имеет возрастающий характер с насыщением
(рис. 2.18), то можно выразить в форме, похожей на уравнение Моно:
q
K
m
(2.54)
p
q
P
=
или
q
K
m
p
(2.55)
q
43
= q0 + .
P
K
K
Рис. 2.18. Варианты зависимости qP(θ) с насыщением:
1 – по уравнению (2.54); 2 – по уравнению (2.55)
Если удельная скорость биосинтеза продуктов q
убывает с воз-
P
растом культуры, то лучше подходит выражение, подобное уравнению Иерусалимского:
q
q
P
=
m
1/
(2.56)
p
или
q
q
= q0 + .
P
m
1/
(2.57)
p
2.11. МОДЕЛИ КИНЕТИКИ ДЕГРАДАЦИИ (ИНАКТИВАЦИИ)
ПРОДУКТОВ МЕТАБОЛИЗМА
Не всегда синтезированные продукты метаболизма остаются
устойчивыми; часто они настолько лабильны, что разрушаются уже
в процессе самой ферментации. Поэтому, описывая материальный
баланс по продукту метаболизма, необходимо учитывать кинетику
его инактивации:
dP/dt = qP Х – Q
где Q
*
– общая скорость деградации продукта метаболизма. В данном
p
*
, (2.58)
p
случае правильно брать именно общую скорость, так как причиной
разложения продукта совсем не обязательно должна быть биомасса.
Образовавшийся продукт существует отдельно от биомассы,
и нет никакой необходимости соотносить скорости его деградации
с ее концентрацией, т. е. вводить удельную скорость деградации.
Рассмотрим варианты моделирования кинетики деградации.
44
K
Деградация отсутствует:
Q
*
= 0. (2.59)
p
Деградация идет с постоянной скоростью:
Q
*
= K. (2.60)
p
Такое выражение странно выглядит в начале процесса, когда
продукта еще нет; из уравнения же получается, что концентрация
продукта может стать ниже нуля, что не имеет физического смысла.
Нормальная реакция разложения первого порядка:
Q
*
= KР. (2.61)
p
Реакция разложения идет по уравнению реакций химической
кинетики с показателем степени п (больше или меньше 1):
Q
*
= KРn. (2.62)
p
Реакция разложения зависит не только от концентрации продукта,
но и от концентрации биомассы:
Q
*
= KРХ. (2.63)
p
Скорость реакции разложения зависит от концентрации биомассы и возрастает с концентрацией продукта до какого-то предела:
QXP
Q
*
=
p
m
p
(2.64)
.
P
Зависимость может быть описана и другими уравнениями.
2.12. МОДЕЛИ КИНЕТИКИ ПОТРЕБЛЕНИЯ СУБСТРАТА
Выше были рассмотрены варианты различных уравнений роста
биомассы (и ее деградации) и биосинтеза продукта (и его инактивации).
Чтобы «замкнуть» материальный баланс, в котором почти
во всех уравнениях участвует концентрация субстрата, необходимо
дополнить его уравнением кинетики потребления субстрата.
Это уравнение в общем виде может быть представлено как аддитивное, в правой части которого фигурируют затраты на собственно
рост микроорганизмов (Q1), на образование продукта метаболизма
(Q2) и на поддержание жизнедеятельности (Q3):
dS
–
= (Q1) +(Q2) + (Q3). (2.65)
dt
45
Два первых члена уравнения связаны с соответствующими скоростями роста биомассы Qx и продукта метаболизма QP выходными
коэффициенчами YPX и YPS:
Q
= QХ /YPX и Q2 = QP /YPS. (2.66)
1
Отдельно следует сказать о затратах субстрата на поддержание
жизнедеятельности. В клетках микроорганизмов все время идут процессы деградации (разрушения) некоторых веществ (белков, нуклеиновых кислот и др.) и одновременно – процессы их синтеза. Вместе
взятые эти два процесса можно назвать процессом «репарации», т. е.
регенерации утраченных веществ. На этот процесс необходимо расходовать часть субстрата. Кроме того, субстрат расходуется на синтез
определенных, тоже неизмеряемых продуктов метаболизма, образующихся в небольшом количестве.
Особенно это заметно в том случае, когда в конце процесса субстрат исчерпан, рост биомассы и образование целевого продукта прекратились. Если при этом подавать субстрат с небольшой скоростью,
то можно создать условия, при которых концентрации биомассы
и продукта не возрастали и не падали бы, а сохранялись на постоянном
уровне. В этом случае субстрат все время добавляется (т. е. ∆S ≠ 0),
а биомасса и продукт метаболизма не меняются (т. е. ∆Х = 0 и ∆Р = 0).
Благодаря подаче субстрата не наступает фаза отмирания клеток микроорганизмов.
Это дополнительное расходование субстрата происходит не только
в конце ферментации, а в течение всего процесса. Просто эти расходы
субстрата обычно «приписывают» к расходам на рост (Q1) и на образование продукта метаболизма (Q2). Более правильно было бы выделить
эту статью расхода в отдельный член уравнения – на поддержание
жизнедеятельности микроорганизмов (Q3).
Вполне очевидно, что эта величина пропорциональна концентрации биомассы микроорганизмов:
Q
= mS X, (2.67)
3
где mS – коэффициент поддержания жизнедеятельности, или удельная
скорость расходования субстрата на поддержание жизнедеятельности
микроорганизмов.
С учетом соотношений (2.65) – (2.67) уравнение (2.65) можно
записать следующим образом:
Q
= –
s
= QХ /YPX +QP/QP /YPS +msX. (2.68)
dt
46
dS
В этом уравнении коэффициенты YPX и YPS отличаются от экономических коэффициентов, рассмотренных ранее. Математическая
модель (2.68) более правильно учитывает различные пути расходования субстрата. В экономических коэффициентах обычно не выделяли
«невидимой» части субстрата, расходуемой на поддержание жизнедеятельности. Поэтому полученные «экономические» коэффициенты
приписывали весь расход субстрата чему-то одному – образованию
биомассы или продукта метаболизма.
Так, например, если за период времени ∆t образовалось ∆Х биомассы и ∆Р продукта и при этом израсходовалось ∆S субстрата,
мы вычисляли экономические коэффициенты по биомассе и продукту
таким образом:
Y
= ∆Х/∆S и YPS = ∆Р/∆S. (2.69)
ХS
Этот способ вычисления не вполне правилен, так как образуется
и то и другое, да еще существуют затраты субстрата на поддержание
жизнедеятельности.
Как же правильно определять эти коэффициенты? Необходимо
находить их все сразу по следующей методике по уравнению
11
–
dt
=
YtYt
dS
XP
XS PS
+ msX. (2.70)
Для каждого интервала времени ∆t можно определить ∆Х, ∆Р
и X (берут среднее значение для интервала). Подставив найденные
числовые значения, получаем линейное уравнение со следующими
тремя неизвестными: 1/YХS, 1/YPS и ms.
Ясно, что одного интервала для определения всех трех коэффициентов недостаточно. Нужны как минимум три точки, которые дадут
три уравнения, из них можно найти все три коэффициента.
Лучше взять больше точек, чем число искомых коэффициентов,
тогда получится система уравнений (столько же, сколько взято измеренных точек – интервалов ферментации), в которой коэффициенты
можно найти методом наименьших квадратов.
Иногда можно и упростить решение. Например, в стационарном
режиме ∆Х/∆t = 0 получается два уравнения с двумя неизвестными –
их проще решить.
Или можно найти период времени, где не было ни роста биомассы, ни образования нового продукта. В качестве примера решения
можно рассмотреть данные табл. 2.2.
47
Таблица 2.2
Расчет коэффициентов выхода YХS и YPS и скоростей роста
и биосинтеза продукта метаболизма по экспериментальным данным
периодического культивирования
Время от начала ферментации, ч Концентрация
в среде, г/л
Биомасса Х 27,5 35,4 39,8 40,2
Субстрат S 80,8 60,7 44,1 33,5
Продукт Р 4,2 33,5 21,1 29,4
параметров
∆ t, ч 24 24 24
∆Х, г/л 7,9 4,4 0,4
–∆S, г/л 20,1 16,6 10,6
∆Р, г/л 8,3 8,6 8,3
Среднее значение Х, г/л 31,5 37,6 40,0
Скорости изменения, г/л·ч
∆Х/∆t 0,329 0,183 0,017
∆S/∆t 0,837 0,692 0,442
∆Р/∆t 0,346 0,358 0,442
= 48 t2 = 72 t3 = 96 t4 = 120
t
1
Интервалы времени, ч Приращение
t3–t2 t4–t3
t
2–t1
На основании данных таблицы можно записать уравнения материального баланса (для каждого из трех интервалов):
0,837 = (1/YХS) 0,329 + (1/YPS) 0,346 + ms 31,5;
0,692 = (1/YХS) 0,183 + (1/YPS) 0,358 + ms 37,6;
0,442 = (1/YХS) 0,017 + (1/YPS) 0,346+ ms 40,0.
Решение этой системы уравнений дает коэффициенты: Y
= 1,82;
ХS
YPS= 0,36; ms = 0,011. Следует отметить, что эти коэффициенты уже
не будут меняться в ходе процесса так сильно, как упомянутые ранее
экономические коэффициенты.
Показатель ms по смыслу является кинетическим и может
по-разному зависеть от других показателей процесса. Для неэнергетических субстратов, таких, как азот, макро- и микроэлементы, ms = 0.
Если ms не изменяется в процессе ферментации, то ms = +m. В редких
случаях, когда субстрат при ферментации дополнительно образуется
в процессе поддержания жизнедеятельности микроорганизмов, тогда
ms = –m. Чем больше концентрация субстрата, тем больше его расходы
на поддержание жизнедеятельности микроорганизмов. В этом случае
ms = KS. Расходование субстрата в «побочных» биохимических процессах происходит по ферментативной кинетике Михаэлиса–Ментен:
48
K
K
qS
m
=
s
mS
S
(2.71)
.
S
Субстрат более интенсивно расходуется на поддержание жизнедеятельности микроорганизмов при его пониженных концентрациях:
q
m
=
s
mS
1/
SK
P
(2.72)
.
Продукт метаболизма стимулирует расходование субстрата
на поддержание жизнедеятельности микроорганизмов:
q
m
=
s
mS
1/
P
(2.73)
.
P
Можно воспользоваться графическим методом определения
коэффициентов YХS и ms по экспериментальным данным. Этот метод
вытекает из уравнения
11 1
*
YY
XS XS
m
.
(2.74)
s
Если представить экспериментальные данные в системе обратных координат, то получим прямую (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Графическое определение коэффициентов ms
и YХS в системе обратных координат
По точкам пересечения линии с осями координат можно определить параметры уравнения (2.74) – ms и YХS.
49
P
X
X
2.13. БЛОЧНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ
ПРОЦЕССОВ ФЕРМЕНТАЦИИ
Математическая модель процесса ферментации в общем случае
должна давать систему уравнений, совместное решение которых позволяет при заданных начальных условиях найти изменение во времени
всех основных параметров ферментации (в данном случае концентраций
субстрата, биомассы микроорганизмов и продуктов метаболизма).
В общем виде такая система уравнений представлена системной
моделью – совокупностью уравнений материального баланса биомассы,
продукта метаболизма и субстрата, в которых не раскрыты функции
для основных кинетических параметров – μ, μ*, qP, Q
*
, ms:
Р
*
;dXX
(2.75)
dt
dP
qX Q
(2.76)
dt
–
dt
=
YY
XS PS
dS
qX
X
Кинетические параметры μ, μ*, qP, Q
*
;
P
P
mX
Р
(2.77)
.
S
*
и ms в системе уравнений
(2.75)–(2.77) зависят от текущих значений параметров состояния X, Р, S.
Создание модели требует выбора конкретной формы зависимости для
каждого параметра (даже если эта форма нулевая, например qp= 0,
или ms = 0, или μ* = 0).
Совокупность зависимостей дает модель, вернее структуру
модели, потому что необходимо найти еще точные значения входящих в уравнения коэффициентов.
Например, чаще всего рассматривают упрощенную кинетическую модель процесса ферментации, в которой μ* = 0, QP = 0, ms = 0
и qP = 0. Удельную скорость роста μ принимают зависящей от субстрата по уравнению Моно. Система уравнений при этом выглядит
следующим образом:
m
S
dX
dt K S
где
*
Y – принятая постоянной величина экономического коэффи-
S
dP
0;
;
X
dt
dS X
dt
Y
,
*
S
S
циента YХS.
Даже такая простая модель позволяет анализировать многие
закономерности протекания микробиологических процессов. Возникает
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]