Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
квадратная матрица A «близка» или «далека» относительно вырожден-
A
A
ной матрицы. Матрица A будет более вырожденной, чем матрица B,
cond cond .() ()
если
рошо обусловлена, а если
B
При этом если
cond 1,()A
cond 1,()A
то матрица A – хо-
то обусловленность у матрицы
будет плохая. Как будет показано ниже, вариации в исходных данных
для СЛАУ с плохо обусловленной матрицей системы будут приводить
к очень большим погрешностям в решении независимо от применяемого алгоритма.
При этом не следует полагать, что существует прямая связь между ве-
det 0,()A
личиной определителя и обусловленностью матрицы.
Если
то это вовсе не означает, что матрица будет плохо обусловлена. Например, у диагональной матрицы порядка n
0,1 0 0
A
(2.27)
00
nn
000,1
,cnd(o)1A
хотя
det 10 .()nA
Несмотря на малость величины опреде-
лителя, в вычислительном смысле свойства этой матрицы при решении
СЛАУ с произвольной правой частью близки к хорошей единичной матрице, а не к плохо обусловленной.
Упражнение 2.20. Покажите, что в (2.27)
единичной матрице.
11
AAAE –
Другой пример подобного рода (пример Уилкинсона) [5] дает мат-
1
рица A, у которой обратная матрица
111 1 11 2 2
0 1 1 1
AA
nn nn
0 0 1 1
0 0 0 1
, .
A
равна
2
n
01 1 2
1
00 1 1
00 0 1
51
n
3
(2.28)
Определитель матрицы A равен произведению диагональных эле-
A
x
x
A
x
A
x
ментов, т. е.
det 1.()A
Используя первую столбцовую норму, находим,
что
Поэтому
121
AnA
cond( ) 2 .
, 1 1 2 ... 2 2 .
1
AAA n
1
11
1
1
nn
n
Таким образом, матрица A
(2.29)
плохо обусловлена, хотя ее определитель не равен нулю.
2.5. ОЦЕНКА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
РЕШЕНИЯ СЛАУ К ВАРИАЦИЯМ В КОМПОНЕНТАХ
МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ A И ПРАВОЙ ЧАСТИ
b
С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ
После того как численное решение СЛАУ найдено, возникает естественный вопрос о том, насколько хорошо это вычисленное решение
приближает точное решение. Получить оценку относительной погрешности в решении позволяет число обусловленности матрицы системы.
Вначале предположим, что источник вариаций исходных данных
находится в правой части СЛАУ
точное решение. Тогда вектор приближенного решения
xb
и вектор
– это неизвестное
*
с учетом
возмущения в правой части удовлетворяет системе
*
xbb
(2.30)
,
b
где
– вектор погрешностей в правой части (или вектор невязки).
Вектор
*
xx
есть вектор погрешности в решении, для кото-
рого согласно (2.3) верно
.
xb
(2.31)
Отсюда легко понять, что
1
Ab
52
(2.32)
,
где
x
A
x
A
1A
– обратная матрица системы. Используя неравенство согласо-
вания норм (2.18), получаем
а из равенства
xb
аналогичным образом имеем
1
Ab
,
(2.33)
.bAx
(2.34)
Оценка (2.33) важна сама по себе, так как она позволяет оценивать
абсолютную погрешность в решении СЛАУ при возмущении ее правой
части.
После перемножения неравенств (2.33) и (2.34) приходим к неравенству
bAA bx
1
.
.
(2.35)
Отсюда окончательная оценка относительной погрешности принимает вид
xbb
x
AA A A
1
cond ( ) cond( ) .
bbb
r
(2.36)
Таким образом, относительная погрешность в решении СЛАУ, обусловленная вариациями в правой части системы уравнений, ограничена
числом обусловленности
cond ( ,)
умноженным на относительную по-
грешность в возмущении правой части. Иными словами, для хорошо обусловленной матрицы системы относительная малость невязки всегда гарантирует малость относительной ошибки в решении СЛАУ. Если же обусловленность матрицы будет плохой, то эта взаимосвязь будет нарушена.
Пример. Плохо обусловленная СЛАУ. Проанализируем оценку
(2.36) на конкретном численном примере [6, с. 57]. Рассмотрим СЛАУ
вида
Ax b
4,1 2,8 4,1
.
9,7 6, 6 9, 7
53
x
1
x
2
Точное решение системы есть
векторной норме
,
1x
(, ) (1,0).xxx
13,8b
. Внесем малое возмущение в пра-
12
T
Тогда в первой
вую часть первого уравнения, принимая, что теперь
4,11
*
b
9,70
Вновь решим новую СЛАУ. Найдем, что теперь
для невязки и погрешности получим, что
.
0,34
*
x
0,01,rb
. Тогда
0,97
Отсюда относительные погрешности правой части и решения будут
равны
r
bb
b х
0,0007246, 1,63.
х
Очевидно, что малые возмущения в правой части СЛАУ привели к
значительным погрешностям в решении. Причина такой взаимосвязи
кроется в том, что матрица системы A плохо обусловлена. На основании
оценки (2.36) получаем, что
cond( ) 2249,5.
A
1, 63
0,0007246
1, 6 3.х
Упражнение 2.21 (*). Найдите обратную матрицу для мат-
рицы системы из разобранного примера. Затем вычислите ее
норму и установите, согласуется ли полученная в примере
оценка абсолютной погрешности решения с оценкой (2.33).
Упражнение 2.22 (*) [5, с. 152]. Студент пытается выбрать
наилучший новый ПК из двух возможных вариантов: модель
Intel и модель AMD. Для точного выбора он тестирует компью-
теры с помощью теста на решение СЛАУ:
34 55 21,
xy
55 89 34.
xy
54
В результате были получены два численных ответа:
A
A
*T
(0,11;0,45)x
1
Для покупки будет выбран тот ПК, решение которого точ-
нее. Модель какой фирмы это будет?
*T
и
(0,99;1,01)x
2
.
Рассмотрим теперь более общую ситуацию, когда источник возмущения в исходных данных содержится одновременно в компонентах не-
вырожденной матрицы A и правой части
стемой
xb
следует рассматривать возмущенную систему вида
() .
*
Ax b b
b
. Здесь наряду с точной си-
(2.37)
Пусть при этом выполнены следующие условия:
обратная матрица A
возмущенные компоненты матрицы A малы, и для них выполня-
0;A
−1
существует;
ется ограничение
1
.A
(2.38)
1
А
Тогда для относительной погрешности в решении СЛАУ выполняется оценка
Очевидно, что если
xb
xA
1cond()
A
cond ( )
A
оценка (2.39) переходит в оценку (2.36).
0,A
A
A
A
.
(2.39)
b
Математически строгий вывод оценки (2.39) несколько более сложен, чем вывод оценки (2.36), и поэтому он здесь рассматриваться не
будет. Его точное описание можно найти в различных руководствах по
численным методам, например, [3, с. 404; 5, с. 150].
55
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК К ГЛАВЕ 2
1. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение: пер. с англ. /
Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. – Изд. второе, стереотип. – М.: Мир, 2001. –
575 с.
2. Калинин С. В. Методы математического моделирования в микроэлектро-
нике. Общие вопросы: учебное пособие / С. В. Калинин, А. С. Черкаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 138 с.
3. Шарый
С. П. Шарый. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2025. –
807 с. – URL: http://www.ict.nsc.ru/matmod/files/textbooks/SharyNuMeth.pdf (дата обра-
щения: 03.06.2025).
4. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику / В.С. Рябень-
кий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Физматлит, 2008. – С. 79–84. – (Физтеховский
учебник).
5. Квасов Б. И. Численные методы анализа и
вание Matlab и Scilab: учебное пособие / Б. И. Квасов. – СПб.: Лань, 2022. –
328 с.
6. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений: пер.
с англ. / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. – М.: Мир, 1980. – С. 57–58.
С.П. Курс вычислительных методов [Электронный учебник] /
линейной алгебры. Использо-
56
ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ СЛАУ
3.1. ДВА КЛАССА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
РЕШЕНИЯ СЛАУ
В вычислительной линейной алгебре существует большое количество различных методов решения СЛАУ. Значительную часть этих методов принято подразделять на два класса: прямые и итерационные методы.
Прямые методы – это методы, которые позволяют за конечное число
шагов с применением конечного множества формул найти, при отсутствии ошибок округления, точное решение СЛАУ
мым методам относятся: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса, метод прогонки и т. д. Существенной особенностью первых
двух методов является их вычислительная непригодность (неэффективность) при решении СЛАУ даже с небольшим порядком матрицы системы n в несколько десятков, что связано с огромными затратами машинного времени. Размерность системы в методе Гаусса может достигать нескольких десятков тысяч. При этом возникает необходимость использования больших объемов памяти компьютера для хранения всей
матрицы системы и дальнейших ее модификаций. Матрица системы
в этом случае практически не содержит нулевых элементов и поэтому она
является плотной матрицей (англ. dense). В
является метод прогонки, который может применяться для решения
СЛАУ с порядком более
стемы (англ. banded). Ненулевые элементы в ленточных матрицах
6
но только для ленточной матрицы си-
10 ,n
. К классическим пря-
этом смысле, исключением
57
расположены на главной диагонали и на нескольких соседствующих
j
с ней лентах, которые и размещаются в памяти компьютера, а остальные
нулевые элементы вообще не хранятся. Матрицы, в которых количество
ненулевых диагоналей s много меньше их порядка (s << n), называются
разряженными (англ. sparse). Пример такой СЛАУ с трехдиагональной
матрицей (1.30) был рассмотрен в разделе
1.4. Исторически подобные
задачи впервые возникли при использовании неявных разностных схем
для уравнения теплопроводности. В разряженных матрицах для ненулевых компонентов часто существует некоторая простая математическая
формула, по которой величину этих компонентов легко вычислять по
мере необходимости. Это позволяет не хранить матрицу системы в памяти компьютера, т. е. в этом
случае вопрос о месте для хранения вектора неизвестных и правой части может быть более значимым, чем память для матрицы системы.
Упражнение 3.1. Какие другие численные методы решения
СЛАУ, кроме перечисленных выше, можно отнести к прямым
методам?
Упражнение 3.2. Проверьте, что нулевые элементы ленточ-
i
l
ной матрицы удовлетворяют условию
называемый полушириной ленты, содержащей в себе
диагональ. В частности, для трехдиагональной матрицы s = 3,
а l = 1.
, где l – параметр,
21sl
Упражнение 3.3 (*). Существуют ли прямые методы для ре-
шения СЛАУ со структурой, показанной на рис. 1.7, которая возникает при дискретизации уравнения Пуассона? Является ли эта
матрица ленточной?
Компьютерные прямые методы нахождения решения СЛАУ, несмотря на различные способы повышения их устойчивости, всегда
подвержены машинным ошибкам округления при выполнении операций над числами с плавающей точкой. Эти ошибки в процессе решения имеют тенденцию к накоплению и росту. Поэтому такие численные решения СЛАУ никогда не бывают абсолютно точными
ченные прямые решения можно улучшить с помощью итерационных
методов.
58
. Полу-
Итерационные методы – это приближенные методы, основанные на
A
x
x
x
x
x
x
x
циклическом использовании какой-либо математической процедуры,
с помощью которой можно улучшить предыдущее решение. Цикл процедуры начинается с некоторого начального приближения, на основе
которого вычисляется следующее приближение. Каждый переход от одного приближения к другому называется итерацией (от лат. iteratio –
повторение или «снова
пахать»). Конструктивно итерационный метод
включает в себя математические формулы, образующие процедуру,
и критерий завершения, который может состоять из одного или нескольких условий.
Рассмотрим алгоритм построения итерационного процесса при ре-
шении СЛАУ. Пусть для СЛАУ
*
x
. Тогда
0
0
грешности
10
xx
,rbAx
и согласно (2.3)
Ar
. Повторяя описанную процедуру k раз, получаем последо-
xx
0
1
и вычислить новое улучшенное приближение
, где
rAx
вательность приближенных решений СЛАУ
при k → ∞ даст точное решение
, т. е.
k
xb
найдено неточное решение
– погрешность решения. Невязка
. Отсюда можно найти вектор по-
lim .
x
k
(3.1)
, 0,1, 2...
xk
k
, которая
В качестве критерия завершения цепочки последовательных приближений на практике можно использовать одно из двух условий завершения:
либо достигнуто заданное заранее количество итераций
k
max
(например, 10 или 100);
либо для заранее выбранного произвольного ε > 0 выполняется
в какой-либо норме неравенство
xx
1.kk
(3.2)
Можно также рассматривать и третье условие завершения итерационного процесса, заключающееся в малости невязки
надо помнить, что малость невязки не гарантирует малость ошибки
59
r
k
. При этом
,x
так как
x
x
11A
k
Ar
, а практически это редко выполняется.
1
и для малости ошибки необходимо, чтобы
k
Качество различных итерационных методов сравнивается по количеству итераций, которые нужны для достижения выполнения критерия
завершения. Это количество зависит:
1) от вектора начального решения
;
0
2) используемого метода итерации;
3) выбранного критерия сходимости.
Очевидно, что итерационные методы можно использовать не только
для улучшения прямых решений. Они позволяют находить решения
СЛАУ сами по себе, независимо от прямых методов. Если итерационные методы сходятся быстро, то они обычно предпочтительнее прямых
2
3
[1].
(),On
то-
методов. Объем вычислений на одну итерацию у них
гда как полный цикл исключения по Гауссу требует
равен
()On
При использовании итерационных методов, в отличие от прямых, не
происходит накопления ошибок округления и их распространения
в процессе расчета, что обеспечивает их лучшую эффективность, например, при решении СЛАУ с плохо обусловленными матрицами. Это связано с тем, что каждая последующая итерация не зависит от ошибок
округления в предыдущей итерации.
Поэтому итерационный процесс
можно рассматривать как самокорректирующийся.
Наиболее распространенной областью применения итерационных
методов являются линейные системы, возникающие при численном решении моделей в форме смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. В этом случае системы с порядками от
10
5
до
7
10
с сильно разряженными матрицами не являются чем-то не-
обычным и никакие прямые методы здесь уже неприменимы.
Примерами часто используемых на практике итерационных методов
решения СЛАУ являются метод простой итерации, метод Якоби, метод
Гаусса–Зейделя и метод последовательной верхней релаксации (SOR).
В заключение этого параграфа отметим, что в современной вычислительной математике большую популярность начинает приобретать
новый класс методов решения СЛАУ – вариационный. Эти методы еще
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]