Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
узлы
f
xxx
ijijij
,,
1, 1,
, а для производной по y – узлы
,,
xxx
, 1 , 1
ij ij ij
Всего в совокупности будет задействовано пять узлов, которые геометрически образуют фигуру «крест» (см. правую часть рис. 1.6).
Тогда уравнение в частных производных запишется в дискретном
виде как
.
UUUUUU
22
1, 1, , 1 , 1
ij ij ij ij ij ij
22
hh
xy
injm
2, 3, , 1, 2, 3, , 1.
,
ij
(1.32)
Линейные алгебраические уравнения (1.32) не могут пока что быть
записаны в каноническом виде (В.1), так как неизвестные величины
U
ij
имеют двойной индекс. Для получения классической формы СЛАУ неизвестные величины в уравнениях (1.32) надо переиндексировать таким
образом, чтобы вектор неизвестных величин имел один индекс. Для
этого надо выбрать какой-то алгоритм «обхода» всех внутренних узлов.
Например, последовательно нумеровать узлы по строкам (или по столбцам) сетки.
Нетрудно показать, что после
такого переиндексирования матрица
канонической СЛАУ будет иметь вид, показанный на рис. 1.17.
Рис. 1.7. Структура канонической матрицы СЛАУ
после дискретизации уравнения Пуассона
Очевидно, что матрица содержит пять ненулевых диагоналей: главную диагональ, две смежные с ней диагонали и две диагонали, которые
отстают от смежных на некоторое расстояние L.
31
Упражнение 1.22. Точно покажите, что матрица канониче-
ской СЛАУ имеет вид, показанный на рис. 1.7. Будет ли матрица
системы симметричной? Как при этом будет выглядеть вектор
неизвестных?
Упражнение 1.23. Чему точно равно расстояние
Упражнение 1.24 (*). Поясните, как можно обобщить результат
проекции уравнения Пуассона на трехмерную сетку, и какую
структуру будет иметь матрица канонической СЛАУ в этом случае.
L?
1.5. СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ СЛАУ
Наряду с задачами обработки экспериментальных данных и численными разностными методами решения краевых задач третьим важным
источником моделей в форме СЛАУ является сетевое проектирование
каких-либо систем. Прежде всего
это относится к механическим моделям различных стержневых конструкций типа ферм железнодорожных мостов, разветвленных водопроводных систем и т. д
.
В радиотехнике и микроэлектронике подобные задачи часто
возникают при расчетах какихлибо цепей и схемотехническом
проектировании ИМС. Разберем
простейший электротехнический
пример. Такие задачи подробно
рассматривались в курсе «Электротехника». Пусть для электрической цепи, схема которой показана
Рис. 1.8. Схема модифициро-
ванного моста Уитстона
собой модифицированный мост Уитстона. В отличие от нашей схемы в реальном мосте
эта диагональ имеет реально ненулевое сопротивление.
Уитстона в диагональ CD включен гальванометр и поэтому
на рис. 1.8, требуется рассчитать все
токи, текущие во всех ветвях. В радиотехнике эта схема представляет
32
Для получения модельных линейных алгебраических уравнений ис-
R
пользуем законы Кирхгофа. Согласно первому закону алгебраическая
сумма всех токов в любом узле схемы равна нулю, а из второго закона
следует, что алгебраическая сумма ЭДС (источников питания), действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений
напряжений на всех элементах в этом контуре. В
математическом виде
эти законы можно описать так:
0,
I
k
IR E
kk k
.
(1.33)
Упражнение 1.25. Поясните, следствием каких законов со-
хранения являются первый и второй законы Кирхгофа.
Проанализируем исследуемую схему. Она имеет четыре узла,
обозначенных как A, B, C, D, и шесть ветвей, в которых текут неизвестные пока токи
,,,
схемы
RRR и источника питания E – это известные вели-
1234
,, , , ,.IIIIII Номиналы всех резисторов
12345
чины. Для трех контуров ACDA, BDCB и ADBA положительные
направления обходов выберем по часовой стрелке, а выбранные
направления токов в ветвях показаны на рис. 1.8.
Применяя для трех узлов A, B и C первый закон Кирхгофа, получаем
три уравнения для токов. В трех контурах
запишем уравнения второго
закона Кирхгофа. Тогда для шести неизвестных токов получим шесть
алгебраических уравнений:
AIII
BIII
CIII
ACDA R I R I
BDCB RI RI
ADBA R I R I E
13
24
125
11 3 3
22 44
33 44
0,
0,
0,
(1.34)
0,
0,
.
Упражнение 1.26. Почему в системе (1.34) не использован
узел
D?
33
Переписывая (1.34) в форме канонической системы, имеем
E
в окончательном виде искомую модель СЛАУ
110 100
10 1 0 1 0
Упражнение 1.27. Пусть в СЛАУ (1.35) резисторы заданы как
2 Ом,
R
1
Mathcad, найдите численные величины токов
Чему в этом случае равно напряжение
1. Шарый С. П. Курс вычислительных методов [Электронный учебник] /
С. П. Шарый. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2025. –
807 с. – URL: http://www.ict.nsc.ru/matmod/files/textbooks/SharyNuMeth.pdf (дата обращения: 03.06.2025).
2. Турчак Л. И. Основы численных методов: учебное пособие / Л. И. Турчак,
П. В. Плотников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматлит, 2005. – 304 c.
3. Калинин С. В. Методы математического моделирования
нике. Общие вопросы: учебное пособие / С.В. Калинин, А.С. Черкаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 138 с.
4. Костомаров Д. П. Вводные лекции по численным методам: учебное по-
собие / Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский. – М.: Логос, 2004. – 184 с.
5. Квасов Б. И. Численные методы анализа и линейной алгебры.
вание Matlab и Scilab: учебное пособие / Б. И. Квасов. – СПб.: Лань, 2022. –
328 с.
00 00
00 0 0
000 0
3 Ом,
R
2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК К ГЛАВЕ 1
011001
RR I
13 3
RRI
244
6 Ом,
R
3
RR I
34 5
7 Ом, а E = 36 B. Используя
R
4
I
I
1
I
2
?
U
CD
0
0
0
.
(1.35)
0
0
,,,, ,.IIIIII
1234 5
в микроэлектро-
Использо-
34
ГЛАВА 2
x
A
x
x
x
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ
ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ СЛАУ
2.1. ПОГРЕШНОСТИ И НЕВЯЗКИ В СЛАУ
Пусть вектор
это численное приближенное решение системы. Тогда под
стью СЛАУ
а под
невязкой – вектор
есть точное решение СЛАУ
понимается вектор
, равный
xx
*
(2.1)
,
*
.rbAx
(2.2)
xb
, а вектор
*
погрешно-
–
Невязка (от англ. residual) – это количественная мера несоответствия
(расхождения) между правой и левой частью СЛАУ при подстановке в
систему численного приближенного решения. Между погрешностью и
невязкой существует простая взаимосвязь, вытекающая из очевидных
равенств
***
.r b Ax Ax Ax A x x A x
(2.3)
Поэтому из выражения (2.3) следует, что малость погрешности гарантирует малость невязки. Однако обратное утверждение будет неверным, т. е. из малости невязки не следует малость погрешности. Покажем
последнее утверждение на численном примере.
35
Пример. Малая невязка, но большая ошибка в решении СЛАУ.
Пусть имеется система [1, с. 67]
0,780 0,563 0, 217
0,457 0,330 0,127
x
1
x
2
(2.4)
.
Считая, что вычисления ведутся с точностью до трех значащих
цифр, получаем приближенное решение
*
x
*
x
x
1, 7 1
1
*
1, 98
2
,
которое сильно отличается от точного решения
x
x
x
1, 0 0
1
1, 0 0
2
.
При этом величина невязки достаточно мала:
0,00206
r
0,00107
Упражнение 2.1. Точно проверьте результаты вычислений
в рассмотренном примере.
.
Очевидно, что погрешность решения есть строгая мера оценки точности решения. Однако использование ее на практике не представляется
возможным, так как заранее точное решение СЛАУ не бывает известным (иначе, зачем ее решать?). В то же время для нахождения невязки
достаточно использовать только приближенное решение, что практически довольно удобно.
36
2.2. ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ КАЧЕСТВЕННОЕ ПОНЯТИЕ
О ЧИСЛЕ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ МАТРИЦЫ
Наряду с понятиями погрешности и невязки еще одним важным теоретическим элементом, характеризующим численные свойства СЛАУ,
является понятие о
числе обусловленности матрицы системы. Сначала
мы рассмотрим это понятие только на качественном уровне. Точное строгое математическое определение будет введено позже в разделах 2.3 и 2.4.
В пособии [2, разд. 2.3] уже рассматривалось общее определение
обусловленности, под которым понималась мера чувствительности решения модели к изменениям ее входных данных. Для моделей в форме
СЛАУ эта чувствительность связана с
ний, всегда имеющих место при вычислении компонентов матрицы
и вектора правой части
b
, на численное решение СЛАУ. Очевидно, что
влиянием различных возмуще-
A
модели и численные методы их решения, в которых возникает «эффект
бабочки» не подходят для практического применения, особенно в условиях приближенного характера компьютерных вычислений.
Как было установлено в пособии [2, разд. 2.3.1], для СЛАУ из двух
уравнений сверхчувствительность решения к вариациям входных данных определяется углом,
под которым две прямые пересекаются на
плоскости. Если угол пересечения достаточно велик, то малые вариации
(«шевеления») коэффициентов матрицы и компонент правой части приводят к малым изменениям в решении. Такие СЛАУ определялись как
хорошо обусловленные. Однако если угол пересечения мал, то малые из-
менения данных вызывают значительные изменения в решении и тогда
СЛАУ называется
плохо обусловленной. Очевидно, что эта простая гео-
метрическая мера непрерывной зависимости решения от вариаций исходных данных СЛАУ возможна только при
n = 2. Мера, которая будет
применима при произвольном количестве уравнений, как раз и определяется числом обусловленности матрицы
A.
Что можно предложить взамен геометрического критерия? Ответ на
этот вопрос связан с понятием «почти вырожденная» матрица. Если
вырожденная, то ее ранг меньше числа уравнений
вектора правой части
b
СЛАУ может либо не иметь решений вообще,
n и в зависимости от
A –
либо иметь множество решений. Поэтому следует ожидать, что если
матрица
A «близка» к вырожденной матрице, то в этом случае вариации
37
в исходных данных будут приводить к значительным изменениям в ре-
x
x
M
M
A
шении. С другой стороны, если матрица
рице, то очевидно, что малые изменения в
лым изменениям в решении
, так как в этом случае
A «близка» к единичной мат-
b
A и
будут приводить к ма-
почти равен
b
Термин «близка» в вычислительной линейной алгебре эквивалентен
понятию «число обусловленности» матрицы. На
число обусловленности
– это количественная мера близости матрицы A
к вырожденной матрице. Обозначается это число как cond(
зость» выражается через величину cond(
ленности, тем хуже матрица
A в вычислительном смысле, тем сильнее
A): чем больше число обуслов-
качественном уровне
A). «Бли-
она приближается по своим численным свойствам к вырожденной матрице. Особо следует отметить, что число cond(
матрицей
A и оно никак не связано с правой частью
A) целиком определяется
b
или с численным
методом решения СЛАУ.
В общем случае между понятиями «невязка», «погрешность решения» и «число обусловленности» можно установить следующие качественные взаимосвязи [1, с. 69–70]:
.
величина невязки
величина решения величина матрицы ,
величина ошибки
величина решения cond ,()
где
– это машинное эпсилон, подробно рассмотренное в пособии
A
M
(2.5)
A
(2.6)
[2, разд. 2.2].
Таким образом, из выражения (2.6) следует важный вывод, что
число обусловленности
cond ( )
можно интерпретировать как коэф-
фициент возможного возрастания погрешностей в решении СЛАУ, которые обусловливаются погрешностями во входных данных. Матрицы
с большими числами обусловленности дают большие ошибки при ре-
шении СЛАУ. Так, если
5
,()cond 10A
а
М
8
10 ,
то из приближе-
ния (2.6) следует невозможность получения решения лучшего, чем решение с тремя верными знаками.
38
Для того чтобы строго определить число обусловленности и другие
x
x
x
x
x
x
x
величины в оценках (2.5)–(2.6), придется рассмотреть (вспомнить) по-
n
нятия векторного пространства
нормы вектора и нормы матрицы,
,
которые уже рассматривались в курсе «Линейная алгебра».
2.3. ВЕКТОРНЫЕ НОРМЫ И ПЕРВОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ
( , , ..., )
Близость векторных элементов
n
странстве
мощью понятия
(или «расстояние» между векторами) вычисляется с по-
векторная норма, которое представляет собой неотри-
xx x
12
цательное действительное число, обозначаемое как
нию векторная норма должна удовлетворять трем аксиомам:
при
x
1)
2)
3)
0x
xy x y x y
00
0x
и
,
где
;
nn
;
(неравенство треугольника).
В общем случае для одного и того же вектора
шое число математических функций от
n переменных, которые могут
T
в векторном про-
n
. По определе-
существует боль-
соответствовать приведенным выше аксиомам. На практике чаще всего
используют следующие нормы:
евклидова длина вектора (норма
1/2
n
2
абсолютная норма (норма
1
2222
xxxx
in
1
i
,l или 1-норма)
1
n
xxx x
in
i
1
,l или 2-норма)
2
12
12
... ;
... ;
максимальная норма (норма
, или ∞-норма)
l
max
in
1
39
x
.
i
Упражнение 2.2 (*). Проверьте, что для этих трех функций
от
n переменных все три аксиомы нормы выполняются.
Выписанные выше три нормы являются частными случаями нормы
Гельдера
с натуральным показателем p (или нормы
1
n
xx xx xp
p
1
i
p
pp
in
pp
p
12
Упражнение 2.3. Будет ли векторной нормой функция
33 3
3
( , , ..., ) ...
fx x x x x x и почему?
12 1 2
nn
... , .
:)pl
(2.7)
Упражнение 2.4. Проверьте для двух векторов
(1, 1,1)y
и
Упражнение 2.5 (*). Покажите, что
Упражнение 2.6 (*). Докажите справедливость неравенств
xxx
T
выполнение следующих равенств:
;
5xy
2
21
7xy
1
;
.
4xy
lim max
p
xx
p
.
(1,2, 3)x
(0,3, 4)xy
in
1
T
T
;
.
i
Другим важным видом норм являются эллиптические (энергетиче-
) нормы, задаваемые с помощью симметричной положительно
ские
определенной матрицы
B выражением
xxBx
T
B
1/ 2
,
(2.8)
которое «аналогично выражениям для различных видов энергии в физических системах» [3, с. 389].
Упражнение 2.7. Докажите, что если матрица B есть единич-
ная матрица, то эллиптическая норма (2.8) будет равна евклидовой норме.
Упражнение 2.8. Докажите, что эллиптическая норма (2.8)
удовлетворяет всем трем аксиомам векторной нормы.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]