Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
1. Для заданной таблицы экспериментальных данных выберем набор
x
j
x
g
базисных функций
( ), ( ), ..., ( )
12
xx
n
в (1.9).
2. Рассчитаем матрицу Грама и правую часть СЛАУ (1.19) и соста-
вим нормальную систему для нахождения неизвестных коэффициентов
,,
CC в обобщенном полиноме (1.9).
1
n
3. Решим нормальную СЛАУ и найдем коэффициенты
,, .
CC
1
n
4. По найденным коэффициентам выпишем в явном виде обобщен-
ный полином (1.9).
При решении нормальной СЛАУ надо учитывать чувствительность
матрицы Грама к ошибкам округления. В широко распространенном методе исключений Гаусса впервые на это обратил внимание, наверное,
Жордан Вильгельм – немецкий геодезист и математик, в честь которого
модифицированный метод исключения назван как метод
Жордана–
Гаусса. При этом В. Жордана не следует путать с французским математиком Жорданом Мари.
Упражнение 1.10. Поясните, чем метод исключения Гаусса
отличается от метода Жордана–Гаусса.
На практике очень часто для аппроксимирующей гладкой функции
y = f(x) выбираются две базисные функции:
() 1, ()xxx . Тогда
12
обобщенный многочлен описывается линейной функцией вида
() ()yfx Px CCx. Нетрудно показать, что в этом случае нор-
112
мальная система уравнений (1.19) принимает вид
mm m
jj j
mm
mx y
jj
C
jj
11
11 1
1
C
2
2
xxy
jjj
.
(1.21)
Упражнение 1.11 (*). Точно получите СЛАУ (1.21) двумя
способами. Вначале постройте среднеквадратичную функцию
(),,
качества приближения
CC
12
найдите ее частные про-
изводные и получите нормальную систему уравнений (1.21).
Постройте матрицу Гессе и убедитесь, что тип экстремума –
21
минимум. Затем, используя матрицу Грама, постройте нормальную СЛАУ (1.19) и убедитесь в том, что она будет совпадать с системой (1.21).
Для надежного усвоения метода наименьших квадратов разберем
конкретный численный пример [1, с. 204–205]. Пусть с помощью квадратичной функции
у C С x
12
2
требуется описать таблицу экспери-
ментальных данных:
x
y
Рис. 1.5. Модель аппроксимации экспериментальных данных
квадратичным двучленом [1, с. 205]
Тогда базисные функции:
в этом случае имеет вид
1 2 3
1 1 2
() 1, ()xxx
12
(, ) (, )
11 12
(,)(, )
21 22
2
, а матрица Грама
11 11 11 11 1 4 19 3 14
11 41 91 11 44 99 14 98
22
(1.22)
и вектор правой части нормальной СЛАУ есть
x
x
x
yy
1
2
11 11 12 4
11 41 91 23
(1.23)
.
Отсюда решение нормальной СЛАУ (1.23) будет равно
С = 0,7142857; 2С = 0,1326531. Таким образом, искомой функцией,
1
которая наилучшим образом описывает экспериментальные данные
среди всех квадратичных двучленов, является полином y = f(x) =
0,1326531 0,7142857x
=
2
(рис. 1.5).
1.4. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ СЛАУ
Другим практически важным источником моделей в форме СЛАУ
являются конечно-разностные приближения непрерывных краевых задач, которые используются при их численном решении. В этом случае
исходная непрерывная задача проецируется тем или иным способом на
пространственную дискретную сетку. Как уже отмечалось в пособии
[3, гл. 1], в настоящее время для задач математической физики
при переходе к их компьютерным дискретным аналогам чаще всего используются метод конечных элементов, метод конечных объемов и метод
сеток.
В данном случае с целью упрощения изложения будет рассмотрен
только метод сеток. Его применение начнем с краевых задач в форме
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Постановка задачи выглядит следующим
образом. Пусть есть дифферен-
циальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет неиз-
[],.
вестная функция y(x), определенная на отрезке
точках отрезка
и
1
для функции y(x) заданы некие граничные
2
x В граничных
12
условия. Как уже рассматривалось в пособии [3, разд. 1.2.5], такие
условия могут быть трех типов: Дирихле, Неймана и смешанные. Там
же были рассмотрены примеры физических моделей, приводящие к задачам такого рода.
Метод сеток предполагает замену непрерывной области определения по пространственной переменной x на
дискретную сетку узлов
23
и замену всех непрерывных первых и вторых производных в модели
их конечно-разностными аналогами. Гладкая функция y(x) при этом
переходит в сеточную функцию, описываемую набором неизвестных
дискретных значений. В результате в каждом узле сетки значения сеточной функции оказываются связаны между собой линейными соотношениями, а это означает, что для нахождения этих значений необходимо решать СЛАУ (как правило, большой размерности), связанную
с этими узлами.
Пример. Простейшая двухточечная краевая задача для ОДУ
второго порядка.
Разберем описанную методику проецирования на
примере простейшей краевой задачи.
Пусть на интервале [0, 1] требуется найти решение y(x) дифференциального уравнения второго порядка
()ygx
, где правая часть урав-
нения g(x) задается известной гладкой функцией. На границах отрезка
выполняются условия Дирихле, т. е. в них значения y(x) известны:
(0) ,
yy
(1) .
yy
0
(1.24)
n
1
Очевидно, что данная учебная краевая задача легко решается аналитически путем последовательного интегрирования дифференциального
уравнения:
Понятно, что константы
ygxdxC
yx gxdx C dx C
() ,
() () .
и
C
1
1
12
легко находятся из краевых усло-
C
2
(1.25)
вий (1.24).
Упражнение 1.12. Найдите в (1.25) точные выражения для
и
констант
ческого окисления описывается рассмотренной краевой задачей.
C
1
Упражнение 1.13. Поясните, какая модель для процесса терми-
.C
2
24
Теперь для получения численного решения реализуем по описан-
x
x
x
f
f
ной выше методике процедуру проецирования непрерывной задачи
на дискретную сетку. В области моделирования [0, 1] введем равномерную сетку
где
сетки
и
0
hx x
– граничные узлы, а
1n
–.
Гладкая функция y(x) во внутренних узлах теперь пе-
1
ii
,,,
xx – внутренние узлы. Шаг
12
n
рейдет в сеточную функцию, описываемую набором дискретных значений
,,.
yy
1
n
Вторую производную
y
опишем дискретным аналогом в форме
разностного отношения. Для этого воспользуемся следующими разложениями в ряды Тейлора:
fx h fx hf x hf x hf x
( ) () () ()/2! ()/3!
23
( ) / 4! ( ) ( ) ( ) / 2
( ) / 6 ( ), ( );
fx h fx hf x hf x hf x Oh
( ) () () ()/2 ()/6 ( ).
42
hf fx hf x hf x
34
hf x Oh x x h
23 4
(1.26)
Складывая два последних уравнения, получаем, что
24
()()2() ()().
xh fxh fx hfx Oh
(1.27)
Отсюда легко находим искомое разностное отношение
()2()()
fx h fx fx h
() ( ).
xOh
h
2
25
2
(1.28)
Данная формула для второй производной имеет второй порядок ап-
f
проксимации по h. Отбрасывая эту бесконечно малую величину
окончательно имеем дискретный аналог в виде
()2()()
x h fx fx h
() .
fx
Упражнение 1.14. Используя разложения в ряды Тейлора,
докажите следующие приближения для первой производной:
1) правая разность (разность вперед)
2) левая разность (разность назад)
3) центральная разность
Упражнение 1.15 (*). Используя разложения в ряды Тейлора
и другие способы, докажите следующие приближения для пер-
вой производной повышенной точности:
h
ff
ii
f
i
2
f
i
ff
ii
f
i
11
2
Oh
h
(1.29)
ff
1
ii
h
2
().
Oh
();
();
h
1
Oh
(),Oh
2
1
(3 4 ) ( ),
f
f
f
i
ff f Oh
12
ii ii
2
h
1
(43)(),
fffOh
21
iiii
2
h
88
ffff
iiii
2112
12
h
2
2
().
Oh
4
Упражнение 1.16 (*). Используя разложения в ряды Тейлора
и другие способы, докажите следующее приближение для вто-
рой производной:
25 4
ff f f
123
ii i i
f
i
2
h
().
Oh
2
Замечание. При решении упражнений (1.14)–(1.16) рекомендуется использовать источник [2, с. 72–82].
26
Теперь для каждого внутреннего узла
x
i = 1, 2, ..., n, можно выпи-
,
i
сать уравнение, вычисляющее вторую производную в этом узле.
Узлы СЛАУ
2
2
2
2
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
2(),
yyyhgx
210 1
2(),
yyyhgx
321 2
..................................
yyyhgx
2(),
11
iii i
..................................
yyyhgx
2().
11
nnn n
Полученная СЛАУ, которая является проекцией непрерывной двухточечной краевой задачи на дискретную сетку, содержит n неизвестных
и состоит из n уравнений. В матричной форме ее можно записать так:
2
()
21 0 0 0 0 0
12100 00
01 210 00
001 21 00
00001 210
000001 21
0000001 2
y
1
y
2
y
3
y
4
y
n
2
y
n
1
y
n
hgx y
2
hgx
10
2
hgx
()
2
()
hgx
2
hgx
()
2
()
hgx
2
()
hgx
(
)
n
2
3
4
n
n
2
1
1
ny
(1.30)
.
Основные особенности этой матрицы системы состоят в следующем.
1. Большинство элементов матрицы, которые расположены вне
главной диагонали и двух смежных с ней диагоналях, равно нулю, т. е.
матрица системы сильно разряжена.
2. Матрица имеет трехдиагональную ленточную структуру, так как ее
ненулевые элементы расположены всего на трех диагоналях. Поэтому
27
для хранения элементов матрицы в памяти ПК достаточно хранить
только элементы из этих трех диагоналей.
3. Матрица обладает свойством диагонального преобладания, т. е.
сумма по модулю всех внедиагональных элементов вдоль одной строки
меньше (либо равна) самому диагональному элементу по модулю
aa
ij ii
ji
,
причем хотя бы одно из неравенств должно выполняться строго.
Как доказывается в различных руководствах по численным методам,
например [1, с. 412; 4, с. 17; 5, с. 80], определитель матрицы с диагональным преобладанием всегда не равен нулю, поэтому ранг системы
равен n и она всегда имеет решение.
Упражнение 1.17. Какой существует эффективный вычис-
лительный алгоритм решения СЛАУ (1.30) с трехдиагональной
матрицей?
Упражнение 1.18 (*). Рассмотрим пример модифицирован-
ной двухточечной краевой задачи. Пусть требуется найти глад-
кую функцию φ(
Ответьте на следующие вопросы.
1. Какие физические модели могут быть описаны такой кра-
евой задачей?
2. Найдите ее аналитическое решение.
3. Введя равномерную сетку с тремя внутренними узлами,
составьте СЛАУ для нахождения значений сеточной функции
и решите ее.
4. Поясните, чем эта СЛАУ будет отличаться от СЛАУ (1.30),
и будет ли для нее
дания.
5. Увеличив количество внутренних точек до пяти, вновь
найдите сеточную функцию.
x), удовлетворяющую условиям
2
d
2
dx
|1, |0.
xx
0, [0, 1],
01
x
выполняться условие диагонального преобла-
28
6. Сравните графически в среде Mathcad аналитическое
f
и численные решения и поясните, улучшается ли точность численного решения при уменьшении шага сетки.
Упражнение 1.19. По модели диффузии окислителя
в пленке
СЛАУ для получения численного решения этой задачи. Будет ли
в этом случае численный профиль распределения кислорода
описываться прямой линией?
Упражнение 1.20 (*). Предположим, что на правом конце от-
резка в учебной краевой задаче вместо условия Дирихле используется условие Неймана
после проекции непрерывной задачи на дискретную сетку?
которая описана в пособии [3, разд. 1.5], составьте
SiO ,
2
/.ddxq
Какая теперь получится СЛАУ
Пример. Двумерная конечно-разностная модель для уравнений
Пуассона и Лапласа.
В электрофизическом моделировании полупроводниковых приборов уравнения Пуассона и Лапласа отвечают за пространственное распределение по объему прибора электрического потенциала и напряженностей электростатических полей.
Теперь от одномерных задач прейдем к двумерным. Рассмотрим
в двумерной прямоугольной полупроводниковой области задачу численного нахождения функции распределения потенциала U(x, y), которая
удовлетворяет уравнению Пуассона внутри области, а на ее четырех
линейных границах принимает известные значения (условия Дирихле).
Заметим, что если материал области – диэлектрик, то вместо уравнения
Пуассона следует использовать уравнение Лапласа.
Математически данная непрерывная краевая задача состоит в том,
чтобы найти решение U(x, y), удовлетворяющее требованиям:
22
UU
22
xy
U
( , ), [0, ], [0, ],
xy x a y b
(, ) Г ,
xy
11
(, ) Г ,
xy
22
(, ) Г ,
xy
33
(, ) Г .
xy
44
29
(1.31)
Здесь a и b – геометрические параметры, задающие прямоугольную
x
область моделирования; f(x, y) – известная функция правой части урав-
нения Пуассона, которая равна нулю в случае уравнения Лапласа;
Г , Г , Г , Г – прямые линии границы, задающие прямоугольную об-
1234
ласть моделирования;
,,, – заданные на границах области
1234
значения потенциала.
Упражнение 1.21. Поясните, чему конкретно равна функция
f(x, y), если в прямоугольной области моделирования использо-
вался кремниевый материал.
Для поиска численного решения сформулированной задачи введем
в прямоугольной области равномерную дискретную сетку, содержащую
n узлов по переменной x и m узлов по переменной y (рис. 1.6).
Рис. 1.6. Схема проекции непрерывной краевой задачи Дирихле
для уравнения Пуассона на двумерную дискретную сетку
Каждый узел сетки теперь имеет двойной индекс
где i = 1, …, n,
,
ij
а j = 1, …, m. Понятно, что общее количество узлов равно (nm – 4),
а внутренних (n − 2)(m − 2). Неизвестная функция потенциала U(x, y)
также переходит в сеточную функцию с двойным индексом
.ijU
Проецирование частных производных второго порядка на сетку выполним по формуле (1.29) для каждой переменной x и y по отдельности.
При этом в дискретном аналоге производной по x будут использованы
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]