Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
Понятно, что метод простой итерации – это явный стационарный ме-
x
x
x
x
x
тод. Параметр τ можно использовать для регулирования скорости сходимости.
Упражнение 3.29. Получите формулу процесса простой
итерации (3.64) из канонической формы (3.65).
Сходимость итерационного процесса простой итерации определяется следующим утверждением, принимаемым без доказательства.
Метод простой итерации сходится при любом начальном прибли-
(0)
жении
гда, когда все собственные числа матрицы перехода
для СЛАУ с невырожденной матрицей А тогда и только то-
S
по модулю бу-
дут меньше единицы.
В терминах радиуса сходимости приведенное выше утверждение
можно переформулировать следующим образом.
Метод простой итерации сходится к единственному решению
СЛАУ с невырожденной матрицей системы при любом начальном при-
(0)
ближении
рицы перехода меньше единицы:
тогда и только тогда, когда спектральный радиус мат-
(1).S
В данных условиях отметим одну интересную особенность метода
простых итераций, состоящую в том, что задача вычисления предела
()
k
последовательности
lim
k
является очень хорошо обусловлен-
x
ной. Это следует из того, что предельный результат вообще не зависит
(0)
от начальных данных, а именно от выбора вектора
сам алгоритм вычисления приближений
()k
может быть численно
. Тем не менее
неустойчивым из-за его чувствительности к ошибкам округления
[7, с. 109].
Упражнение 3.30 (*). Методом простых итераций решите си-
стему уравнений
22,
xy
22
xy
111
с двумя различными начальными приближениями. Найдите
A
x
A
x
собственные числа матрицы системы, ее спектральный радиус
а также проверьте неравенство
(),А
для матрицы S согласована с векторной нормой.
() 1SS
, где норма
Для практического регулирования процесса сходимости путем подбора параметра τ > 0 в методе простой итерации можно использовать
следующее утверждение.
xb
Пусть матрица А СЛАУ
определенная матрица и
λ ,
min
есть симметричная и положительно
λ – ее минимальное и максимальное
max
собственные значения. Тогда метод простой итерации сходится для
(0)
любого начального приближения
и при
шая скорость сходимости достигается при
Упражнение 3.31. Почему параметр τ будет строго положи-
телен, если матрица системы A – симметричная и положительно
определенная?
02/λ наиболь-
опт max min
max
2/( ).
Если считать, что на каждом шаге итерационного процесса в ме-
,,...,
тоде простой итерации (3.64) параметр τ будет меняться:
12
k
то такое обобщение процесса простой итерации называется методом
Ричардсона [2, с. 537].
3.6.3. МЕТОД ЯКОБИ
Пусть у невырожденной матрицы A все числа на главной диагонали
не равны нулю. Рассмотрим i-е уравнение СЛАУ
... ... .
Деля каждое i-е уравнение на
11
( ... ) , 1, 2, ..., .
iii iijj
bax b ax i n
aa
ii ii
ax ax a x b (3.66)
11
iiiiinni
,iia перепишем СЛАУ в виде
11
ax
in n
ji
112
xb
:
(3.67)
В соответствии с формулой (3.61) построим итерационный процесс
x
x
x
k
xbainxk
iij
1
a
ii
ji
()(1)
, 1, 2, ..., , 0,1, 2, ...,
ikj
(3.68)
который называется методом Якоби в честь немецкого математика
XIX в. Г. К. Якоби.
Для того чтобы представить метод Якоби в матричной форме, раз-
A
ложим А на сумму трех матриц (рис. 3.5): D – диагональную,
нюю треугольную с нулевыми диагональными элементами и
– ниж-
A
– верх-
нюю треугольную матрицу также с нулевыми диагональными элементами.
Рис. 3.5. Матрица A как сумма трех матриц: A = A
+ D + A+
−
Тогда система (3.68) может быть записана в матрично-векторном
виде как
1
Db A AxSxf
,
(3.69)
Отсюда итерационный процесс Якоби
11
где
(), .SDAAfDb
принимает вид
(1) 1 () 1
kk
DAAx Db
.
(3.70)
Так как очевидно, что
то (3.70) можно представить
,AAAD
в другой форме:
( 1) 1 () 1 1 () 1
kk k
() ( ) .
DADx Db EDAx Db
(3.71)
113
f
B
A
Отсюда получаем, что матрица перехода S и вектор
соответ-
ственно равны:
11
?D
(3.72)
Упражнение 3.32. Если D – диагональная матрица, то чему
равна обратная матрица
(), .SEDAfDb
1
Итерационные процессы Якоби (3.70) и (3.71) легко получить из ка-
D , а 1
нонической формы (3.51), если принять, что
1k
, по-
k
нятно, что процесс Якоби – стационарный и неявный.
Упражнение 3.33. Получите процессы (3.70) или (3.71) из ка-
нонической формы (3.51).
Для исследования сходимости нужно найти спектральный радиус
матрицы перехода S, которая имеет следующий общий вид:
0/ /
/0 /
aa aa
21 22 2 22
S
// 0
aa a a
12
nnnn nn
aa aa
12 11 1 11
n
n
.
(3.73)
Однако сложность решения этой задачи эквивалентна построению
самого итерационного процесса Якоби, и поэтому непрактично искать
спектральный радиус матрицы S.
На практике удобнее использовать достаточный признак сходимости процесса Якоби.
Если в системе линейных алгебраических уравнений
xb
квадратная матрица А имеет строгое диагональное преобладание, то метод
Якоби для решения этой системы сходится при любом начальном приближении.
114
Пример. Итерационный процесс Якоби [10, с. 451]. Пусть нужно
найти решение СЛАУ четвертого порядка
10 2 6,
xx x
12 3
11 3 25,
xxxx
1234
210 11,
xx x x
12 34
3815.
xx x
23 4
Эта система имеет точное решение
(1, 2, 1, 1)x
(3.74)
T
. Итерационный
процесс Якоби для этой СЛАУ имеет вид
xx x
xx x x
xx x x
xxx
Начнем поиск решения с начальным вектором
113
() ( 1) ( 1)
kk k
123
() (1) (1) (1)
kk k k
21 3 4
() (1) (1) (1)
kk k k
31 2 4
() ( 1) ( 1)
kkk
423
,
10 5 5
11325
11 11 11 11
11 111
5101010
3115
.
88 8
(0) T
,
,
(0,0,0,0)x
. Бу-
дем выполнять итерации до тех пор, пока не выполнится условие сходимости
() ( 1)
kk
xx
x
()
k
10 .
3
Результаты вычислений запишем в табл. 3.9.
Процесс заканчивается на 10-й итерации, так как выполняется нера-
венство
(10 ) (9 )
xx
(10 )
x
8, 0 10
115
1, 9998
4
3
10 .
Таблица 3.9
x
x
x
x
Итерационный процесс Якоби для системы (3.74)
k
()1k
()2k
()3k
()4k
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,6000 2,2727 −1,1000 1,8750
2 1,0473 1,7159 −0,8052 0,8852
3 0,9326 2,0533 −1,0493 1,1309
4 1,0152 1,9537 −0,9681 0,9739
5 0,9890 2,0114 −1,0103 1,0214
6 1,0032 1,9922 −0,9945 0,9944
7 0,9981 2,0023 −1,0020 1,0036
8 1,0006 1,9987 −0,9990 0,9989
9 0,9997 2,0005 −1,0004 1,0006
10 1,0001 1,9998 −0,9998 0,9998
Упражнение 3.34 (*). Методом Якоби с погрешностью ε = 10
−2
решите систему уравнений
22,
xy
22
xy
с двумя различными начальными приближениями. Выполняется ли для данной СЛАУ достаточный признак сходимости
процесса Якоби?
3.6.4. МЕТОД ГАУССА–ЗЕЙДЕЛЯ
Метод Гаусса–Зейделя получается на основе модификации метода
Якоби путем использования следующей идеи. Так как новые компо-
(1)k
x
ненты вектора
вычисляются последовательно, то для ускорения
сходимости итерационного процесса решения СЛАУ естественно
116
x
(1)k
ожидать, что уже вычисленные компоненты вектора
ближе к искомому решению, чем те же компоненты вектора
x
находятся
(),k
и по-
этому немедленное включение вычисленных компонент должно приводить к ускорению сходимости процесса.
Эта идея была вначале сформулирована устно Гауссом, а затем
в 1874 г. была вновь представлена Зейделем в печатном виде.
Формализуем эту идею в виде уравнений. Пусть в методе Якоби
(1)k
надо вычислить на k-м шаге i-ю
менту компоненты вектора
x
компоненту вектора
(1)k
с номерами 1, 2, …, i − 1 уже из-
x
. К этому мо-
i
вестны. Тогда вместо формулы Якоби
1
k
iiij
a
i
i
j
i
()(1)
k
xxba
j
применим модифицированную формулу Гаусса–Зейделя
in
k
(1)
xaxba
iiij i
1
a
ii
1
k
(
jji
11
1) ( )
нjовые та ыkе
ср
.
x
j
j
(3.75)
Пример. Итерационный процесс Гаусса–Зейделя для системы из
двух уравнений.
Пусть нужно найти решение методом Гаусса–Зейделя
для СЛАУ
ax ay b
11 12 1
ax ay b
21 22 2
,
0, 0.
aa
11 22
,
Тогда на основании (3.75) будем иметь итерационный процесс:
(1) ()
kk
xbay
(1) (1)
kk
ybax
1
112
a
11
1
221
a
22
,
.
117
Упражнение 3.35. Запишите итерационный процесс Гаусса–
Зейделя для СЛАУ, состоящей из трех уравнений.
Пример. Итерационный процесс Гаусса–Зейделя для системы из
четырех уравнений [10, c. 455].
Вновь рассмотрим СЛАУ из четырех
уравнений
10 2 6,
xx x
12 3
11 3 25,
xxxx
1234
210 11,
xx x x
12 34
3815.
xx x
23 4
(3.76)
Запишем для нее итерационный процесс Гаусса–Зейделя
113
() ( 1) ( 1)
kk k
xx x
123
() () ( 1) ( 1)
kkk k
xxx x
213 4
k kkk
() () () ( 1)
x xxx
3124
kkk
() () ()
xxx
423
,
10 5 5
11 3 25
11 11 11 11
11 1 11
51010 10
3115
.
88 8
,
,
Как и в методе Якоби, начнем итерационный процесс с нулевого
вектора
(0,0,0,0)x
и будем выполнять его до тех пор, пока пока
(0) T
невыполнится следующее условие:
() ( 1)
kk
xx
x
()
k
3
10 .
Результаты вычислений также запишем в табл. 3.10.
Теперь для сходимости потребовалось всего пять итераций, так как
(5) (4)
xx
(5)
x
118
8,0 10
2,0000
4
3
10 .
Таблица 3.10
x
x
x
x
x
x
D
B
Итерационный процесс Гаусса–Зейделя для системы (3.76)
()
k
k
1
()
2
k
()
3
k
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,6000 2,3273 −0,9873 0,8789
2 1,0302 2,0369 −1,0145 0,9843
3 1,0066 2,0036 −1,0025 0,9984
4 1,0009 2,0003 −1,0003 0,9999
5 1,0001 2,0000 −1,0000 1,0000
Векторно-матричный вариант (3.75) запишется как
(1) 1 (1) () 1
kkk
DAx Ax Db
.
(3.77)
Приводя подобные члены и умножая слева обе части на матрицу D,
получаем цепочку равенств
(1) 1 (1) 1 () 1
kk k
DAx DAx Db
Dx A x A x b
(1) (1) ()
kk k
,
.
(3.78)
Тогда ясно, что
(1) ()
kk
DAx Ax b
.
(3.79)
()
k
4
Отметим, что так как матрица
– это нижняя треугольная
A
матрица, то при выполнении итерационного процесса не требуется искать для этой матрицы обратную.
Понятно, что для записи канонической формы (3.51) итерационного
процесса Гаусса–Зейделя надо принять, что
DA
1k
, а
k
1
. От-
сюда следует что, как и метод Якоби, метод Гаусса–Зейделя – это стационарный неявный процесс.
Упражнение 3.36. Получите процесс (3.79) из канонической
формы (3.51).
119
Матрица перехода S на основании (3.79) имеет сложный вид
x
A
A
11
, .SDAAfDAb
(3.80)
Из общей теории сходимости итерационных процессов для СЛАУ
следует, что для того, чтобы процесс Гаусса–Зейделя сходился при лю-
бом выборе начального приближения
(0)
необходимо и достаточно,
,
чтобы спектральный радиус матрицы перехода S был меньше единицы:
1
() ( ) 1.SDAA
(3.81)
Однако этот результат имеет только теоретическое значение в силу
сложности вычисления такого спектрального радиуса.
Для практических применений лучше всего руководствоваться достаточным признаком, аналогичным достаточному признаку метода
Якоби.
xb
Если в системе линейных алгебраических уравнений
квад-
ратная матрица А имеет строгое диагональное преобладание, то метод
Гаусса–Зейделя для решения этой системы сходится при любом
начальном приближении.
Существует и другой полезный достаточный признак сходимости
метода Гаусса–Зейделя.
Если матрица А в системе линейных алгебраических уравнений
xb
– это квадратная, симметричная и положительно определенная
матрица, то метод Гаусса–Зейделя для решения этой системы сходится
при любом начальном приближении.
Упражнение 3.37. Проверьте, какой достаточный признак
сходимости выполняется для СЛАУ
22,
xy
xy
22.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]