Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
Упражнение 2.9. Докажите, что для любой симметричной
y
x
положительно определенной матрицы B величина скалярного
произведения векторов
T
,.xBy Bxy
и
x
может быть определена как
Наглядное геометрическое представление о нормах можно получить
путем изображения на плоскости
описывается как множество точек
нию
(рис. 2.1).
1x
Рис. 2.1. Геометрическое описание на плоскости в различных
векторных нормах точек единичной сферы
Упражнение 2.10. Математически строго обоснуйте рис. 2.1.
2
границ единичной сферы, которая
(),,
x удовлетворяющих уравне-
12
На первый взгляд может показаться, что такое разнообразие векторных норм может порождать некую путаницу в описаниях математических свойств СЛАУ и в математических теоремах в том смысле, что
в одних нормах эти свойства и теоремы могут выполняться, а в других –
нет. Однако на самом деле это не так, поскольку все
n
в
эквивалентны друг другу в силу того, что для любых двух норм
векторные нормы
всегда можно доказать существование положительных вещественных
с
констант
(
соотношения эквивалентности):
и с2, которые обеспечивают неравенства эквивалентности
1
cx x cx (2.9)
12
III I
Утверждение (2.9) называется еще
теоремой об эквивалентности
.
норм в конечномерных пространствах.
Геометрически на плоскости соотношение эквивалентности можно
проиллюстрировать рис. 2.2.
41
Рис. 2.2. Геометрическое обоснование
x
x
x
x
x
x
x
x
x
эквивалентности векторных норм:
а – норма l
; б – норма l2; в, г – норма l∞
1
В частности, например, если имеется какая-то последовательность
n
векторов из
к вектору
k
при
последовательность
можно определить как выполнение свойства
. При этом будут эквивалентны следующие утверждения:
норме;
последовательность
все компоненты векторов последовательности
к соответствующим компонентам вектора
при
k
, i = 1, 2, …, n, т. е. сходимость по норме эквивалентна по-
то понятие сходимости этой последовательности
,
k
k
сходится к
k
сходится к
в некоторой векторной
в любой векторной норме;
, другими словами
k
xx
k
сходятся
компонентной сходимости.
Упражнение 2.11 (*). Докажите, что вторая и первая нормы
эквивалентны, т. е. для них выполняется соотношение эквива-
лентности:
xx nxx
12 1
42
.
n
0
x
,ik i
Векторные нормы позволяют строго определить число обусловлен-
A
x
M
M
M
A
ности
бую квадратную матрицу
тор
Теперь для произвольного ненулевого вектора
невырожденной квадратной матрицы порядка
cond ( .)
:
A
Делается это следующим образом. Очевидно, что лю-
nn
и его образ
А можно рассматривать как линейный опера-
Ax y
n
, т. е. это n-мерный вектор.
n
x
и произвольной
n рассмотрим отношение
норм двух векторов
Так как вектор
мальное
M и минимальное m значения:
Ax
x
ненулевой, то у дроби (2.10) существуют макси-
Ax Ax
max max , min min .
xx
x
0
Ax m Ax
1
x
x
, 0.
(2.10)
0
x
1
x
(2.11)
Тогда за число обусловленности (
condition number) матрицы A при-
мем значение дроби
Am
Эта величина и будет у нас называться
обусловленности матрицы A через векторные нормы
cond ( ) .
(2.12)
первым определением числа
.
Впервые понятие числа обусловленности в вычислительную математику было введено Тьюрингом в 1948 г.
Теперь можно в строгой форме записать оценку (2.6) для относительной погрешности, по которой можно будет судить о том, насколько
точно найдено приближенное решение СЛАУ:
*
xx
x
cond ( ) .
Некоторые основные свойства числа обусловленности
(2.13)
A
cond ( )
легко получаются на основе его определения:
43
cond ( )
A
E
E
A
A
A
A
если A = E (единичной матрице), то
если A = D (диагональной матрице), то
≥ 1, так как M ≥ m;
xx
и
cond( )
= 1;
cond ( )D
если A умножается на действительный скаляр λ, то M и m умно-
жаются на скаляр λ, поэтому
Упражнение 2.12. Пусть матрица A – диагональная вида
Покажите, что M = 3, m = 1,
Упражнение 2.13. Покажите, что для квадратной невырож-
денной матрицы перестановка в ней любых строк или столбцов
не изменяет число обусловленности.
= max min ;|| ||
cond cond .() ()
A
dd
ii ii
100
020.
003
cond( )A
= 3.
A
В любых математических вычислительных средах в разделе линейной алгебры всегда есть встроенные функции для вычисления чисел
обусловленности в различных нормах. Например, в Mathcad – это функ-
cond1( )
ции
для нормы
Упражнение 2.14. Пусть даны две квадратные матрицы A
и B:
– для нормы
l
.
cond2( )
,l
1
– для нормы
condi( )
,l
2
–
12 1 2
AB
,.
34 36,01
Используя три первые нормы в среде Mathcad, докажите, что матрица
A хорошо обусловлена, а матрица B – обусловлена плохо. Пояс-
ните, в чем заключается причина плохой обусловленности матрицы
B.
44
2.4. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
A
A
A
A
A
ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ
Множество вещественных матриц
рассматривать как линейное векторное пространство размерности
размером n × n можно
{}
a
ij
2
Поэтому для измерения «расстояния» между матрицами в нем, аналогично векторным нормам, можно ввести в рассмотрение матричную
норму
По определению
.
матричная норма – это числовая функция, которая
должна удовлетворять следующим аксиомам:
1)
2)
AB A B A B
3)
при
0A
A
A
{0 }
ij
, где
{0 } 0ij
и
;
nn nn
;
(неравенство треуголь-
ника).
На практике наиболее употребительны следующие нормы:
первая норма (столбцовая норма, или 1-норма)
n
max ;
бесконечная норма (строчная норма, или ∞-норма)
1
jn
1
max ;
1
in
a
ij
i
1
n
a
j
1
(2.14)
(2.15)
ij
.n
Очевидно, что эти матричные нормы легко вычисляются.
Упражнение 2.15. Проверьте, что для этих двух норм все три
аксиомы матричной нормы строго выполняются.
К другим, более сложно вычисляемым, матричным нормам относятся:
спектральная норма (норма Гильберта, или 2-норма)
12 1/2
AAAAA
max max ( ) max ( ) ,
2
1 1 1
ii i
in in in
TT
45
(2.16)
T
A
E
A
M
x
A
()
где
ные из которых принято называть
рицы
к виду
матрицы
A
i
– собственные значения матрицы
сингулярными числами
A. Если A – симметричная матрица, то формула (2.16) сводится
AA
max ( )
, где теперь i – собственные значения
2
1
in
i
A;
сферическая норма (норма Фробениуса, или евклидова норма)
T
корни квадрат-
,AA
мат-
i
1/ 2
2
ij
(2.17)
AA a
nn
ii
11
Можно показать, что всегда
nn
FE
TT
() ().
AA AA
ii
11
ij
1/2 1/2
A , поэтому евклидову норму
2
можно использовать для оценки сверху сложно вычисляемой нормы
Гильберта.
Упражнение 2.16. Покажите, что для матрицы
12
A
03
имеют место следующие равенства:
,
15A
23, 650A
,
, 14
3A
A .
E
Все введенные выше матричные нормы являются эквивалентными
в смысле (2.9).
Матричная норма
мой
, если выполняется неравенство
V
A называется согласованной с векторной нор-
xAxAx
VV
M
, .
(2.18)
46
Всякая матричная норма является согласованной с какой-либо век-
x
A
x
A
торной нормой. Так, если задана векторная норма
, то математиче-
V
ская функция
Ax
max max
x
V
x
0
x
V
Ax
(2.19)
V
1
V
есть матричная норма и называется
чиненной векторной норме
операторной нормой матрицы, под-
.
V
Отметим, что последнее равенство в (2.19) получается на основании
простых соотношений
Ax
AAx
max max
x
max max ,
x
0
V
xx
0
x
AAy
x
x
0
VV
V
y
V
V
1
1
V
(2.20)
V
поэтому два выражения в (2.19) математически эквивалентны.
Спектральная, 1- и ∞-матричные нормы являются подчиненными
по отношению соответственно к евклидовой, 1- и ∞-норме векторов,
а значит, и согласованы с ними.
Из (2.19) следует важное свойство нормы матрицы, а именно:
λ
если
– какое-либо собственное значение матрицы А, то верно нера-
i
венство
i
(2.21)
.
Таким образом, любая матричная норма дает оценку сверху для всех
собственных значений матрицы.
Упражнение 2.17 (*). Строго докажите неравенство (2.21).
Упражнение 2.18. Для матрицы из упражнения 2.16 чис-
ленно проверьте выполнение неравенства (2.21).
47
Геометрически матричную норму на основании (2.19) можно пред-
A
A
ставить как максимальный коэффициент растяжения при преобразова-
нии
yAx
, которое действует на векторы единичной сферы
Случай для векторной нормы
Рис. 2.3. Норма матрицы как коэффициент растяжения при линейном преобразовании векторов единичной сферы, построенной
в векторной норме l
l
показан на рис. 2.3.
2
2
1x
Используя понятие матричной нормы, можно теперь ввести второе
определение числа обусловленности для любой невырожденной матрицы
A как числовое равенство
1
cond ( ) .AAA
(2.22)
.
Это равенство мы будем называть
словленности матрицы через матричные нормы.
вторым определением числа обу-
Причины, определившие такое выражение, будут установлены ниже в следующем разделе.
Отметим, что если
cond ( )
= ∞.
A – вырожденная матрица, то по определению
Можно строго доказать, что второе определение (2.22) и первое
определение (2.12) математически эквивалентны друг другу (см., например [4]).
С вычислительной точки зрения определение (2.22) несколько
проще использовать на практике, чем (2.12). Это связано с тем, что
в спектральной норме
l для симметричной матрицы
2
()
AA
T
ее
норма, как уже отмечалось выше, равна
48
A
A
A
A
x
A
AA
max ( ) ,
(2.23)
2
1
in
i
где
– собственные значения матрицы A. Норма обратной матрицы 1A
i
в этом случае также находится через собственные значения симметричной матрицы A, поэтому здесь не требуется вычислять точно обратную
матрицу
A
Тогда очевидно, что в норме
1
2
1
min ( )
in
1
l для симметричной матрицы A ее
2
.
(2.24)
i
число обусловленности равно
max ( )
1
cond ( ) .
AA A
2
1
2
1
min ( )
in
in
i
(2.25)
i
Если исходная матрица A несимметрична, то в (2.25) надо использовать сингулярные числа матрицы A, т. е. искать собственные значения
матрицы
T
AA и извлекать из них квадратный корень. Тогда
max
cond ) .A
(2.26)
min
Геометрический смысл числа обусловленности
вится весьма наглядным на плоскости
(, )
ничной сферы
ности
xx
12
22
12
T
выбрать евклидову норму. Тогда координаты вектора еди-
1x
удовлетворяют уравнению единичной окруж-
2
1xx
, а линейное преобразование, определяемое матрицей
2
если за норму для вектора
,
A, переводит эту окружность в эллипс. Поэтому число
cond ( )
cond ( )
стано-
в соот-
ветствии с (2.26) есть отношение большой полуоси эллипса к малой
(рис. 2.4).
49
A
A
A
Рис. 2.4. Геометрический смысл числа обусловленности
Из оценок (2.25) и (2.26) следует, что чем больше разброс собственных значений (или сингулярных чисел) матрицы А, то тем хуже обусловленность матрицы. Поэтому в общем случае с ростом размерности
матрицы всегда имеет место тенденция к ухудшению ее обусловленности.
12
Упражнение 2.19. Для матрицы
обусловленности
ме
,l а также по нормам 1l и .l
2
cond( ),A
вычисленное по спектральной нор-
A
34
найдите число
Заметим, что в общем случае нахождение числа обусловленности
для невырожденной матрицы A – довольно трудоемкая вычислительная
1
.
задача, так как в ней надо вначале найти обратную матрицу
в столбцовых метриках
считать нормы
l или строчных ,l
1
и
1A
. Использование евклидовой нормы, а тем
как самых простых, рас-
Затем
более, спектральной нормы Гильберта еще сильнее усложняет вычисление
cond ( ,)
хотя в последнем случае нахождение обратной матрицы
не требуется.
Несмотря на отмеченные трудности, число обусловленности играет
существенную роль в задачах вычислительной линейной алгебры,
особенно при оценке решений СЛАУ. Так, с помощью понятия числа
обусловленности можно совершенно точно судить о том, насколько
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]