Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
вида
j
x
Px yi m
ni i
( ) , 1,..., .
В результате получается СЛАУ относи-
тельно неизвестных коэффициентов полинома
axa xay
011 1 1
axa xa y
021 2 2
..................................
axa xa y
01
mmnm
n
... ,
... ,
... ,
n
n
n
n
(1.3)
или в матричной форме
1 ...
xxay
1101
1 ...
xxay
2212
1 ...
xxay
mmnm
n
n
n
.
(1.4)
Определитель матрицы системы (1.4) – это хорошо известный определитель Вандермонда, который, как доказывается в курсе «Линейная
алгебра», равен произведению
(),
x
ijm
1
(1.5)
i
и очевидно, что он не равен нулю, если узлы интерполяции попарно отличаются друг от друга. Поэтому СЛАУ (1.4) всегда имеет решение,
и оно единственное. Здесь следует заметить, что вычисление на компьютере определителя Вандермонда – это плохо обусловленная задача, так как алгоритм его вычисления очень чувствителен к ошибкам
округления.
Упражнение 1.1. Поясните, чему точно равняется определи-
тель Вандермонда для матрицы 3 × 3, и приведите численный
пример его вычисления.
Для лучшего усвоения материала разберем интерполяционную модель на конкретном численном примере. Пусть в ходе измерений была
получена следующая таблица данных:
11
x 1 2 3
y 0 −1 2
Так как число экспериментальных точек m равно трем, то для интер-
поляции будем использовать полином второй степени
() ,Px A Bx Cx
2
2
(1.6)
где A, B, C – неизвестные коэффициенты параболы. Для их нахождения
составим СЛАУ
111 0
124 1
139 2
A
B
(1.7)
C
и найдем, что A = 5, B = −7, C = 2. Тогда искомая зависимость имеет вид:
() 2 7 5.yPx x x
2
Упражнение 1.2. Прямыми вычислениями проверьте, что
условия интерполяции (1.1) здесь выполняются.
Упражнение 1.3 (*). Поясните, какой альтернативный метод
к методу неопределенных коэффициентов предложил Лагранж.
Для разобранного численного примера постройте интерполя-
ционный полином по методу Лагранжа.
2
При полиномиальной интерполяции естественно возникает вопрос
о том, как связаны между собой степень полинома и точность приближения какой-либо гладкой функции. Будет ли с ростом степени полинома расти точность приближения во всех точках интервала наблюдения? На первый взгляд кажется, что ответ – да: чем больше точек, тем
ближе полином
будет к интерполируемой функции. Ведь в курсе математического анализа доказывается теорема существования Вейерштрасса, согласно которой для любой непрерывной функции существует свой полином, описывающий эту функцию с любой наперед заданной точностью.
12
Однако вычислительная практика конструктивно показывает, что
x
интерполирующий полином высокой степени ведет себя очень плохо
в точках, отличающихся от узловых. Поэтому применение в математическом моделировании интерполяционных полиномов высокой степени – это очень плохая идея!
Впервые эффект возникновения нежелательных осцилляций при полиномиальной интерполяции с высокими степенями полиномов обнаружил в 1901 г
. К. Рунге. В вычислительной математике этот эффект при-
нято называть феноменом Рунге (или эффектом Рунге).
В своем анализе Рунге исследовал полиномиальную интерполяцию
на интервале [−1, 1] на равномерной сетке для простой гладкой функции
R(x), получившей название функции Рунге:
Рис. 1.2. Полиномиальная интерполяция функции Рунге
() .
Rx
(эффект Рунге)
125
1
(1.8)
2
13
Он обнаружил, что с ростом степени интерполирующего полинома
x
f
к бесконечности на интервалах 0,726…
тельные осцилляции и полином
x < 1 возникают значи-
)(nPx не сходится к функции R(x).
При этом в средней части интервала сходимость имеет место. Графически это явление показано на рис. 1.2.
Упражнение 1.4 (*). В среде Mathcad повторите моделирова-
ние эффекта Рунге в соответствии с рис. 1.2.
1.2. ОБОБЩЕННАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ
В такой модели интерполирующая функция y = f(x) строится на основе обобщенного полинома, который представляет собой линейную
комбинацию из известных базисных функций
n
() (),
xCx
,,
CC – неизвестные коэффициенты.
где
1
n
ii
i
1
(), (), ..., ()
12
(1.9)
xx :
n
В качестве базисных могут быть использованы различные функции:
тригонометрические:
sin , cos , sin 2 , cos 2 , ;() () ( ) ( )xx x x
экспоненциальные:
алгебраические:
Для нахождения неизвестных
exp , exp , exp , exp , ;() () () ()xxxx
1234
23
1, , , ,xx x
и т. д.
,, ,
CC как и в предыдущем слу-
1
n
чае, следует применить метод неопределенных коэффициентов с использованием условий интерполяции. Для этого надо составить СЛАУ,
аналогичную (1.3), и найти ее решение.
Упражнение 1.5. Выпишите в явном виде СЛАУ, получаю-
щуюся на основе обобщенного полинома.
14
1.3. МОДЕЛЬ АППРОКСИМАЦИИ (СГЛАЖИВАНИЯ)
j
j
j
f
f
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
И МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
До сих пор были рассмотрены случаи, в которых количество узлов
сетки точно равнялось количеству неизвестных в модели. Теперь рассмотрим более общую ситуацию, когда количество экспериментальных
точек m больше количества базисных функций n в обобщенном полиноме (1.9). Кроме того, будем считать, что имеются погрешности измерений и в экспериментальных узлах выполняются
yf j m
jjj
, 1, ...,
, где
– шум в измерениях, а
соотношения
и
y
– изме-
ренные значения и неизвестные точные значения. Сразу заметим, что
наличие измерительных шумов делает задачу интерполяции по сути
бессмысленной.
Условие m > n означает, что количество уравнений m в СЛАУ, полученной методом неопределенных коэффициентов, превышает количество неизвестных коэффициентов в обобщенном полиноме (1.9) и поэтому такая система будет переопределенной:
()... ()
xx
11 1
........................... ... ... .
()... ()
xx
1
mnm
n
mn
Cy
11
Cy
nm
(1.10)
Чтобы найти ее решение, придется ослабить требования по условиям интерполяции (1.1) и считать, что теперь они выполняются не
точно, а приближенно
xyj m
jj
( ) , 1, ..., ,
(1.11)
и функция f(x) в этом случае не должна точно проходить через экспериментальные точки (рис. 1.3), а это означает, что задача интерполяции
переходит в задачу аппроксимации.
По определению, модель аппроксимации экспериментальных данных состоит в том, чтобы по известным данным построить хорошую
гладкую функцию y = f(x), которая проходит вблизи
ных точек и описывает их в среднем по всему интервалу наблюдения
15
эксперименталь-
Рис. 1.3. Геометрический смысл модели аппроксимации
(сглаживания) экспериментальных данных
наилучшим образом в смысле какого-то
критерия качества. Так как искомая
функция должна быть достаточно гладкой, то эта задача называется еще задачей сглаживания.
Центральным вопросом при построении модели аппроксимации является вопрос о выборе критерия качества приближения. Вычислительная математика дает
несколько таких способов приближения
экспериментальных данных, которые
выполняются не в каждой экспериментальной точке, а в среднем по всему интервалу наблюдения. Самый эффективный
К. Ф. Гаусс
(1777–1855)
из них получил название метод наимень-
ших квадратов (least squares approxima-
tion), или в сокращенной записи МНК.
Этот метод впервые был предложен великим математиком К. Гауссом
в далеком 1795 г. и до сих пор остается основным
методом в задаче
аппроксимации экспериментальных данных, что прекрасно подтверждается столь длительной практикой его применения.
16
Упражнение 1.6. Поясните, при решении какой практиче-
j
ской задачи К. Гаусс предложил использовать МНК.
Математическая суть метода заключена в его названии. В качестве
критерия качества аппроксимации в нем используется среднеквадратичное приближение в виде наименьшей суммы квадратов отклонений
между экспериментальными значениями
и теоретическими значени-
y
ями, описываемыми обобщенным полиномом (1.9). Формально этот
критерий строится следующим образом. Вначале в каждой экспериментальной точке j вычисляется отклонение экспериментального значения
от теоретического (рис. 1.4):
()
yfx
jj j
n
yCxj m
jiij
i
( ) , 1, 2, ..., .
1
(1.12)
Рис. 1.4. Геометрические отклонения в узлах между
экспериментальными и теоретическими значениями
2
Затем рассчитываются квадраты этих отклонений
,j
дающие
в сумме по всем точкам искомую величину критерия качества Δ среднеквадратичного приближения (дисперсию), которую для окончательного
17
определения коэффициентов обобщенного полинома
x
x
ходимо минимизировать:
,,
CC
1
необ-
n
mmn
2
( , , ..., ) ( ) min .
jji
gC C C y C x
jnjiij
111
12
2
(1.13)
Очевидно, что Δ есть действительная функция g от n действительных переменных
,, .
CC
1
Как известно из курса математического
n
анализа, для нахождения ее экстремума необходимо, в соответствии
с критерием Лагранжа, найти все частные производные и приравнять их
нулю:
0, 1, ..., .
C
k
kn
(1.14)
Тогда прямые вычисления частных производных приведут к следующей системе из n уравнений:
()
2
(1.15)
mn
mn
( 2) ( ) ( ) 0, 1,..., .
ji
11
CC
ji
kk
yCx x k n
jiijkj
yCx
11
jiij
Дальнейшие упрощения (1.15) дают
mn
ji
11
( ) ( ) 0, 1, ..., .
kj iij j
Cx y k n
(1.16)
Раскрывая скобки, меняя порядок суммирования и перебрасывая
вторую сумму в правую часть, получаем
nm m
11 1
ij j
( ) ( ) ( ) , 1, ..., .
ij kj i kj j
xC xyk n
18
(1.17)
Если ввести специальные обозначения, аналогичные скалярному
g
произведению векторов:
m
() ()(, ),
xx
ijkj ik
j
1
m
() ( ,),
xy y
kj j k
j
1
(1.18)
то СЛАУ (1.17) можно записать в компактной форме
(, )(, ) (, )
11 1 2 1
(,)(, ) (, )
21 22 2 2 2
............................................
(,)(, ) (, )
nn nn
12
n
n
11
Cy
Cy
nn
Cy
(,)
(,)
(,)
.
(1.19)
Таким образом, решение переопределенной системы (1.10) перешло
по методу наименьших квадратов в решение СЛАУ с квадратной матрицей. Эта матрица называется матрицей Грама, а система (1.19) – нор-
мальной.
Матрица Грама обладает рядом замечательных свойств:
она симметрична;
она положительно определена;
поэтому, как показывается в линейной алгебре, ее определитель отличен
от нуля и нормальная система (1.19) всегда имеет единственное решение для любой правой части.
Упражнение 1.7. Дайте точное определение положительно
определенной матрицы и опишите критерии, с помощью кото-
рых можно установить у матрицы данное свойство. Приведите
численные примеры положительно определенных матриц раз-
мером 3 × 3.
Отсюда следует, что минимизируемая функция
( , , ..., )
CC C
12
n
имеет единственную точку экстремума (стационарную точку). Чтобы
точно определить тип экстремума функции g (минимум или максимум),
надо применить известное из математического анализа достаточное
19
условие экстремума функции многих переменных, которое основыва-
g
ется на информации о матрице вторых производных этой функции –
матрице Гессе. Для того чтобы тип экстремума был «минимум», достаточно, чтобы квадратичная форма, порождаемая матрицей Гессе, была
положительно определенной.
Упражнение 1.8. Поясните, что такое положительно опреде-
ленная квадратичная форма и как она связана с какой-либо мат-
рицей A. Приведите численный пример этой взаимосвязи.
Для нашей функции g матрица Гессе имеет вид
22 2
gg g
C
Hg
() .
CC CC
21 2
.........................................
CC CC
nn
2
CC CC
1
22 2
gg g
22 2
gg g
12 1
C
12
n
2
2
(1.20)
n
2
C
n
Так как функция g – гладкая, то матрица H(g) получается симметричной, а для того чтобы квадратичная форма, связанная с H(g), была положительно определена, достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы
(1.20) были строго положительны. Нетрудно показать, что в нашем
Гессе
,,,()
случае это будет именно так. Поэтому функция
CC C
12
n
имеет минимальный тип экстремума.
Упражнение 1.9 (*). Поясните, что такое угловые миноры
матрицы A. Какому условию они должны удовлетворять, чтобы
квадратичная форма, соответствующая матрице A, была отрица-
тельно определенной? Приведите численные примеры для мат-
риц 3 × 3 положительно и отрицательно определенных квадра-
тичных форм.
Для надежной практической работы кратко опишем в соответствии
со сказанным выше алгоритм метода наименьших квадратов.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]