Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы математического моделирования в микроэлектронике. Модели в форме СЛАУ. Учебное пособие
.pdf
Практика применений методов Якоби и Гаусса–Зейделя показывает,
x
x
x
что сходимость метода Гаусса–Зейделя примерно в два раза быстрее,
чем у метода Якоби, но в обоих случаях сходимость может быть довольно медленной и она значительно замедляется с ростом числа уравнений n, что имеет место, например, при решении СЛАУ, возникающих
при
решении разностных аналогов уравнения Пуассона или других дву-
мерных эллиптических уравнений в частных производных.
Для ускорения сходимости метода Гаусса–Зейделя следует использовать специальный параметрический способ, который получил название метод релаксации. Прежде чем его описывать, рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Гаусса–Зейделя.
3.6.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
МЕТОДА ГАУССА–ЗЕЙДЕЛЯ
Рассмотрим СЛАУ из двух уравнений
22,
xy
22,
xy
21 2
или
12 2
x
y
(3.82)
.
Очевидно, что в соответствии с достаточным признаком процесс
Гаусса–Зейделя для этой СЛАУ сходится при любом выборе начального
приближения, поэтому примем, что
()0
= 0 и
()0
y
= 0. Выполним в со-
ответствии с этим методом три итерации и результаты представим
в табл. 3.11.
Таблица 3.11
Результаты первых трех итераций решения СЛАУ (3.82)
методом Гаусса–Зейделя
()
k
0 0 0
1 1 3/2
2 1/4 9/8
3 7/16 39/32
Упражнение 3.38. Проверьте ручным способом табл. 3.11.
k
1
121
()
2
k
Точное решение СЛАУ (3.82) есть x = 2/5, y = 6/5.
Геометрическая интерпретация описывается следующей схемой.
1. Процесс начинаем из точки (0, 0).
2. При вычислении нового значения x значение y оставляем неизмен-
ным, что геометрически соответствует движению по горизонтали вдоль
оси X до пересечения с прямой, – графиком первого уравнения СЛАУ:
22xy
.
3. Затем, сохраняя неизменным найденное значение x, движемся по
вертикали параллельно оси Y до тех пор, пока не пересечем другую пря-
мую, соответствующую второму уравнению:
22xy
. Найденные
координаты точки пересечения (1, 3/2) равны результату первой итерации в методе Гаусса–Зейделя.
4. Аналогичным образом продолжаем процесс и находим резуль-
таты последующих итераций.
Графическое представление этой циклической процедуры показано
на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Геометрическая схема решения
СЛАУ методом Гаусса–Зейделя
Очевидно, что движение будет идти по закручивающейся к точному
решению спирали и из рис. 3.6 видно, что процесс сходится.
122
Однако если СЛАУ модифицировать, переставив первое уравнение
со вторым, то достаточные условия сходимости нарушатся. В этом случае геометрическое описание метода Гаусса–Зейделя будет соответствовать рис. 3.7, из которого следует, что теперь движение происходит
по раскручивающейся спирали и поэтому процесс Гаусса–Зейделя будет расходиться.
Рис. 3.7. Геометрическая схема решения
модифицированной СЛАУ методом Гаусса–Зейделя
3.6.6. УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ ПРОЦЕССА
ГАУССА–ЗЕЙДЕЛЯ МЕТОДОМ РЕЛАКСАЦИИ
В общем случае под методами релаксации понимаются параметрические методы, обеспечивающие ускорение сходимости итерационных
процессов решения СЛАУ путем введения в их запись дополнительного
параметра релаксации ω с оптимальным выбором его численного значения. Слово «релаксация» имеет латинское происхождение и буквально
означает «уменьшение напряжения».
Покажем, как это можно сделать на примере процесса
Гаусса–Зей-
деля.
123
Путем очевидных эквивалентных преобразований канонической
A
B
формы (3.51) введем в запись СЛАУ
xb
параметр релаксации ω:
()( ) ,Dx Dx Ax b D A x b
(3.83)
где D – диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами.
Теперь, используя разложение матрицы A на сумму трех матриц:
,AA DA
переписываем (3.83) в виде, аналогичном процессу
Гаусса–Зейделя:
() ().DAxD DAxb
(3.84)
Такая запись позволяет организовать следующий итерационный
процесс:
(1) ()
kk
() ()
DAx D DAx b
(1 )
()
DAx b
k
, (3.85)
где k = 0, 1, 2, …
Для процесса (3.85) в зависимости от величины параметра ω > 0 различают три случая:
1) если ω < 1, то говорят о нижней последовательной релаксации;
2) если ω = 1, то это уже рассмотренный процесс Гаусса–Зейделя;
3) если ω > 1, то говорят о верхней последовательной релаксации.
В англоязычной литературе метод верхней релаксации называется
методом SOR – Successive Over Relaxation.
ω < 0 и ω ≥ 2 метод (3.85) расходится.
При
Упражнение 3.39. Проверьте, что при ω = 1 метод последова-
тельной релаксации (3.85) переходит в метод Гаусса–Зейделя.
Для записи канонической формы (3.51) итерационного процесса последовательной релаксации надо принять, что
DA
, а k.
1k
Очевидно, что этот метод неявный и стационарный.
124
Упражнение 3.40. Покажите, как из канонической записи
(3.51) получается итерационный процесс последовательной ре-
лаксации (3.85).
Пример. Итерационный процесс SOR [10, с. 464]. Решим методом
SOR с параметром релаксации ω = 1,25 СЛАУ из трех уравнений
43 24,
xx
12
34 30,
xxx
123
424.
xx
23
Эта система имеет следующее точное решение
честве начального приближения возьмем вектор
(3.86)
(3, 4, 5)x
(0) T
(1,1,1)x
T
. В ка-
. Итера-
ционный процесс SOR запишется в виде
() ( 1) ( 1)
kk k
xx x
11 2
xxxx
xxx
0,25 0,9375 7, 5,
kkkk
() () ( 1) ( 1)
0,9375 0,25 0,3125 9,3750,
212 3
kkk
() () ( 1)
0,3125 0, 25 7,5.
323
Если в качестве критерия точности использовать семь значащих
цифр после запятой, то всего для метода SOR потребуется 14 итераций.
Для сравнения отметим, что для получения того же результата методом
Гаусса–Зейделя необходимо будет уже 34 итерации.
Результаты вычислений для первых семи итераций процесса SOR
приведены в табл. 3.12.
Матрица перехода S для итерационного релаксационного процесса
SOR очевидно равна
1
()(1)).SD A D A
(3.87)
Поэтому параметр релаксации ω должен выбираться таким образом,
чтобы минимизировать максимальное собственное число матрицы S.
Технически это сделать довольно сложно, особенно для больших порядков n, хотя есть теоретические оценки оптимального значения
опт
, по-
лученные Янгом [1, стр.191]. На практике параметр ω чаще всего определяют опытным путем методом проб и ошибок, при этом соблюдается
125
определенная закономерность: если размерность СЛАУ n невелика,
x
x
x
A
x
близко к единице, с ростом n оптимальное значение
то
опт
тоже
опт
растет и приближается к двойке.
Таблица 3.12
Результаты первых семи итераций решения
СЛАУ (3.86) методом SOR
()
k
k
1
()
k
2
()
k
3
0 1,0000 1,0000 1,0000
1 6,3125 3,5195 −6,6502
2 2,6223 3,9585 −4,6004
3 3,1333 4,0103 −5,0967
4 2,9571 4,0075 −4,9735
5 3,0037 4,0029 −5,0057
6 2,9963 4,0009 −4,9983
7 3,0001 4,0003 −5,0004
Сходимость процесса последовательной релаксации можно описать
следующим достаточным утверждением.
xb
Если матрица А системы
делена, то при любом
(0,2)
симметрична и положительно опре-
и любом начальном приближении
(0)
итерации процесса последовательной релаксации сходятся к точному
решению СЛАУ, причем при
12
будет обеспечиваться ускоре-
ние сходимости.
В покомпонентной записи процесс (3.85) записывается как
1
i
(1) (1)
kk
ax ax
ii i ij j
() ()
(1 ) , 1, ..., .
kk
ax ax b i n
ii i ij j i
j
1
n
ji
1
126
(3.88)
Тогда, перебрасывая левую сумму в правую часть равенства, вынося
за скобку ω и деля на
bax axi n
a
ii
получаем, что
,iia
(1) ()
kk
xx
1
in
iijj ijj
11
jji
(1 )
ii
(1) ()
kk
, 1, ..., .
(3.89)
Понятно [см. формулы (2.2) и (3.75)], что в квадратных скобках
(3.89) при делении на
a фактически стоит невязка ir для i-го урав-
ii
нения СЛАУ на (k + 1) итерации в методе Гаусса–Зейделя. Поэтому
в покомпонентной форме процесс последовательной релаксации
можно представить как получение «средневзвешенного приближе-
(1)k
x
ния» для
:
i
1
in
(1) (1) ()
kkk
r b ax ax
iiijjijj
(1) () (1)
xxrin
iii
1
a
ii
kkk
(1 ) , 1, ..., .
11
jji
(3.90)
В завершение подраздела 3.6 «Итерационные методы решения
СЛАУ» рассмотрим два примера, иллюстрирующие скорость сходимости итерационных процессов.
Пример. Сравнение сходимости для всех рассмотренных итерационных процессов [2, с. 533].
Пусть нужно найти решение следующей
СЛАУ:
622 6
234 3.
248 6
x
1
x
2
x
3
Матрица системы A – симметричная и положительно определенная,
а точное решение равно
(1, 1, 1)x
T
. Рассмотрим все описанные выше
методы. Для сравнительной оценки их сходимости примем, что должно
127
выполняться условие малости невязки с ε =
x
в первой векторной норме.
Результаты вычислений представим в табл. 3.13.
Сравнительные результаты по скорости сходимости
рассмотренных итерационных процессов
6
которая вычисляется
10 ,
Таблица 3.13
№
п/п
Простой итерации с оптимальным
1
параметром τ = 0,1638
2 Якоби Любое Расходится
3 Гаусса–Зейделя
4 SOR c ω = 1,288
Метод
Начальное
приближение
(0)
0х
(0)
0х
(0)
0х
Количество
итераций
148
42
16
Как следует из табл. 3.13, метод простой итерации очень медленно
сходится. Скорость сходимости в методе Гаусса–Зейделя более чем
в 3,5 раза выше, чем в методе простой итерации, а метод SOR сходится
в 2,5 раза быстрее, чем метод Гаусса–Зейделя.
Пример. Сравнение сходимости для методов Якоби, Гаусса–Зейделя и SOR [1, с. 191].
Пусть нужно исследовать на сходимость итерационные процессы Якоби, Гаусса–Зейделя и SOR для СЛАУ с произвольной правой частью и матрицей системы А, равной
21
A
12
.
Матрица A – симметричная, положительно определенная со строгим
диагональным преобладанием. Поэтому все три метода сходятся. Для
изучения скорости сходимости воспользуемся соотношением (3.57),
в котором устанавливается взаимосвязь между погрешностями на k-й
и (k + 1) итерации
(1) ()
kk
Sx
,
128
где S – матрица перехода. Для точного описания матрицы S для различных процессов разложим матрицу A на сумму трех матриц
,DA
и
:A
20 0 0 0 1
ADA A
02 10 0 0
Тогда для метода Якоби матрица перехода S = D
12 0 0 1 0 12
S
012 10 12 0
.
−1
(A− + A+) равна
.
Вычисляя ее собственные числа как корни уравнения det (S – λE) = 0,
получаем, что
S, равная спектральному радиусу ρ(S) =
= –1/2 и 2 = 1/2, откуда вторая норма Гильберта для
1
max | ,|i есть
2
1/2.S
Это означает, что согласно (3.57) погрешность на каждой итерации
в методе Якоби убывает в два раза.
Далее рассмотрим метод Гаусса–Зейделя. В этом случае матрица пе-
1
рехода
S
Eе собственные числа равны
1/ 4S , а это означает, что в методе Гаусса–Зейделя погрешность
2
:()SDA A
1/20 01 01/2
1/4 1/ 2 0 0 0 1/ 4
.
–1 / 4 и
1
2
0. Поэтому
на каждой итерации убывает в четыре раза, т. е. метод Гаусса–Зейделя
сходится примерно в два раза быстрее метода Якоби.
Для метода последовательной верхней релаксации SOR матрица пе-
1
рехода равна
()[(1)]SD A D A
. Записывая S в численной
форме, получаем
(1 ) / 2
1/ 2 0 2(1 )
S
/4 1/2 0 2(1 )
(1 ) / 2 (1 ) / 4
129
.
2
Тогда характеристическое уравнение имеет вид
22 2
/4 2( 1) ( 1) 0.
Согласно теореме Виета для его корней
и 2 выполняются соот-
1
ношения
12
12
2
/4 2( 1),
2
(1).
Если принять, что оптимальное значение ω лежит в интервале
1 < ω < 2 и удовлетворяет случаю кратных корней
= (ω – 1),
12
то для его нахождения получаем квадратное уравнение
Поэтому
42 3 1,0718
опт
2
/4 4 4 0.
. Тогда
(1)1/14.S
опт
2
Таким образом, метод SOR обеспечивает уменьшение на каждой итерации погрешности решения в 14 раз, что значительно лучше, чем метод
Гаусса–Зейделя.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК К ГЛАВЕ 3
1. Квасов Б. И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Использо-
вание Matlab и Scilab: учебное пособие / Б. И. Квасов. – СПб.: Лань, 2022. –
328 с.
2. Шарый С. П. Курс вычислительных методов [Электронный учебник] /
С. П. Шарый. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2025. –
807 с. – URL: http://www.ict.nsc.ru/matmod/files/textbooks/SharyNuMeth.pdf (дата обращения: 03.06.2025).
3. Костомаров Д. П. Вводные лекции по
собие / Д. П. Костомаров, А. П. Фаворский. – М.: Логос, 2004. – 184 с.
4. Калинин С. В. Методы математического моделирования в микроэлектро-
нике. Общие вопросы: учебное пособие / С. В. Калинин, А. С. Черкаев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2025. – 138 с.
5. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических
уравнений: пер. с
англ. / Дж. Форсайт, К. Молер. – М.: Мир, 1969. – 167 c.
численным методам: учебное по-
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]