Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компетентностный подход в изложении фундаментальных основ алгебры и геометрии. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
КОМПЕТЕНТНОСТНЫЙ ПОДХОД
В ИЗЛОЖЕНИИ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ
ОСНОВ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Казань
Издательство КНИТУ
2017
1
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я7
К63
Газизова Н. Н.
ISBN 978-5-7882-2310-0
ISBN 978-5-7882-2310-0
©
Газизова Н. Н., Михеев А. В.,
Никонова Г. А., Никонова Н. В., 2017
©
Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2017
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я7
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического университета
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. Н. П. Заботина
канд.физ.-мат. наук, доц. Д. В. Шевченко
К63
стандартов высшего профессионального образования по направлениям и
специальностям.
разделам: линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия.
Компетентностный подход в изложении фундаментальных основ
алгебры и геометрии : учебное пособие / Н. Н. Газизова [и др.];
Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань :
Изд-во КНИТУ, 2017. – 112 с.
Соответствует требованиями государственных образовательных
Пособие содержит теоретические сведения и прикладные задачи по
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Математика».
Подготовлено на кафедре высшей математики.
2
ВВЕДЕНИЕ
В учебном пособии, предназначенном для студентов 1 курса
дневной, очной и очно-заочной форм обучения, изучающих
дисциплину «Математика», полностью охвачен материал, входящий в
программу по высшей математике для студентов.
Пособие содержит следующие разделы: линейная алгебра,
векторная алгебра, аналитическая геометрия, а также примеры
решения типовых задач, тестовые задания и ответы к ним.
Теоретическая часть включает в себя все необходимые сведения для
подготовки к контрольным работам, коллоквиуму и экзамену в конце
семестра. Текст иллюстрируется большим количеством примеров и
рисунков.
Изучение данного пособия позволяет формировать у обучаемых
общекультурные и профессиональные компетенции:
- способность работать самостоятельно;
- способность к самоорганизации и самообразованию;
- владение культурой математического мышления, способность
к обобщению и анализу информации, постановке целей и выбора
путей достижения поставленной цели;
- готовность применять фундаментальные математические,
естественно-научные и общеинженерные знания в
общепрофессиональной деятельности.
Помимо основных формул и определений авторы предлагают
подробный разбор тестовых заданий по указанным темам.
Рассматриваются не только стандартные примеры, но и задачи
повышенной трудности. Кроме того, предлагается набор тестовых
заданий (30 вариантов), который могут использовать как
преподаватели для проведения практических занятий со студентами,
организации аудиторных контрольных, зачётных и проверочных
работ, так и студенты для самостоятельного изучения теоретического
материала и индивидуальной подготовки к контрольным работам,
коллоквиуму и экзамену.
3
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Матрицы: основные определения
Прямоугольную таблицу чисел
=
будем называть матрицей размерности × . При этом – число
строк в матрице, а - число столбцов. Если = , то матрица
называется квадратной n-го порядка.
Действительные или комплексные числа ( = 1,
= 1,
) называются элементами матрицы, где - номер строки, -
номер столбца.
Матрицу, состоящую из одного столбца:
называют вектором-столбцом, а матрицу, состоящую из одной строки
– вектором-строкой:
(
Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные
вне главной диагонали, равны нулю
0 0
0
0
0 0
называется диагональной. Диагональная матрица, у которой
= = = 1, называется единичной и обозначается символом .
Матрицы равны, если элементы матриц, стоящие в
одинаковых позициях, совпадают.
Транспонированной матрицей
образованная из матрицы путем взаимной замены строк на
)
соответствующие столбцы:
которой =
, называется симметрической.
(
,
)
.
()
=
(1.1)
,
называется матрица,
. Квадратная матрица , для
=
,
4
Пример. Записать транспонированную матрицу для матрицы
−−=864
253
061
A
−
−
=
820
656
431
T
A
.
Решение. Используя определение транспонированной матрицы,
получим
.
Сложение и умножение матриц
Суммой двух матриц = (
) и = (
размерности × , называется матрица = (
размерности, элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц и :
= + , (= 1, , = 1, ).
Произведением матрицы = () (= 1, , = 1, ) на число
называется матрица = (
) , той же размерности, что и ,
элементы которой получаются из соответствующих элементов
матрицы умножением на число :
= , (= 1, , = 1, ).
Произведением матрицы = () ( = 1, , = 1, ) на
матрицу = (
(= 1, , = 1, ), элемент
=
) (= 1, , = 1, ) называется матрица = (
которой вычисляется по формуле:
.
Произведение матриц в общем случае не подчиняется
переместительному закону: . Если же = , то
матрицы называются перестановочными.
Пример. Даны матрицы =
и =
матрицу .
Решение.
Сначала найдем матрицы 2 и 3:
2=
4 6
8 2
, 3=
15 3
6 9
5
) , одинаковой
.
) той же
. Найти
)
Вычислим их разность:
=
⋅−+⋅−⋅−+−⋅⋅−+⋅
⋅+⋅−⋅+−⋅⋅+⋅
⋅+⋅−⋅+−⋅⋅+⋅
=
−
−
⋅
− 4)3(02)1()3()2(21)3(72
4105)1(1)2(51175
4304)1(3)2(41374
411
027
32
15
34
−−
−
−
12111
41136
121131
.
8
7
65
и
43
21
=А
=
=
4831
3423
43
21
87
65
;
5043
2219
87
65
43
21
23=
4 6
8 2
Пример. Даны матрицы =
матрицу .
Решение.
=
5 2
3 2
3
4
=
Пример.
15 3
6 9
19 3
=
14 7
и =
5 3 2 (4)
3 3 + 2 (4)
=
.
. Найти
23
.
17
=
Пример. Даны матрицы
Найти АВ и ВА.
Решение.
Определители и их свойства
Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной
матрице 2-го порядка, называется число, обозначаемое символом:
det=
матрице 3-го порядка, называется число, вычисляемое по правилу
det=
и вычисляемое по правилу:
. (1.2)
Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной
=
det=
+
=
(1.3)
.
6
Минором элемента
определителя называется
определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-й строки
и j-го столбца. Алгебраическим дополнением
элемента
называется число
= (1)
. (1.4)
Свойства определителей
1. det= det
.
2. Перестановка двух строк (столбцов) определителя
равносильна умножению его на (1).
3. Определитель равен нулю, если:
–одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей;
–соответствующие элементы двух сток (столбцов)
пропорциональны (в том числе равны).
4. Общий множитель всех элементов ряда (строки или
столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Определитель не изменится, если к элементам одной его
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
6. Определитель равен сумме произведений элементов любого
ряда на их алгебраические дополнения.
7. Определитель единичной матрицы равен единице.
8. Если , — квадратные матрицы, то
det() = detdet.
Пример. Дана матрица =
. Вычислить ее
определитель.
Решение.
det=
2 4
5 3
= 2 (3) (4) 5 = 6 + 20 = 14.
Пример. Дана матрица =
. Вычислить ее
определитель.
Решение. Вычислим определитель, раскладывая его по элементам
1-й строки:
7
2 1 2
nnn2n1
2n2221
1n2111
...
............
...
...
aaa
aaa
aaa
2221
1211
=А
аа
аа
= 2 (1)
3 1
5 1
det=
+ 1 (1)
4 3 1
7 5 1
4 1
7 1
=
2 (1)
4 3
7 5
=
= 2 (3 + 5) 1 (4 + 7) 2 (20 + 21) = 4 11 82 = 89.
Обратная матрица
Обратной матрицей к квадратной матрице называется
квадратная матрица
равенств:
где - единичная матрица той же размерности, что и .
Обратная матрица может быть найдена только для
невырожденной квадратной матрицы, т.е. для такой матрицы ,
определитель которой не равен нулю: det0.
Формула для нахождения обратной матрицы имеет вид
где — алгебраическое дополнение элемента
det,
той же размерности, что и , определяемая из
= = ,
=
, (1.5)
определителя
∆=detA=
.
Тогда обратная матрица для матрицы будет
иметь вид
=
8
, (1.7)
для матрицы обратная матрица будет вычисляться
=
−−21
34
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
А
−
−
21
3
4
538
2
1
34
−=+−=
−
−
5
1
−
−−41
32
по формуле
=
. (1.8)
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы А= .
Решение.
Вычислим определитель detA, используя (1.2):
detA=
Найдем алгебраические дополнения по формуле (1.4):
А
А
=(-1)
11
21
=(-1)
1+1
2+1
-4⋅2–3(-1)= –5.
2=2; А12=(-1)
3= -3; А22=(-1)
1+2
(-1)=1;
2+2
(-4)= -4.
∆=
-1
А
= .
Пример. Найти матрицу, обратную к матрице =
.
Решение. Вначале вычислим определитель det, раскладывая его по
элементам 1-ой строки:
det=
2 4 1
0 5 1
4 0 2
+(1)
5 1
= 2 (1)
0 5
= 2 (10) + 4 4 20 = 24.
4 0
0 2
4 (1)
0 1
4 2
+
Далее найдем алгебраические дополнения всех элементов
этого определителя:
= (1)
5 1
0 2
= 10;
= (1)
0 1
4 2
= 4;
9
= 10.
4 1
0 2
2 4
4 0
2 1
0 1
= 8;
= 16;
= (1)
= (1)
= (1)
0 5
4 0
2 1
4 2
4 1
= 20;
5 1
= (1)
= 8;
= 1;
= (1)
= (1)
2 4
0 5
= (1)
Теперь по формуле (1.8) находим обратную матрицу:
512131
24
= 2;
10 8 1
=
1
24
4 8 2
20 16 10
=
161
562
1
3
12
.
5
12
3
Системы линейных алгебраических уравнений,
их совместность, определенность
Системой линейных алгебраических уравнений на
неизвестных называется система уравнений следующего вида:
+ + + =
+ + + =
+ + + =
где
— коэффициенты при неизвестных (первый индекс указывает
номер уравнения, второй — номер неизвестной),
члены.
Матричная форма записи системы уравнений (1.9):
=
Тензорная форма записи той же системы уравнений:
= , = 1, .
, (1.9)
— свободные
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]