Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компетентностный подход в изложении фундаментальных основ алгебры и геометрии. Учебное пособие
.pdf
Совокупность чисел
,
, …,
называется решением
системы (1.9), если после подстановки в систему уравнений вместо
неизвестных, она обращает каждое уравнение в тождество.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если решений нет.
Система называется однородной, если все = 0 (= 1,
). В
противном случае система называется неоднородной. Однородная
система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Матрица вида:
, (1.10)
(
)
=
называется расширенной матрицей системы (1.9), в то время как
матрица составленная из коэффициентов перед неизвестными:
(1.11)
=
называется главной матрицей системы (1.9).
Выделим в матрице (1.11) любые строк и любые столбцов.
Тогда определитель k-го порядка, составленный из этих строк и
столбцов, называется минором -го порядка матрицы .
Рангом матрицы (обозначается rg) называется порядок
наибольшего, отличного от нуля, минора этой матрицы.
Формулы Крамера
Если в системе уравнений (1.9) число уравнений совпадает с
числом неизвестных, т.е. = , то матрица квадратная. В этом
случае определитель матрицы называется главным определителем
системы:
= det=
При 0 решение системы (1.9) единственно и может быть
найдено по формулам Крамера:
.
11
где определители называются определителями неизвестных
=
, = 1, , (1.12)
и
получаются из главного определителя путем замены j-го столбца
столбцом свободных членов.
+ =
Пример. Найти решение системы
+ =
+ =
, используя
формулы Крамера.
Решение. Вычислим главный определитель системы:
2 3 5
=
1 1 2
4 5 1
= 2
1 2
5 1
3
1 2
4 1
5
1 1
4 5
=
= 2 (1 10) 3 (1 8) 5 (5 + 4) = 18 + 27 45 = 36.
Затем определители неизвестных
4 3 5
=
5 1 2
= 72,
=
2 5 1
, ,
2 4 5
1 5 2
4 2 1
:
= 36,
2 3 4
=
=
1 1 5
4 5 2
Отсюда по формулам (1.12) находим:
=
= 36.
= 1,
=
=
=
=
= 1.
= 2,
Ответ: (2; 1;1).
Метод Гаусса
Метод Гаусса является универсальным методом решения
систем линейных алгебраических уравнений. Эффективность
применения метода Гаусса не зависит от соотношения между числом
неизвестных и количеством уравнений, образующих систему. Процесс
решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе
система (1.9) приводится к треугольному виду на втором этапе идет
последовательное определение неизвестных из полученной
треугольной системы. Рассмотрим подробнее реализацию каждого
этапа метода Гаусса. При этом все преобразования будем проводить
не с самой системой (1.9), а с её расширенной матрицей (1.10).
12
Пусть в (1.10) 0 . Этого всегда можно добиться с
помощью перестановки строк расширенной матрицы.
Последовательно исключим все коэффициенты при
, кроме
, из
расширенной матрицы, т.е. обратим все элементы первого столбца,
начиная со второй строки, в ноль. Для этого разделим первую строку
на
, а затем последовательно умножая её на , , … ,
будем прибавлять соответственно ко второй, третьей, … , -ой
строкам. В результате получим следующую матрицу:
где
1
0
0
=
,
Пусть теперь в (1.13)
=
, (1.13)
(= 2, , = 1, ).
0. Если это не так, то этого всегда
можно добиться с помощью перестановки строк матрицы (1.13).
Последовательно исключим все коэффициенты при
, кроме
, из
(1.13), т.е. обратим все элементы второго столбца, начиная с третьей
строки, в ноль. Для этого, разделим вторую строку на
,
последовательно умножая её на
, … ,
, а затем
будем
прибавлять соответственно к третьей, четвертой, … , -ой строкам
матрицы (1.13). Получившуюся после этого матрицу подвергнем тем
же преобразованиям, что и матрицы (1.10), (1.13), но теперь уже с
целью исключить из неё коэффициенты при
. Эту процедуру нужно
повторять до тех пор, пока не получится матрица ступенчатого вида
(треугольная матрица):
~
0
0 0 0
0 0 0 0 0
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
.
~
~
0
Этой матрице соответствует система линейных
алгебраических уравнений, равносильная (1.9):
13
~
+
~
+ +
~
+ +
~
+ +
~
+ +
~
~
~
+ +
~
=
=
=
~
~
. (1.14)
~
Возможны следующие три случая:
Последнее уравнение системы (1.14) имеет вид:
0
+ + 0 =
~
. При этом
~
0. Такое уравнение не
имеет решений. Поэтому система уравнений несовместна.
Число уравнений системы (1.14) совпадает с числом
неизвестных, а последнее уравнение имеет вид:
~
0 . Из этого уравнения легко находим
найденное значение
найдём
. Далее последовательно находим , , … ,
в предпоследнее уравнение системы (1.14) и
. Затем подставим
~
=
. Это так
~
, где
называемый, обратный ход метода Гаусса. В этом случае система
уравнений имеет единственное решение.
Число уравнений системы (1.14) меньше числа неизвестных:
< . При этом система уравнений имеет бесконечно много решений.
Для отыскания этого множества решений необходимо выбрать в
системе (1.14) свободных неизвестных, которым впоследствии
можно придавать произвольные вещественные значения. Затем нужно
выразить оставшиеся неизвестные через свободные. В этом случае,
система уравнений является неопределенной.
Пример. Решить системы линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса:
2+ 35= 4
+ 2= 5
1)
4+ 5= 2
;2)
+ + = 1
2= 1
7+ 4+ 5= 3
+ + = 1
2= 1
3)
7+ 4+ 5= 4
.
Решение.
1) Запишем расширенную матрицу системы:
(/) =
2 3 5
1 1 2
4 5 1
4
5
2
.
Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы
= 1. Для этого можно разделить элементы первой строки матрицы
14
на 2. Но есть и более простой способ: переставить местами 1-ю и 2-ю
строки, тогда тоже получим
= 1:
1 1 2
2 3 5
4 5 1
5
4
2
.
Умножаем первую строку матрицы последовательно на (2),
(4) и складываем соответственно со второй и третьей строками,
находим:
1 1 2
0 5 9
0 9 9
14
18
5
.
В полученной матрице 2-ю строку можно разделить на 5, для
того чтобы
= 1. Но в данном случае проще провести следующие
эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и
переставить местами 2-ю и 3-ю строки. В результате получим:
1 1 2
0 1 1
0 5 9
2
14
5
.
Теперь умножаем 2-ю строку на (5) и прибавляем к третьей
строке:
1 1 2
0 1 1
0 0 4
2
4
5
.
Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке
соответствует уравнение: 4= 4 откуда получаем = 1.
Второй строке соответствует уравнение: = 2 .
Получаем, что = 1 . И наконец, первой строке соответствует
уравнение: + 2= 5, откуда = 2.
Ответ: (2; 1;1).
2) В данном примере (/) =
1 1 1
2 1 0
7 4 5
1
1
3
.
Приведём эту матрицу к верхнетреугольному виду. Для этого
вначале умножим первую строку на (2) и прибавим её ко второй
строке, а затем умножим первую строку на (7) и прибавим её к
третьей строке. В результате получим матрицу:
1 1 1
0 3 2
0 3 2
3
10
1
.
Далее вычтем из третьей строки вторую, после чего
расширенная матрица системы приобретёт верхнетреугольный вид:
1 1 1
0 3 2
0 0 0
1
. Последней строке этой матрицы соответствует
3
7
15
уравнение 0 + 0 + 0 = 7 , которое не имеет решений.
Следовательно, решений не имеет и вся система линейных
алгебраических уравнений.
Ответ: система уравнений несовместна.
3) В данном случае (/) =
1 1 1
2 1 0
7 4 5
1
1
4
.
Приведём эту матрицу к верхнетреугольному виду. Для этого
вначале умножим первую строку на (2) и прибавим её ко второй
строке, а затем умножим первую строку на (7) и прибавим её к
третьей строке. В результате получим матрицу:
1 1 1
0 3 2
0 3 2
1
3
3
.
Далее вычтем из третьей строки вторую, после чего
расширенная матрица системы приобретёт верхнетреугольный вид:
1 1 1
0 3 2
0 0 0
всего из двух уравнений (= 2):
1
. Этой матрице соответствует система, состоящая
3
0
+ + = 1
32= 3
.
Так как число неизвестных равно трём (= 3), то исходная
система алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений.
Количество свободных неизвестных находим по формуле: = 3
2 = 1. Таким образом, в данной задаче свободная неизвестная одна и в
качестве этой неизвестной выберем переменную . Выразим
остальные неизвестные (, ) через , используя найденную систему
двух алгебраических уравнений. Из второго уравнения этой системы
находим: =
+
Ответ:
. Подставим этот результат в первое уравнение:
+ = 1. Отсюда находим неизвестную : =
;
; , где принимает произвольные
.
вещественные значения.
Матричный метод решения систем линейных
алгебраических уравнений
С помощью операции умножения матриц любая система
линейных алгебраических уравнений может быть записана в виде
16
(1.14). Для того, чтобы придать этой формуле более компактный вид
введём обозначения:
=
=
— матрица-столбец неизвестных;
— матрица-столбец свободных членов.
С их помощью, а также с учётом (1.11) матричная форма
записи (1.9) принимает вид
= . (1.15)
Предполагая, что главная матрица системы квадратная и
обратная матрица
(1.22) слева на
существует, умножим обе части уравнения
:
= = .
Из определения единичной матрицы следует, что
= . Таким образом:
= . (1.16)
Формула (1.16) заключает в себе матричный метод решения
систем линейных алгебраических уравнений. Единственное
ограничение на использование этого метода состоит в существовании
матрицы, обратной к главной матрице системы.
Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений
=
матричным методом:
+ =
.
+ =
Решение. Выпишем главную матрицу системы и найдём её
определитель, раскладывая его по элементам первой строки: =
1 2 3
4 1 1
.
3 6 7
det=
1 2 3
4 1 1
3 6 7
=
1 1
6 7
+ 2
4 1
3 7
3
4 1
3 6
=
= 7 + 6 + 2(28 3) 3(24 + 3) = 1 + 50 + 63 = 112.
17
Поскольку det0, то обратная матрица
существует. Для
её нахождения вычислим алгебраические дополнения элементов
определителя det:
= (1)
= (1)
= (1)
= (1)
1 1
6 7
4 1
3 6
2 3
1 1
1 3
3 7
= (1)
= 1;
= 21;
= 16;
= 5;
= (1)
1 2
4 1
= (1)
= (1)
= (1)
= 7.
4 1
3 7
2 3
6 7
1 2
3 6
1 3
4 1
= 25;
= 32;
= 0;
= 13;
Теперь по формуле (1.8) находим обратную матрицу:
1
112
2
7
5
112
25
1 32 5
=
1
25 16 13
112
21 0 7
=
112
1
7
3
16
0
6
Поскольку в данном примере =
, то, применяя
8
30
формулу (1.16), найдём решение системы уравнений:
=
1
112
25
112
2
7
1
7
5
112
13
112
6
8
=
6
112
150
112
+
+
16
7
8
7
30
3
16
1
0
16
18
16
+ 0 +
Ответ: (1; 1;3).
150
112
390
112
30
16
13
112
1
16
=
.
1
1
3
.
18
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Рис.2.1. Определение суммы
треугольника
Рис.2.2. Определение
правила параллелограмма
Векторы и линейные операции над ними
Вектором называется направленный отрезок прямой.
Для обозначения векторов используются символы или
где точка — начало вектора, а точка — конец вектора.
Длиной вектора (обозначается || или |
| ) называется
расстояние между его началом и концом. Нулевым называется вектор,
длина которого равна нулю, а направление не определено.
Векторы равны, если равны их длины, а направления
совпадают.
Коллинеарными называют векторы, расположенные на
параллельных прямых (в частности, на одной прямой), а
компланарными — векторы, расположенные в параллельных
плоскостях (в частности, в одной плоскости).
Суммой
совмещен с началом , называется вектор
вектора
с концом
+ векторов и
. Это — так называемое правило треугольника
, при условии, что конец вектора
, соединяющий начало
(рис. 2.1). Кроме него, для вычисления суммы векторов, есть ещё
правило параллелограмма, применение которого проиллюстрировано
на рисунке (рис. 2.2).
,
векторов с помощью правила
суммы векторов с помощью
19
Рис. 2.3. Определение разности векторов
Разностью векторов и называется вектор =
которого
+ =
(см. рис. 2.3).
, для
Произведением вектора на число называется вектор
такой, что:
> 0 (
1) |
| = |||
2)
коллинеарен вектору
) и в противоположную сторону при < 0 (
Линейной комбинацией векторов
|;
и направлен в ту же сторону при
,
, … ,
называется
).
вектор
=
, , … ,
где
Векторы
такие числа
,
, , …, , для которых
+
, … ,
+ +
— произвольные действительные числа.
— линейно зависимы, если существуют
=
+
, (2.1)
+ +
0 , а
линейная комбинация (2.1) равна нулю. В противном случае эти
векторы называются линейно независимыми.
Базисом на плоскости и в пространстве называется
максимальная линейно независимая на плоскости или в пространстве
система векторов (добавление к системе еще одного вектора делает ее
линейно зависимой).
Пусть
пространства разлагается единственным образом по базисным
,
,
— базис в пространстве, тогда любой вектор
векторам:
=
+
+
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]