Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компетентностный подход в изложении фундаментальных основ алгебры и геометрии. Учебное пособие
.pdf
Два вектора равны, если равны их соответствующие
координаты. Следовательно, справедлива система уравнений:
3+ 5= 7
2= 4
.
Решим её методом Крамера:
3 5
=
2 1
=
7 5
4 1
Отсюда: =
= 3 (1) 2 5 = 13;
=
3 7
2 4
= 13;
=
= 1; =
=
= 26.
= 2. Остаётся
подставить найденные коэффициенты и в разложение вектора
= + = + 2
Ответ: = + 2
.
.
Задание № 5
:
Найти координаты и длину вектора = 23, где
{6; 1;3},
= {4; 0; 3}.
Решение
Для того чтобы найти координаты вектора
определим координаты векторов 2
2
= {12; 2; 6}, 3
вектора 2
= {12; 2; 6} {12; 0; 9} = {12 12; 2 0; 6 9} = {0; 2; 3}.
соответствующие координаты вектора 3
= {12; 0; 9}, а затем вычтем из координат
и 3
:
, вначале
:
Теперь, с помощью формулы (2.3), найдём длину вектора
| =0
|
Ответ: = {0; 2; 3}, |
+ (2)+ (3)
| =
=4 + 9 =
13.
13.
41
=
:
Задание № 6
Вариант №1
Найти проекцию вектора = 2 4 +
= 3 + 2
.
на вектор
Решение
Для решения используем формулу (2.2):
Найдём скалярное произведение векторов
формулу (2.7):
= 2 3 + (4) 1 + 1 (2) = 0. Так как
=
.
, используя
скалярное произведение равно нулю, то векторы
перпендикулярны и, следовательно,
Ответ:
= 0.
= 0.
Вариант №2
= 1 , угол между векторами
и
Пусть
= 4 ,
и
равен
=
. Найти значение выражения
Решение
Раскроем скобки и воспользуемся следующими свойствами
векторного произведения:
× = × , ×
2
× 2+ 3
=
4
=
× + 0 0 + 3×
2× 2+ 3
= 0,
×
=
.
sin .
2× 2+ 2× 3× 2× 3
=
7
×
=
42
=
= 7
sin = 7 4 1
Вариант №1
Найти площадь треугольника , если (2; 0; 4) ,
(3; 1; 2), (5; 3; 0).
Решение
Задание № 7
= 14. Ответ: 14.
С помощью (2.5) найдём координаты векторов и
Площадь треугольника вычисляется по формуле (см.
(2.10)):
ABC
и
по формуле (см. (2.9)):
Теперь вычислим длину вектора ×
Отсюда:
Ответ:
Вариант №2
= {3 2; 1 0; 2 4} = {5; 1;2};
= {5 2; 3 0; 0 4} = {3; 3;4}.
=
×
5 2
3 4
. Найдём векторное произведение векторов
×
=
5 1 2
3 3 4
5 1
+
3 3
= 2
=
1 2
3 4
×
=
(2)
=4 + 676 + 324
=
2
251 =
ABC
ABC
=
251(кв. ед.).
+ (26)
=1004 = 2251.
251(кв. ед.).
26 + 18
:
+ 18=
:
.
Найти координаты вектора + × 23, если
= {1; 0; 1}, = {3; 2; 4}.
43
Решение
Найдём координаты векторов + и 23
+ = {1; 0; 1} + {3; 2; 4} = {4; 2; 3};
2
3
{
= 2
1; 0; 1}3{3; 2;4
= {2; 0; 2} {9; 6; 12} = {7; 6; 14}.
Вновь воспользуемся формулой (2.9):
+ × 23=
2 3
=
6 14
4 3
7 14
Таким образом,
4 2
+
7 6
+ × 23= {10; 35; 10}.
Ответ: {10; 35;10}.
Задание № 8
Найти объём треугольной пирамиды , если (0; 1; 1),
(2; 1; 4), (3; 2; 0), (1; 0;0).
4 2 3
7 6 14
= 10
+ 35+ 10
:
}
=
=
.
Решение
Найдём координаты векторов , и
формулой (2.5):
Объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле
(см. (2.12)):
векторов
, и
= {2 0; 1 1; 4 1} = {2; 2; 3};
= {3 0; 2 1; 0 1} = {3; 1;1};
= {1 0; 0 1; 0 1} = {1; 1; 1}.
пир
=
|
(см. (2.11)):
|. Находим смешанное произведение
44
. Воспользуемся
(2)
Отсюда,
Ответ:
=
3 1
1 1
пир
пир
=
| 18| = 3(куб. ед.).
= 3 (куб. ед.).
2 2 3
3 1 1
1 1 1
3 1
+ 3
1 1
= 4 8 6 = 18.
= 2
1 1
1 1
Задание № 9
Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
3 5
=
2 6
.
Решение
Уравнение на собственные значения имеет вид (см. (2.17)):
3 5
det
2 6
(3 )(6 ) 10 = 0
Собственные значения матрицы :
1 0
0 1
= 0
328 = 0 = 4,
3 5
2 6
= 4,
Вычислим координаты собственных векторов, отвечающих
найденным собственным значениям.
1) При = 4 (см. (2.16)):
3 5
2 6
+ 4
1 0
0 1
=
0
0
1 5
2 10
Данное матричное уравнение эквивалентно системе двух
линейных однородных алгебраических уравнений:
+ 5
+ 10
2
Таким образом,
= 0
= 0
= 5. Положим = , где
произвольная постоянная. Тогда
собственный вектор
4, имеет вид:
, отвечающий собственному значению
= {5; } = {5; 1} или =
+ 5
+ 5
= 5
= 0
= 0
2) При = 7 действуем аналогично:
= 0;
= 7.
= 7.
.
=
0
.
0
—
и, следовательно,
=
5
1
.
45
3 5
2 6
7
Таким образом,
1 0
0 1
=
= 2. Положим = , где
произвольная постоянная. Тогда
собственный вектор
, отвечающий собственному значению
0
0
= 2
10
+ 5
2
и, следовательно,
= 0
= 0
.
—
= 7,
имеет вид:
= {; 2} = {1; 2} или =
Ответ:
= 4, =
5
; = 7, =
1
1
.
2
1
.
2
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
Прямая на плоскости
Всякое уравнение первой степени относительно х и у,
т.е. уравнение вида
Ах+Ву+С=0 (3.1)
где А,В,С постоянные коэффициенты, причем А
плоскости некоторую прямую.
Это уравнение называется общим уравнением прямой на
плоскости. Переменные х и у в уравнении называются текущими
координатами точек прямой.
Частные случаи:
1) Пусть А=0 (или В=0), тогда прямая проходит параллельно
оси Ох через точку –С/В ( или Оси Оу через точку -С/А);
2) Пусть С=0, тогда прямая проходит через начало координат;
3) Пусть А=С=0 (или В=С=0), тогда прямая совпадает с осью
Ох (с осью Оу).
Если разрешить уравнение относительно у, то получим
уравнение вида
у=kx+b (3.2)
Уравнение с угловым коэффициентом k=tgα, где α-угол,
образованный прямой с осью ОХ против часовой стрелки.
Пусть заданы две прямые у=k
x+b1 и y=k2x+b2 .
1
Угол между прямыми определяется по формуле
2+В2
≠0, определяет на
46
tgα=
k k
k k
2
1
1
2
1
−
+ ⋅
.
x x
x x
y y
y y
−
−
=
−
−
1
2 1
1
2
1
.
22
00
BA
CBA
+
++=yx
d
1=+
b
y
a
х
1
5
5
2)3(1
)3(2
−=
−
=
⋅−+
−−
)(
)(
yx
2
3
2
3
1
3
−−
−−
=
−
−
−
5
2
4
3 +
=
−
− yx
(3.3)
Если две прямые параллельны, то углы наклона к оси Ох у них
равны, а значит, tgα
Если две прямые перпендикулярны, то k
=tgα2 . Отсюда следует, что k1=k2.
1
=-1.
1⋅k2
Уравнение прямой проходящей через точку М(х
имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде:
у-у
=k(х-х0). (3.4)
0
Уравнение прямой проходящей через две точки М
М
2(х2,у2
), имеет вид
(3.5)
Расстояние от точки М
) до прямой l: Ax+By+C=0
0(х0,у0
определяется по формуле
. (3.6)
Если в общем уравнении прямой (3.1) , разделить обе части
на –С, получаем уравнение прямой «в отрезках»
.
0,у0
1(х1,у1
) и
) и
Пример. Найти угол между прямыми у=–3х+7 и у=2х+1.
Решение. Так как k
=-3, а k2=2, по формуле (3.3) находим угол между
1
прямыми.
tgα= . Т.е. угол между прямыми равен
45°(Выбираем наименьший угол между прямыми).
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через две точки
М(3,–2) и N(–1,3).
Решение. По формуле (3.5) записываем уравнение прямой:
Получаем уравнение:
.
Или –4(у+2)=5(х–3). Раскрываем скобки, приводим подобные:
47
–4у–5х+7=0. Выразим у, получим уравнение с угловым
454
7
5
3
5
7
5
3
k
1
3
5
3
53535
353
20
6
1
2
1
−= ху
2
1
2
3
−
45,1
−−
.1,1
5
5,5
=
−
−
74
15
74
15
75
4)3(725
22
=
−
=
+
−−⋅+⋅
=d
коэффициентом: у= – х+ .
Пример. Составить уравнение прямой, перпендикулярной к данной
3х–5у+7=0 и проходящей через точку М(1,5).
Решение. Приведем уравнение к виду уравнения с угловым
коэффициентом у= х+ , тогда k= . Так как требуемая прямая
перпендикулярна к данной, то ее угловой коэффициент выражается
из условия перпендикулярности прямых: k
уравнение прямой имеет вид: у–5=– (х–1). После упрощения
получаем: у=– х+ +5 или у=– х+ .
Пример. Найти угловой коэффициент прямой 3х–6у=1.
Решение. Воспользуемся формулой (3.2). Для этого выразим у: 6у=3х–
1, . Коэффициент перед х и есть угловой коэффициент
k. Значит, k= .
Пример. Найти тангенс угла между прямыми 3х+2у=6 и у=4х–3.
Решение. Угловой коэффициент первой прямой
k
= = –1,5, а угловой коэффициент второй прямой k2=4.
1
tgα= =
Пример. Найти расстояние от точки М(2;-3) до прямой 5х+7у-4=0.
Решение. Используя формулу (3.6), получаем
)5,1(41
−⋅+
=– , т.е. k1=– . Тогда
1
.
48
Плоскость в пространстве
N
N
2
1
1
1
cos
N
NNN⋅
⋅
=
ϕ
1
N
2
N
A
A
B
BCC
1
2
1
2
1
2
= =
1
N
2
N
0NN
21
=×
0NN
21
=⋅
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
Всякое уравнение первой степени
Ax+By+Cz+D=0
определяет плоскость в пространстве, если А
Здесь А, В, С можно рассматривать как координаты
некоторого вектора
={A,B,C}, перпендикулярного плоскости,
который называется нормальным вектором, или нормалью к
плоскости.
Частные случаи.
1) Если А=0, то плоскость параллельна оси Ох. Аналогично
определяются случаи и для В=0 или С=0. Поэтому мы не будем
рассматривать все варианты.
2) D=0, плоскость проходит через начало координат.
3) А=В=0 плоскость параллельна плоскости Оху.
4) А=D=0 плоскость проходит через ось Ох.
5) А=В=D=0 плоскость совпадает с плоскостью Оху.
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(x
нормальным вектором
={A,B,С}, имеет вид
)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 (3.7)
A(x-x
0
Угол между плоскостями A
A
x+B2y+C2z+D2=0 определяется как угол между их нормалями:
2
2+В2+С2
≠0.
0,y0,z0
x+B1y+C1z+D1=0 и
1
) с
Плоскости параллельны, если нормальный вектор
параллелен нормальному вектору
. (3.9)
Плоскости перпендикулярны, если вектор
перпендикулярен вектору
Расстояние от точки М(x
определяется по формуле
d= . (3.10)
(3.8)
, т.е.
или
: А1А2+В1В2+С1С2=0 или .
) до плоскости Ax+By+Cz+D=0
0,y0,z0
49
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
MM
1
2
1
MM
3
1
MM
MM
1
2
1
MM
2
1
MM
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
1=++
c
z
b
y
a
х
364
132
1
2
4
−−
−−
+
−− zyx
M
), M2(x2,y2), M3(x3,y3), имеет вид
1(x1,y1
Если в общем уравнении плоскости (3.8) разделить обе части
на –D , получаем уравнение плоскости «в отрезках» или нормальное
уравнение плоскости.
. (3.11)
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М(1,4,-5) и параллельно плоскости 3x-2y+z-6=0.
Решение. Нормальным вектором плоскости 3x-2y+z-6=0 является
вектор с координатами N={3,-2,1}. Если плоскости параллельны, то
нормальные векторы у них совпадают. Воспользуемся формулой (3.7)
и составим уравнение
3(x-1)-2(y-4)+1(z+5)=0.
Раскрывая скобки, получим 3x-2y+z+10=0.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки М
(4,2,-1), М2(2,-1,0), М3(0,-4,2).
1
Решение. Воспользуемся свойством компланарности векторов: три
вектора компланарны, если их смешенное произведение равно нулю
(векторная алгебра). Выберем произвольную точку M(x,y,z) и
выпишем координаты трех векторов, исходящих из одной точки,
например из точки М
={x-4,y-2,z-(-1)};
.
1
={2-4,-1-2,0-(-1)};
={0-4,-4-2,2-(-1)};
={-2,-3,1};
={x-4,y-2,z+1};
={-4,-6,3}.
Составим смешанное произведение трех векторов:
=0.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]