Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Компетентностный подход в изложении фундаментальных основ алгебры и геометрии. Учебное пособие
.pdf
Коэффициенты этого разложения называются координатами
Рис. 2.4. Проекция вектора на ось
вектора
Пусть
в базисе
= {; ;
,
,
}.
= {; ; } , = {; ;
:
} . Линейные операции
над векторами в координатном представлении имеют вид:
± = {± ; ± ; ±
= {; ;
Если векторы
}.
и равны, то = , = , =
};
.
Проекция вектора на ось
Осью называется направленная прямая.
Предположим, в пространстве заданы вектор и ось . Пусть
— проекция точки на ось , т.е. основание перпендикуляра,
опущенного из точки на эту ось,
Проекцией вектора
на ось называется модуль вектора
взятый со знаком «+», если вектор
— со знаком «», если вектор
Проекция вектора на ось обозначается через
вычисляется по формуле
= ||cos , (2.2)
где — угол между вектором и осью (см. рис. 2.4).
— проекция точки на ось .
направлен также, как и ось , и
направлен противоположно оси .
и
,
21
Проекция вектора на ось обладает очевидными свойствами:
1)
2)
+ = +
=
.
;
Прямоугольная система координат
Прямоугольной (декартовой) системой координат называется
совокупность точки и ортонормированного базиса
базиса, в котором векторы имеют длины, равные единице, и взаимно
перпендикулярны. Три взаимно перпендикулярные прямые в
направлении базисных векторов
, ,
называются осями координат:
осью абсцисс, ординат и аппликат соответственно.
Произвольный вектор
единственным образом по базисным векторам
= + +
Длина вектора
в прямоугольной системе координат равна
=
пространства разлагается
, ,
.
+
+
. (2.3)
:
, ,
, т.е. такого
Декартовы координаты вектора = {; ;
} совпадают с
его проекциями на соответствующие оси координат:
= , = , =
.
Проекции вектора на оси координат могут быть вычислены по
формулам
cos ,
=
где , , — углы наклона вектора
cos ,
=
к соответствующим осям
=
cos ,
координат. Косинусы этих углов: cos , cos , cos , называемые
направляющими косинусами, выражаются через декартовы
координаты с помощью формул:
cos =
cos
, cos =
+ cos + cos = 1.
, cos =
. (2.4)
22
Пример. Найти длину вектора = {; ; } и его направляющие
косинусы.
Решение. |
| =1+ 2
+ (3)
=14. Отсюда с помощью формул
(2.4) находим
cos =
14
, cos =
Пусть заданы векторы = {; ; } и = {; ;
1
2
14
, cos =
3
14
.
}. Если
эти векторы коллинеарны, то, в соответствии с определением
произведения вектора на число, они отличаются друг от друга
числовым множителем, т.е.
; ; } = {; ; }
{
=
. Откуда получаем
=
=
.
Пример. Определить, при каких значениях и векторы
= {2; ; 1} и = {3; 6; } коллинеарны.
Решение. Координаты данных векторов пропорциональны:
=
=
. Отсюда находим, что = 4, =
. При этих
значениях и векторы коллинеарны.
Если заданы точки (, , ) и (, ,
координаты вектора
= {, ,
равны
), то декартовы
}. (2.5)
Цилиндрическая и сферическая системы координат
Часто бывает удобно задавать положение точек в пространстве
с помощью не прямоугольных, а криволинейных координат. Наиболее
употребительными из этих систем координат являются
цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрическими координатами точки M называется тройка
чисел (; ; ) (см. рис. 2.5), где координата есть расстояние от
точки М до оси OZ; — угол, образованный плоскостью, проходящей
через ось OZ и точку М, с плоскостью ХOZ; — обычная аппликата
точки M. При этом может меняться от 0 до 2, а — от 0 до +.
23
Прямоугольные координаты точки M связаны с цилиндрическими с
Рис. 2.5. Цилиндрическая система
координат
помощью соотношений:
= cos , = sin , = .
Сферическими координатами точки М называется тройка
чисел (; ; ) (см. рис. 2.6), где координата есть расстояние от
точки М до начала координат O; — угол, который полуплоскость,
проходящая через ось OZ и точку М, образует с плоскостью ХOZ;
— угол, который отрезок ОМ образует с положительным
направлением оси OZ. При этом может изменяться от 0 до +, угол
отсчитывается против часовой стрелки от положительного
направления оси ОХ и может меняться от 0 до 2, угол
отсчитывается от положительного направления оси OZ и может
изменяться 0 до . Прямоугольные координаты точки M связаны со
сферическими с помощью соотношений:
= sin cos , = sin sin , = cos .
24
Рис. 2.6. Сферическая система координат
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
где — угол между векторами
Скалярное произведение
= {; ; } и = {; ;
Свойства скалярного произведения
1. Переместительный закон:
2. Сочетательный закон:
3. Распределительный закон:
4. Скалярный квадрат
=
.
5. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности
ненулевых векторов
скалярного произведения.
=
} находится по формуле
= + +
и
cos , (2.6)
.
через координаты векторов
=
= .
+ = +
вектора
и
равен квадрату его длины:
является равенство нулю их
. (2.7)
.
.
25
Основные приложения скалярного произведения
1. Вычисление работы постоянной (по модулю и направлению)
силы
на пути : =
2. Вычисление угла между векторами и : cos =
.
(см.
формулу 2.6).
3. Вычисление проекции одного вектора на другой:
Пример. Даны
= ,
= , =
=
. (2.8)
.
Вычислить + .
Решение.
3
2+ 2= 3
= 3
+ 4
Пример. Даны
cos 4
= {5; 2; 1} , = {1; 3; 3} . Проверить,
+ 44
= 27 24 64 = 61.
являются ли эти векторы перпендикулярными.
Решение. Найдём скалярное произведение векторов
= 5 (1) + 2 3 + (1) 3 = 5 + 6 3 = 2.
Так как
= 2 0, то эти векторы неперпендикулярны.
Векторное произведение
Векторным произведением вектора на вектор
вектор
, определяемый следующим образом (рис. 2.7):
,
;
1.
2. |
| = || ||sin , где — угол между векторами и
=
и
:
называется
;
26
3. Векторы , и
Рис. 2.7. Определение векторного произведения
векторов
поворот от вектора
вектора
, происходит против часовой стрелки.
образуют правую тройку, т.е. кратчайший
к вектору
, наблюдаемый с конца
Векторное произведение обозначается следующими
символами
= ×
Векторное произведение ×
= {; ; } и = {; ;
=
,
.
через координаты векторов
} можно записать в виде
определителя:
=
+
. (2.9)
×
=
Свойства и применения векторного произведения
1. Антипереместительный закон:
2. Сочетательный закон:
3. Распределительный закон:
× = × .
× (+ ) = × + ×
× = ×
.
.
4. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
находится по формуле:
пар
тр
=
=
; площадь треугольника:
×
. (2.10)
×
и
27
5. Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых
,
Рис. 2.9. Линейная
векторов
произведения.
6. Момент
и
силы
является равенство нулю их векторного
, приложенной к точке А, относительно точки
О вычисляется по формуле
где =
(рис. 2.8).
= ×
,
Рис. 2.8. Момент силы
приложенной к точке А,
относительно точки O
7. Линейная скорость
точки М твёрдого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси с угловой скоростью
скорость
тела, вращающегося вокруг
оси OZ
вычислена с помощью векторного произведения:
= ×
,
где = — радиус-вектор точки M; вектор
вращения (рис. 2.9).
Пример. Даны
Найти
32× + 2
= 1,
= 3, =
.
.
28
точки М твёрдого
, также может быть
направлен вдоль оси
Решение.
3
2× + 2
=
6
× + 2×
3× + 6× 2× 4×
=
= 8
sin = 12
3
=
.
Пример. Сила = {1; 1; 1} приложена к точке (0; 2; 2) . Найти
момент этой силы относительно точки (2; 1; 3).
Решение.
Так как
= × , где = = {2; 3; 5}. Получаем:
=
2 3 5
= 8
3 5
.
1 1 1
Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех
векторов
Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех
векторов
произведение обозначается символом
, и называется произведение ×
Смешанное произведение
образующих:
= {; ; }, = {; ; } и = {; ;
записать в виде определителя:
=
Свойства смешанного произведения
1.
× = × .
.
через координаты векторов, его
. (2.11)
. Смешанное
}, можно
2. При перестановке в смешанном произведении двух соседних
векторов его знак меняется на противоположный:
=
.
29
3. При круговой перестановке векторов смешанное произведение не
меняется:
4. Объем параллелепипеда, построенного на векторах
= =
.
, и
может быть вычислен с помощью смешанного произведения:
=
. Отсюда следует, что объём треугольной пирамиды,
построенной на тех же векторах, равен:
=
. (2.12)
5. Необходимым и достаточным условием компланарности трех
ненулевых векторов
смешанного произведения:
Пример. Даны векторы
, и
= {3; 1; 1}, = {1; 0; 3} и
является равенство нулю их
= 0.
= {1; 1; 5}.
Проверить, являются ли эти векторы компланарными.
Решение. Найдем смешанное произведение векторов
, и
(см.
формулу 2.11).
3 1 1
=
1 0 3
= 3 (0 3) 1 (5 3) 1 (1 0)
1 1 5
= 9 + 8 + 1 = 0.
Так как
= 0, то векторы компланарны.
Линейное (векторное) пространство
Совокупность действительных чисел , , … ,
в определённом порядке, называется -мерным вектором. Сами числа
, , …,
называются координатами вектора.
Пусть = {; ; … ; } и = {; ; …;
n-мерных вектора. Основными операциями над n-мерными векторами
являются:
1. Сложение: + = {+ ; + ; …; +
2. Умножение на число: = {
; ; …;
}.
Векторы и называются равными, если равны их соответствующие
координаты:
=
= , = , …, =
, заданных
} — два
}.
.
,
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]