Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в физику конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Теория теплопроводности
r
положить, что средняя длина свободного пробега упругих колебаний пропорциональна расстоянию между атомами. Температурная зависимость λ
по (3.22) должна иметь более слабый
р
характер, нежели согласно молекулярно-кинетической теории.
Результаты наших исследований теплопроводности металлов в
области высоких температур представлены на рисунках 14 и 15.
Рис. 14. Теплопроводность металлов и сплавов
L, Вт/ м*К
36
32
28
24
20
1000 120 0 14 00 1600 180 0 2 000
Ti
Z
Hf
K
Рис. 15. Теплопроводность металлов IV группы
81
Глава 3
Видно, что теплопроводность только вольфрама, молибдена и сплава Ta-W-C падает с температурой, и это свидетельствует о большом вкладе решеточного компонента в суммарную
теплопроводность. В точке перехода падение теплопроводности сплава становится весьма заметным. У тантала и рения коэффициент теплопроводности слабо растет с температурой.
Это говорит о примерно одинаковом вкладе
решеточной и
электронной теплопроводности в суммарную. У металлов с
фазовым переходом (рис. 15) виден прямо пропорциональный
рост теплопроводности с температурой в обеих фазах, причем
у титана угловой коэффициент один и тот же в обеих фазах, и
он примерно одинаков у титана и гафния. Величина скачка в
температурном интервале фазового перехода составляет:
тана ~ 20
%; циркония ~ 22,7 %; гафния ~ 42 %. Корреляции
у ти-
между величинами скачков электросопротивления и коэффициента теплопроводности не наблюдается. Особенно большое
различие у гафния — 42 и 6,4
%.
3.4. Гальваномагнитные явления
Рассмотренные выше теории электро- и теплопроводности
имеют недостатки, заключающиеся в следующем:
— формулы электро-и теплопродности содержат среднюю
длину свободного пробега
l , которая теоретически не выво-
ф
дится; следовательно, не может быть раскрыта температурная
зависимость электро- и теплопроводности;
— не раскрывается причина существенного различия меж-
ду проводником и изолятором.
Выразим электропроводность через концентрацию n и
подвижность частицы b:
σ
= enb. (3.23)
Напомним, что подвижностью частицы называют величину дрейфовой скорости, приобретаемой частицей под действием постоянной силы
F, равной единице, либо под дейст-
82
Теория теплопроводности
(
)
rrr
(
=
τ
вием постоянного электрического поля Е, также равного единице. Формула (3.23) содержит неизвестные величины: концентрацию и подвижность частиц, а также знак заряда носителей тока. Измерения электропроводности не могут внести ясность в эти вопросы, поэтому для ответа на них нужно изучать
другие явления, например гальваномагнитные, в частности,
явление Холла. Как известно, оно заключается в возникнове
нии поперечной разности потенциалов при помещении проводника с током в магнитное поле индукцией
В, нормальное к
поверхности проводника в виде ленты.
Найдем разность потенциалов, пользуясь моделью свободных электронов. Между столкновениями движение частицы,
переносящей ток, описывается уравнением
&
r
[],mv e E vB=+
которое можно записать в координатной форме:
&
mv e E v B=+
()
xxy
&
,
mv e E v B=−
yyx
&
0.
mv
,
)
z
В предположении слабости магнитного поля поперечное
электрическое поле Е
поле
В, в последних уравнениях можно рассматривать как ма-
лые поправки к основной силе еЕ
, а также члены, содержащие магнитное
у
. В нулевом приближении
х
получим:
v
где v
— скорость частицы непосредственно после последнего
0х
= v0x + eExt/m,
x
столкновения. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
mv e E v B E t
⎛⎞
&
=−−
yyx x
⎜⎟
⎝⎠
eB
0
m
откуда
,
eeB
⎛⎞
vEtvtEt
=−−
yyx x
⎜⎟
mm
⎝⎠
0
2
2
.
Если τ — время свободного пробега, то среднее значение
между двумя последовательными столкновениями будет
v
y
τ
1
vdt E v B
yyx
∫
τ
0
e
⎛⎞
=−=
⎜⎟
mm
23
⎝⎠
0
eBE
ττ
2
x
.
-
83
Глава 3
τ
y
τ
x
τ
Усредняем это выражение по всем столкновениям или (что
то же самое) по всем частицам. Если предположить, что после
каждого столкновения все направления скорости v
роятны, то при таком усреднении величина v
нуль, так что для скорости v
, усредненной по всем частицам,
y
равнове-
0
τ обратится в
0x
получится:
eeB
vEE
yyx
⎛⎞
=−
⎜⎟
mm
23
⎝⎠
2
.
τ
В установившемся состоянии
EE
Исключая отсюда
22
ne
τ
Ома
jE
=
m
2
, получим
τ
eB
=
yx
3
2
E
x
Ene=
= 0, поэтому
v
2
τ
m
/
τ
.
τ
и используя закон
23jB
. Величину R = (2/3ne)
называют постоянной Холла (если использовать статистику
Ферми — Дирака, то R = 1/ne). Умножая Е
на ширину полосы
у
а, получим выражение для поперечной разности потенциалов,
вызванной магнитным полем
V
В:
— V2 = RjBa. (3.24)
1
Условие слабости магнитного поля сводится к требованию,
чтобы поперечное электрическое поле Е
сравнению с продольным полем Е
, т. е. RjB <<Ех. Используя
х
было слабым по
y
выражения для R и j, это условие можно преобразовать к виду
Ω<<
1,
где
/eB mΩ=
— циклотронная частота. Таким об-
разом, время свободного пробега должно быть мало по сравнению с циклотронным периодом Т = 2π/Ω. Из (3.24) можно
выразить постоянную Холла:
R = (V
— V2)/jBa. (3.25)
1
Видно, что, экспериментально измеряя разность потенциалов, плотность тока и индукцию при заданной ширине ленты,
можно найти постоянную Холла и ее знак. Это позволит: по
84
Теория теплопроводности
5
R
знаку разности потенциалов определить знак носителей заряда
— электроны или дырки; найти концентрацию n носителей за-
ряда, а также число z носителей заряда на один атом. Число
атомов в единице объема определяется выражением n
= ρ/A,
ат
где N — число Авогадро, А — атомный вес. Число z находится
делением концентрации носителей заряда на n
A
z
=
2
cFc
, (3.26)
/
ρ
ат
:
где F/с — число Фарадея в системе СИ.
Зная n и электропроводность, можно по формуле (3.23)
вычислить подвижность b. Для нормальных металлов ее
значения лежат в пределах ~ (5÷50)·10
–4 м2
/(с·В). Столь низкие
значения указывают на то, что электроны в металлах испытывают много соударений с кристаллической решеткой.
Помимо нормальных металлов, для которых постоянная Холла
отрицательна, существуют металлы, обладающие аномальны-
ми свойствами. Так, у висмута и всех металлов V группы периодической системы постоянная Холла аномально велика —
4
в 10
раз больше, чем у нормальных металлов, и резко меняет-
ся с температурой.
Наконец, постоянная Холла может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Так, она отрицательна у
щелочных металлов, Cu, Ag, Au, Mg, Ca, Hg, Al, Ga, In, Ti, Mn,
Ni, Sn, Pd, Bi, Pt и положительна для Zn, Cd, V, Cr, Fe, Co, Pb,
Mo, Nb, Ta, W, Re. Дело обстоит так, как если бы носителями
тока во второй из этих групп металлов были не
отрицательные, а положительные носители заряда, аналогичные дыркам.
Однако если предположить, что первая зона Бриллюэна почти
полностью занята электронами, а во второй зоне электронов
нет и имеется запретная зона вблизи границы Ферми, то объяснение дырочной проводимости у этих металлов становится
реальным.
В металлах со смешанной проводимостью энергетический
спектр электронов еще
сложнее, и здесь возможны разные
случаи. Энергетические зоны могут перекрываться; в одних на-
8
Глава 3
6
σ
B
B
=
правлениях первая зона Бриллюэна будет не полностью занята
электронами, а в других направлениях электроны переходят в
следующую зону. При этом условии одновременно будут существовать электронная и дырочная проводимости.
В настоящее время развивается двухзонная модель металлического состояния. По этой теории металлы по изменению
сопротивления и знаку постоянной Холла можно разбить
на
две группы: к первой отнести металлы, у которых числа носителей электронов и дырок равны между собой, т.
второй — металлы с n
≠ n2. В рамках этой теории не удается
1
е. n
= n2, а ко
1
объяснить наблюдаемую в металлах смешанную проводимость. Если носителями тока в электронном проводнике являются одновременно электроны и дырки (смешанная проводимость), то электропроводность и постоянная Холла будут
зависеть от подвижности носителей тока обоих знаков:
22
nu nu
(),enu nu
=+
++ −−
R
=⋅
1
e
−
++ −−
nu nu
+
()
++ −−
(3.27)
.
2
Как видно, в этом случае знания σ и R недостаточно для
определения числа носителей тока и их подвижности: необходимо измерять подвижности u
и u- каким-либо независимым
+
способом. Только в этом случае можно найти обе концентрации n.
При экспериментальном исследовании явления Холла
нужно иметь в виду, что постоянная Холла R описывается
формулой:
E
C
R
=⋅⋅
σ
r
y
Er
xB
.
0
Измеряемая величина R будет постоянной лишь в том случае, если отношение омических сопротивлений при наличии
В и в при отсутствии будет ≈ 1.
поля
Для измерения постоянной Холла (заметим, что на самом
деле она зависит от температуры и величины индукции
обычно используется компенсационный метод. Замеряемая
разность потенциалов невелика ~ 10
–6
В. Данные о величине
В)
постоянной Холла для металлов приведены в приложении.
8
Теория теплопроводности
7
⎡
⎢⎥⎣
Тип носителей тока кроме постоянной Холла определяет и
коэффициент β термоЭДС (ε
где m
*
— эффективная масса электрона. Знак термоЭДС сов-
kkTm
=± +
β
e
= β·ΔТ), описываемый формулой:
тэдс
*3/2
⋅
ln 2 (2 )
B
π
3
hn
⎤
(3.28)
,
⎦
падает со знаком постоянной Холла. Термоэлектрические
свойства у полупроводников выражены значительно сильнее
(на два-три порядка), чем у металлов. Например, у висмута
β = –68 мкВ/К, а у селена +1000 мкВ/К. Термоэлектрические
свойства вещества описываются в рамках относительно простой теории электрических явлений в
контактах. В справочниках величину коэффициента термоЭДС β приводят по отношению к свинцу или к платине.
3.5. Жидкие металлы
Проблема жидкого состояния вещества — одна из наиболее серьезных проблем современной физики. Природа жидкости изучена значительно меньше, чем природа твердого тела
или газообразного состояния. Причина этого — сложный,
двойственный характер структуры жидкостей и теплового
движения в них. Структура жидкости, в отличие от структуры
кристаллической решетки, простирается на расстояние лишь
нескольких
молекулярных радиусов; она описывает так называемый «ближний порядок», в отличие от «дальнего порядка»
в кристаллической решетке. Теория жидкости пока еще далека
от возможности дать удовлетворительное количественное
описание даже основных термодинамических свойств.
Исследование свойств жидких металлов представляет особый интерес. Жидкие металлы принадлежат к числу простейших одноатомных жидкостей. У этих
металлов есть и своя
особенность — наличие электронного газа, что проявляется, в
частности, в существовании электропроводности и электронной теплопроводности. В то же время жидкие металлы находят все большее применение в новой технике, например в
8
Глава 3
атомной энергетике, что делает совершенно необходимым знание их свойств, особенно теплоемкости и теплопроводности.
При исследовании теплоемкости жидких металлов пред-
ставляют интерес в первую очередь два вопроса:
— изменение теплоемкости при плавлении;
— температурная зависимость теплоемкости жидких ме-
таллов.
Основная закономерность состоит в том, что изменение
теплоемкости невелико, составляет несколько процентов (так
у олова Δс
%). Незначительность изменения теплоемкости при плавле-
6
~ 3 %; у лития 3,5 %; у натрия 1,5 %; у свинца
р/ср
нии рассматривается обычно как один из аргументов в пользу
близости природы жидкой и твердой фаз металлов вблизи температуры плавления. Скачок теплоемкости коррелирует по
знаку со знаком скачка объема ΔV/V при плавлении.
Вопрос о температурной зависимости теплоемкости жидких металлов не может считаться достаточно изученным
. Результаты разных авторов противоречивы: в одних работах
найдено уменьшение теплоемкости с увеличением температуры, в других — увеличение; в некоторых исследованиях теплоемкость почти постоянна, в иных отмечается, что зависимость не является монотонной.
Вопрос о теплопроводности жидких металлов принадлежит к числу наименее изученных как в теоретическом, так и
экспериментальном отношениях. Сложность теоретического
исследования процессов переноса тепла и электричества в
жидких металлах понятна, если учесть, что при этом трудности, свойственные аналогичной задаче для твердых тел, умножаются сложностью проблемы жидкого состояния вещества.
Недостаточность экспериментального материала объясняется
трудностями проведения эксперимента, которые складываются из обычных для высокотемпературных исследований и
дополнительных сложностей, таких как обеспечение отсутствия
конвективного перемешивания, необходимость учета роли
,
в
88
Теория теплопроводности
стенок ампулы, в которой находится жидкий металл, интенсивное испарение металла и многих других.
В попытках построения теории электронных свойств жидких металлов условно можно выделить два направления.
В первом из них подход состоит в перенесении на жидкие металлы приемов исследования, разработанных для твердых металлов. Исходной позицией выступает зонная
теория твердых
тел, видоизмененная таким образом, чтобы учесть нарушения
идеально упорядоченного расположения атомов в решетке,
присущие жидкому состоянию. Эти нарушения предполагаются очень малыми, так что существенное нарушение упорядоченного расположения атомов имеет место лишь на относительно больших расстояниях. В частности, теория приводит к
выводу о существовании в жидкостях
дополнительного, специфического жидкостного механизма рассеяния электронов,
рассеяния, обусловленного структурной неупорядоченностью,
нарушениями идеально-кристаллической упаковки. Это дополнительное рассеяние, прибавляющееся к рассеянию за счет
тепловых колебаний, приводит к уменьшению длины свободного пробега электронов и увеличению теплового и электрического сопротивления. В то же время электропроводность и
электронная теплопроводность изменяются параллельно
друг
другу так, что закон Видемана — Франца для жидких металлов должен сохранять свою силу.
Представление о структуре жидкости как о малоискаженной кристаллической решетке недостаточно полно характеризует существующую в жидкостях неупорядоченность. Это
противоречит концепции, согласно которой неупорядоченное
расположение молекул жидкости качественным, коренным
образом отлично от упорядоченных структур твердого
тела, в
связи с чем непрерывный переход от твердого тела к жидкости
принципиально невозможен.
Другое направление развития теории электронных свойств
жидких металлов в известной степени противоположно первому, так как основывается на родстве жидкостей не с твер-
89
Глава 3
дым телом, а с газом, точнее — с плазмой. Данное направление довольно интенсивно развивается в последнее время, но
полученные на этом пути результаты, относящиеся в основном к электропроводности, не дают возможности для скольконибудь уверенного количественного описания совокупности
электронных свойств жидких металлов.
Отсутствие более или менее определенных теоретических
соображений об
основных закономерностях поведения тепловых свойств жидких металлов делает необходимым осуществление обширной программы экспериментальных исследований этих свойств в широкой области температур. Основными задачами экспериментального изучения, в частности теплопроводности жидких металлов, являются:
— выяснение закономерностей изменения теплопроводно-
сти металлов при плавлении;
— изучение характера температурной зависимости тепло-
проводности
в широком диапазоне температур;
— сопоставление электро- и теплопроводности, определение температурной зависимости числа Лоренца, проверка выполнимости закона Видемана — Франца.
При попытках теоретической интерпретации существующих экспериментальных закономерностей целесообразно обратиться к выводам, которые можно сделать из анализа результатов, относящихся к электрическим свойствам жидких
металлов: электропроводности и эффекта Холла.
Согласно
имеющимся данным, при плавлении металлов не происходит
существенного изменения подвижности носителей тока. Для
объяснения изменения электропроводности при неизменной
подвижности приходится делать вывод, что концентрация
электронов при плавлении у большинства металлов уменьшается примерно в два раза. С другой стороны, в ряде экспери-
ментов показано, что результаты хорошо согласуются с расче
том в предположении, что число свободных электронов, приходящихся на атом в жидком металле, равно числу валентных
электронов (исключение составляют свинец и висмут). Неод-
-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]