Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в физику конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Теория теплопроводности
π
Δ
импульса верен с точностью до
ратурах, близких к абсолютному нулю, теплопроводность
кристаллов должна бы возрастать с температурой вместе с его
теплоемкостью, а затем быстро падать из-за уменьшения длины свободного пробега фононов. Насколько верна такая точка
зрения, будет ясно в дальнейшем.
В идеальном гармоническом кристалле фононные состояния будут стационарными, если установилось
пределение фононов с направленными в одну сторону групповыми скоростями, то оно не меняется с течением времени и
поток тепла не затухает. Таким образом, идеальный гармони-
ческий кристалл имел бы бесконечную теплопроводность —
так же, как и бесконечную электропроводность. В реальных
кристаллах теплопроводность ограничена двумя факторами:
1) рассеивание фононов на
модействие фононов, появляющееся из-за ангармонизма коле-
баний решетки. При взаимодействии фононов происходят процессы как без участия решетки (N-процессы), так и при ее участии — так называемые процессы переброса Пайерлса.
N-процессы сами по себе не приводят к восстановлению равновесного распределения фононов: перенос энергии может сохраняться и при отсутствии градиента температуры, что означает бесконечную теплопроводность.
В процессах переброса направление энергии не совпадает
с направлением групповых скоростей. В этих процессах участвует решетка, и они приводят к установлению равновесного
распределения фононов и к конечному значению теплопроводности. При таких столкновениях суммарный импульс фононов оказывается за
нему добавляется импульс, полученный от решетки. В результате вектор родившегося фонона имеет направленность, сильно отличающуюся от суммарного импульса фононов. Процессы переброса происходят при сравнительно высоких температурах, когда велика вероятность встретить фонон с большими
значениями волнового вектора и энергии.
несовершенствах решетки; 2) взаи-
границей первой зоны Бриллюэна, и к
2/.phna
=⋅
При темпе-
некоторое рас-
71
Глава 3
D
3.2. Температурная зависимость теплопроводности
Высокие температуры — это область
Tθ> , где теп-
лоемкость будет в классическом пределе примерно постоянна. В то же время число фононов с волновым числом k
/4G≥
достаточно велико (G — вектор обратной решетки).
Тогда средняя длина свободного пробега для всех фононов
окажется обратно пропорциональной вероятности столкновения с этими высокоэнергичными фононами. Вероятность
пропорциональна их числу, или температуре Т, поскольку
оно пропорционально возрастает при высоких температурах. В итоге получается, что при высоких температурах теплопроводность обратно пропорциональна температуре
λ
= С / Т,
ф
:
что представляет собой известный закон Эйкена, установленный экспериментально.
В области низких температур теплоемкость пропорцио-
3
нальна кубу температуры Т
/4G≥
k
очень мало. Длина свободного пробега должна была
, и в этом случае число фононов с
бы стремиться к бесконечности, но этого не происходит — начинает сказываться рассеяние фононов на структурных неоднородностях (дефектах, границах зерен и т.
п.). Тогда она оп-
ределяется в основном концентрацией дефектов, не зависящей
от температуры. Поэтому можно считать, что длина свободного пробега не зависит от температуры, а теплоемкость пропорциональна кубу температуры. Коэффициент теплопроводности также будет пропорционален кубу температуры, что и
наблюдается экспериментально. В промежуточной области
фононная теплопроводность ограничивается процессами пе
реброса. В итоге во всем диапазоне температур теплопроводность будет иметь вид, качественно представленный на рисунке 12.
-
72
Теория теплопроводности
а б
Рис. 12. Теплопроводность: а — диэлектриков; б — металлов
В диэлектриках перенос тепла осуществляется только фононами. Левая восходящая ветвь на рисунке 12, а ~ Т
обусловлено увеличением числа фононов с ростом температуры, а правая нисходящая ветвь ~ Т
–1
и связана с ослабляющим
3
, что
фонон-фононным и другими видами рассеяния. Вид зависимости для металлов (рис. 12, б) качественно похож на кривую
для диэлектриков, что связано с преобладанием при низких
температурах фононного механизма теплопередачи. Однако с
ростом температуры фононный компонент падает как Т
–1
, а
превалирующим становится электронный компонент.
Экспериментальные результаты для меди показаны на рисунке 13.
2300
1800
1300
800
300
Cu L, Вт/мК
0 20406080100
500
475
450
425
400
375
350
325
300
Т, К
Cu L, Вт/мК
100 300 500 700 900 1100 1300
Т, К
а б
Рис. 13 Теплопроводность меди в области температур:
а — низких; б — высоких
Из графиков на рисунке 13 видно, что при низких темпера-
турах λ ~ Т
3
, а в области температур λ ~ Т–1, что находится в
хорошем согласии с теорией.
73
Глава 3
⋅
τ
=
3.3. Теплопроводность металлов
Теплопроводность газа Ферми можно получить, воспользовавшись выражением для теплоемкости электронного газа
Ферми (1.41), полагая
2
mυε=
2/
.
FF
Тогда для коэффициента теплопроводности электронного
получим
газа λ
е
22
kn T
πτ
λ
=⋅
e
3
где n — концентрация электронов:
⋅
, (3.1)
m
.
/
lv
ф F
Возникает естественный вопрос: что является переносчиком большей части теплового потока в металлах — электроны
или фононы? Известно, что чистые металлы при комнатных
температурах имеют теплопроводность на один-два порядка
бόльшую, чем твердые диэлектрики, следовательно, в этих условиях почти весь поток тепла должны переносить электроны.
В чистых металлах при любых
температурах теплопроводность обусловлена в основном электронами. В металлах с
примесями, а также в неупорядоченных сплавах вклад фононов в теплопроводность может быть сравним с вкладом электронов.
Закон Видемана — Франца утверждает, что для металлов
при не очень низких температурах отношение электронного
компонента коэффициента теплопроводности к удельной электропроводности прямо пропорционально
температуре, причем
коэффициент пропорциональности является универсальной постоянной и не зависит от химической индивидуальности металла. Этот результат был весьма важным этапом истории развития теории металлов, так как свидетельствовал в пользу модели
электронного газа. Закон Видемана — Франца можно получить,
если воспользоваться выражениями (3.1) и (2.27):
3
2
⎛⎞
⎜⎟
e
⎝⎠
(3.2)
.
T
λ
σ
22 2
πτ π
knT m k
e
==⋅
ne m
/3
2
τ
/
74
Теория теплопроводности
5
=
σ
λ
В связи с этим законом вводят число Лоренца L0, опреде-
ляемое соотношением
e
/ LT
. (3.3)
0
Согласно (3.2) число Лоренца должно иметь следующее
численное значение:
π
L ⋅⋅=
=
0
⎟
⎜
⎟
⎜
3
е
⎠
⎝
−
28
. (3.4)
/1045,2
KОмВт
2
2
k
⎞
⎛
Лоренц получил это выражение раньше, но коэффициент у
него был равен 2. Формула для L
замечательна тем, что ни
0
концентрации, ни массы она не содержит, как и время τ, если
время релаксации одно и то же для электронных и тепловых
процессов. По чисто классической теории с максвелловским
распределением скоростей для L
этот результат Друде в пределах 10
дится в согласии с опытом. Отличие, как видно, заключается в
коэффициентах: (π
2
/3) = 3,286, в то время как при максвеллов-
можно получить L0 = 3(k/e)2 —
0
% совпадает с (3.4) и нахо-
ском распределении он равен 3.
Рассмотрим более подробно вопрос о температурной зависимости коэффициента теплопроводности металлов в области
высоких температур. Характерными для этой области Т > θ
D
могут считаться следующие основные факты.
Распределение электронов по энергиям характеризуется
наличием размытого слоя толщиной ~ kT вблизи поверхности
Ферми. Основной причиной ограничения свободного пробега
электронов выступает их взаимодействие с колебаниями решетки — фононами. Длины волн фононов и электронов проводимости становятся величинами одного порядка. Следствием этого является то, что примеси (при
не слишком большой
разности в валентности) начинают в одинаковой степени рассеивать эти типы возбуждений. Теплоемкость решетки принимает постоянное значение, определяемое законом Дюлонга —
Пти и равное 3R. Приведем основные, по Займану, выводы
теории переноса, выступающие основой качественного (а иногда и количественного) анализа результатов экспериментальных исследований.
7
Глава 3
6
λ
=
λ
=
θ
Можно предположить, что общий перенос тепла в металлах и сплавах может быть представлен в виде суммы двух
главных его составляющих — потока, переносимого решеткой, и потока, переносимого электронами проводимости, т.
λ = λ
+ λе. (3.5)
р
е.
Полагая справедливым правило Матиссена для обратной
величины решеточной теплопроводности, можем записать:
где W
— тепловое сопротивление, обусловленное процессами
Т
1/ ,
WWWW
pTiBe
++ +
переброса при фонон-фононных взаимодействиях, т.
(3.6)
е. про-
цессами, при которых волновой вектор фононов изменяется на
конечную величину; W
фектах решетки; W
— обусловлено рассеиванием на де-
i
— на границах образца; We — на электро-
B
нах проводимости.
При условии Т > θ
тур) для W
может быть получено:
Т
(область средних и высоких темпера-
D
23
χ
≈
/,
WTdCa
T
(3.7)
0
где χ — постоянная Грюнайзена; d
— плотность образца; С —
0
скорость звука; а — постоянная решетки.
Если скорость звука выразить через θ
, то в предположе-
D
нии отсутствия других механизмов рассеяния на основании
выражения (6.7) получим формулу Лейбфрида — Шлемана:
здесь λ
λθ
⋅
0
pD
Aa
22
, где A — средний атомный вес.
/
χ
D
~
0
(3.8)
/,
T
Оценка длины свободного пробега фонона, характеризующей рассматриваемый тип рассеяния дается формулой Лейбфрида — Шлемана:
T
20
a
пл
≈
l
ф
χ
(3.9)
.
2
T
Следует отметить приближенный характер приведенных
соотношений для теплопроводности решетки λ
. Займан под-
р
черкивает, что их нужно рассматривать лишь как нижний пре-
7
Теория теплопроводности
7
≤
λ
−
=
дел для решеточной теплопроводности, что связано с применением в выводах вариационого метода.
Тепловое сопротивление W
в области высоких температур
i
может быть принято постоянным, его величина зависит от вида и концентрации дефектов решетки. В области высоких температур тепловое сопротивление W
B
~ 0.
Для металлов и сплавов интерес представляет сопротивление W
где ρ
, которое Займан оценивает как
е
2
n
ρ
W
e
ke
()
— электрическое сопротивление металла, связанное с
ф
ф a
/
1
, (3.10)
⋅
2
T
рассеиванием электронов проводимости на фононах.
Учитывая, что при средних и высоких температурах ρ
~ Т,
ф
можно сделать вывод, что при изменении температуры величина W
одновалентных металлов W
будет постоянна. По оценкам Займана, при Т ~ θD для
е
≈ 0,1WТ. При более высоких тем-
е
пературах влияние фонон-электронного взаимодействия на
суммарное сопротивление решетки должно, следовательно,
уменьшаться.
Таким образом, в области температур, превышающих дебаевскую (Т > θ
), следует ожидать температурную зави-
D
симость теплопроводности решетки вида:
λ
= 1/(АТ + В), (3.11)
р
где А и В зависят от строения вещества и его физических характеристик.
Теплопроводность λ
, обусловленная электронами прово-
е
димости, также определяется совокупным воздействием различных механизмов рассеяния. Важнейшие среди них — электрон-фононное взаимодействие и рассеяние на различных
структурных дефектах:
1/
WW
eeф eD
+
. (3.12)
−
В области высоких температур теория предсказывает существование простой связи обеих составляющих с соответствующими компонентами электросопротивления металла.
7
Глава 3
ρ
ρ
−
λ
D
θ
=
Выражениями этой связи является закон Видемана —
Франца, действующий всегда, когда рассеяние может считаться упругим. В соответствии с ним
где
W
−
e ф
2
k
π
L
⎛⎞
==⋅
0
⎜⎟
3
⎝⎠
2,45 10
e
ф
W
;
≈
LT
8
Вт/К2 — число Лоренца. (3.14)
eD
0
=
i
(3.13)
,
≈
LT
0
Таким образом, находим для электронной теплопроводности:
LT
() .
e
0
TLT
==
ρ
(3.15)
σ
0
Известная формула Блоха
ρρ
0ф TK
=
T
(3.16)
⋅
позволяет сделать вывод о том, что в отсутствие примесного рассеяния в идеальном металле электронная теплопроводность не будет зависеть от температуры. В общем случае
следует ожидать зависимости следующего вида:
L
λ
T
()
e
=
αβ
+
o
. (3.17)
T
/
Для ряда переходных металлов эта зависимость еще более
усложняется в связи с возрастающим с температурой рассеянием электронов проводимости из S-зоны в d-зону. На кривой
ρ(Т) это выражается в виде отклонения от линейной зависимости в сторону уменьшения. Относительное изменение удельного электросопротивления, вызванное этим процессом, отри
цательно и, по Займану, может быть оценено по формуле
где Е
=−
2
24
∂
ρπ
ρ
— расстояние от поверхности Ферми до потолка d-зоны.
Fd
2
⎛⎞
kT
(3.18)
⎜⎟
⎝⎠
,
E
Fd
-
78
Теория теплопроводности
−
≈
С учетом (3.18) можно (3.17) записать следующим образом
L
() .
T
λ
≈
e
αξ
0
21
1
TBT
−+
()
(3.19)
−
Таким образом, электронная теплопроводность металлов в
общем случае может возрастать с температурой. Общую температурную зависимость теплопроводности представим так
(Т > θ
):
D
() () () 1/( ) [(1 ) ],
TTTATBL TBT
λλ λ αξ
=+≡++ −+
pe
0
211
−
откуда видно, что общая теплопроводность может характеризоваться как растущими значениями теплопроводности с
температурой, так и падающими либо не изменяющимися.
Следует заметить, что в области высоких температур в соответствии с теорией проводимости металлов и сплавов экспериментальные значения числа Лоренца (учитывающие и λ
)
р
не могут быть ниже теоретического. Это дает известный критерий достоверности тех или иных результатов при экспериментальных исследованиях теплопроводности металлов и
сплавов.
В жидкостях перенос тепла теплопроводностью происходит по типу распространения продольных колебаний (ввиду
отсутствия поперечных колебаний) — аналогично распространению звука. В твердых телах перенос тепла теплопроводно-
осуществляется как фононами (диэлектрики), так и сво-
стью
бодными электронами (металлы и сплавы). Для фононного
компонента считается справедливым закон Эйкена, приведенный выше:
C
λ
ф
()
T
. (3.20)
T
Как было показано, теплопроводность, обусловленная
электронами проводимости, слабо зависит от температуры и
может иметь как положительный, так и отрицательный знак,
так что для большинства металлов суммарная теплопроводность падает с ростом температуры приблизительно по линей-
79
Глава 3
=
ному закону. Как правило, электронная теплопроводность
больше решеточной, причем обычно λ
~ 0,1÷0,3λ
ф
сум
.
Разделение теплопроводности металлов на компоненты и
представление ее в виде простой суммы этих компонент весьма условно. Суммирование этих двух членов не означает, что
механизмы электронной и фононной (решеточной) теплопроводности являются аддитивными, не влияющими друг на друга. В общем случае процесс переноса тепла решеткой металла
не тождественен процессу,
который имел бы место в аналогичной решетке диэлектрика: существование электронного газа должно влиять на характер переноса тепла колебаниями
решетки.
Основной существенной закономерностью, относящейся к
металлов при высоких температурах, выступает, как было
λ
е
показано выше, закон Видемана — Франца (3.2), справедливый для всех металлов при высоких температурах. Его использование позволяет по экспериментальным значениям коэффициента теплопроводности металла оценить фононный
компонент:
λ
= λ
ф
– L0 σТ, (3.21)
эксп.
однако точность таких оценок невелика.
Выше для решеточной теплопроводности был приведен
закон Эйкена. Несколько иной подход к этой проблеме был у
С. Предводителева. Исходным пунктом его теории является
А.
положение о соответствии между акустическими колебаниями, описывающими тепловое движение в теле, и температурными волнами в этой среде (длина Т-волны равна средней
длине волны поперечных и продольных акустических колебаний). Согласно этой теории
E
2, 41 ,
λρ
pp
⋅⋅
cd
(3.22)
ρ
где Е — модуль Юнга; d — среднее расстояние между атомами.
Это выражение сходно с формулой, полученной из моле-
кулярно-кинетических соображений и из нее получается, если
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]