Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в физику конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Теория электропроводности
j
j
σ
j
σ
водимости) в металлах практически не зависит от температуры, а в полупроводниках носители тока сами возникают в результате теплового движения.
Электропроводимость в полупроводниках обусловлена
двумя типами свободных носителей — электронов и дырок.
Появление электрического тока обусловлено двумя причинами: наличием электрического поля и наличием градиента концентрации свободных носителей. На основании
этого плотность тока в полупроводниках в общем случае будет суммой
четырех компонент:
— дрейфовый компонент электронного тока, jnD — диф-
где j
nE
jj j j j j=+=+++
,n p nE nD pE pD
фузионный компонент электронного тока; то же самое для
дырочного тока с индексом р.
Выражения для каждого из компонент тока дается сле-
дующими соотношениями:
где D
=
nE n
— коэффициент диффузии электронов, связанный с
n
=
pE p
;
E
;
E
jeD
nD n
dn
=
dx
подвижностью электронов выражением D
jeD
=−
;
pD p
= kTμn/q.
n
dp
dx
,
Аналогично для дырок.
В металлах, в силу слабой связи валентного электрона с
атомным ядром, он может быть легко «оторван», вследствие
чего в объеме появляется много — по Френкелю — «коллективизированных электронов», чем и обеспечивается высокая
электропроводность металлов. В полупроводниках — благодаря значительно более сильной связи валентных электронов с
ядрами атомов —
ситуация иная. Чтобы оторвать электрон от
атома и превратить его в электрон проводимости, требуется
сообщить ему некоторую энергию, называемую энергией ио-
низации. Она поставляется тепловыми колебаниями атомов
решетки. Для разных полупроводников энергия ионизации
лежит в пределах от 0,1 до 2 эВ, т.
е. заметно выше средней
кинетической энергии теплового движения атома 3/2 kТ ≈ 0,04 эВ.
51
Глава 2
Несмотря на это, тепловое движение вызывает ионизацию
атомов, так как из-за его хаотичности мгновенная кинетическая энергия атома может в несколько раз превышать ее среднее значение. Число атомов с энергией, равной или превышающей энергию ионизации, относительно очень мало. Поэтому в полупроводниках мала и концентрация свободных
электронов, образующихся
в результате ионизации. Однако с
повышением температуры эта концентрация и связанная с ней
электропроводность повышаются. Процессы ионизации сопровождаются обратными процессами рекомбинации, в результате которых свободные электроны вновь захватываются атомами. В состоянии равновесия средние числа актов
ионизации и рекомбинации одинаковы, в результате устанавливается вполне определенная равновесная концентрация
свободных электронов, зависящая от температуры полупроводника.
Омическое сопротивление полупроводника (термистора)
описывается экспоненциальной функцией следующего вида:
R(Т) = А·exp(B/T), (2.1)
где А и B — постоянные, значения которых определяются экспериментально. Последний называют коэффициентом температурной чувствительности; у разных полупроводников их
значения лежат в пределах: А — от 10
В ≈ (2—6)·10
3
К.
–5
кОм до 10–8 МОм;
Из приведенной формулы видно, что при Т→ 0 сопротивление полупроводника стремится к бесконечности, а его электропроводность, естественно, к нулю. Диапазон температур
для полупроводников составляет от –60 до + 85, 100, 125,
0
С.
300
Как правило, полупроводники представляют собой сплавы
различных элементов, и в зависимости от их концентрации сопротивление полупроводников лежит в очень широких пределах — от 1 кОм до 40 МОм. Согласно (2.1) температурный коэффициент сопротивления (ТКС) полупроводников — отрицательный (dR/dT < 0) и, как минимум, на порядок превышает
ТКС металлических проводников. Это позволяет использовать
52
Теория электропроводности
полупроводники в схемах стабилизации в качестве следящеуправляющих элементов с обеспечением высокого уровня стабилизации без усилительных схем, обычно применяемых в
схемах с сопротивлениями металлического типа.
Классическая теория электропроводности твердых тел,
приведшая к закону Ома, выполняющемуся при не очень
сильных полях, тем не менее не смогла объяснить, в частности, температурную зависимость удельного электрического
сопротивления. Этот факт был весьма настораживающим, если учесть простоту экспериментов при исследовании электропроводности и обеспечиваемую большую точность измерений.
В этих исследованиях нельзя было «отговориться» большой
погрешностью результатов, как, скажем, при исследованиях
теплоемкости и теплопроводности. Тем более что пропорцио-
Т
нальности
и Т слишком разные, чтобы объяснять всё
большой погрешностью опытных данных. Основываясь на
модели свободных электронов, можно объяснить ряд важных
физических свойств металлов, особенно простых металлов.
Согласно этой модели наиболее слабо связанные (валентные)
электроны составляющих металл атомов могут довольно свободно перемещаться в объеме кристаллической решетки. Эти
валентные электроны становятся
носителями электрического
тока в металле, и поэтому их называют электронами проводимости. В приближении свободных электронов можно пренебречь силами взаимодействия между валентными электронами
и ионными остовами и вести все расчеты так, как если бы
электроны были действительно свободными и без всяких ограничений могли перемещаться в любой области образца.
полную энергию можно считать равной их кинетической
Их
энергии, а потенциальной допустимо пренебрегать.
Интерпретация свойств металлов, основанная на модели
свободных электронов, была развита задолго до создания
квантовой механики. На этом пути классическая теория имела
ряд выдающихся успехов и одновременно несколько серьезных провалов. К успехам относился вывод закона Ома, кото-
53
Глава 2
рый устанавливал связь плотности тока с величиной напряженности электрического поля, и вывод соотношения между
электропроводностью и теплопроводностью. В то же время
классическая теория оказалась полностью неспособной объяснить температурную зависимость электропроводности, температурное поведение теплоемкости и парамагнитной восприимчивости электронов проводимости.
Была и еще одна трудность. Используя классическую тео-
, нельзя объяснить, почему столь велики длины свободно-
рию
го пробега электронов. Самые различные эксперименты с несомненностью показывали, что электроны проводимости в металле могут свободно перемещаться, не испытывая столкновений с другими электронами проводимости или ионными
остовами и не отклоняясь от прямолинейного пути на расстояния, составляющие не один порядок
В наиболее чистых образцах при низких температурах средняя
длина свободного пробега может достигать 10
постоянной решетки.
8
—109 меж-
атомных расстояний (более 1 см), что намного превышает
ожидаемые классические оценки, основанные на том, что известно об атомах. Требовалось ответить на вопросы: почему
конденсированная среда, независимо от ее агрегатного состояния (твердая или жидкая) столь прозрачна для электронов
проводимости? почему электроны проводимости ведут себя в
этом отношении как газ
невзаимодействующих частиц?
Ответ на эти вопросы состоит из двух частей:
а) электроны проводимости не откланяются ионами пото-
му, что ионы расположены в правильной периодической решетке, в которой волны (в данном случае электронные волны),
как во всякой периодической структуре, распространяются
свободно;
б) электроны проводимости редко испытывают рассеяние
на других электронах проводимости
.
Это свойство электронов является следствием принципа
Паули. Газ свободных невзаимодействующих электронов, подчиняющихся принципу Паули, будем называть свободным
электронным газом Ферми.
54
Теория электропроводности
ψ
=
2.2. Энергетические уровни
и плотность состояния в одномерном случае
Прежде всего, рассмотрим поведение газа свободных элек-
тронов в одномерном случае, исходя при этом из квантовой
теории и учитывая принцип Паули. Пусть движение электрона
массой m
ограничено прямой, имеющей длину L; на концах
этого отрезка имеются бесконечной высоты потенциальные
барьеры (рис. 7).
– – – – – – энергетические уровни;
волновые функции (в относительных единицах)
Рис. 7. Схема волновой функции
Волновая функция электрона определяется уравнением
Шрёдингера:
HE
,
ψ
потенциальной энергией мы пренебрегаем, и поэтому гамильтониан
Η=
p2/2m, где р — импульс электрона.
В квантовой механике импульс р есть оператор
d
ihdx−
Тогда
2
2
где ε
— энергия электронов в состоянии n, описываемая вол-
n
новой функцией ψ
H
ψ
n
h
n
2
m
.
ψ
dx
)(
xd
n
2
, (2.2)
ψε
⋅=⋅−=
nn
55
.
Глава 2
6
π
ψ
A
ψ
ππψ
A
Граничные условия имеют вид:
ψ
(0) = 0; ψn (L) = 0 (2.3)
n
в силу того, что на концах прямой имеются потенциальные
барьеры бесконечной высоты.
Граничные условия удовлетворяются автоматически, если
волновая функция имеет синусоидальную форму, а n — целое
число полуволн, укладывающихся на интервале от 0 до
L.
Действительно,
2
sin(~
2
1
);
n
λ
2
nn
. (2.4)
Lnx
=⋅
Итак, волновая функция имеет вид:
n
π
=⋅
n
⎛⎞
sin ,
⎜⎟
⎝⎠
(2.5)
x
L
где А — константа.
Ясно, что функция (2.5) удовлетворяет уравнению Шрё-
дингера, поскольку
d
dx
n
n
A
=
L
n
L
2
d
ψ
n
);cos( x
=− ⋅
2
dx
2
nn
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
sin ,
LL
x
и, согласно (2.2), собственные значения энергии в одномерном
случае даются формулой
2
h
=
ε
n
⎛
⎜
m
2
⎝
2
n
π
⎞
. (2.6)
⎟
L
⎠
Энергия есть квадратичная функция квантового числа n,
е. имеет не произвольные, а строго определенные квантован-
т.
ные значения, называемые собственными значениями энергии.
Пусть в нашей системе на отрезке (0, L) имеется N электро-
нов. В простейшей формулировке принцип Паули утверждает,
что никакие два электрона в такой системе не могут иметь
одинаковые квантовые числа. Это означает, что каждая волновая функция (
орбиталь) описывает состояние, которое может
быть занято не более чем одним электроном.
В одномерном твердом теле квантовые числа электрона (в
данном случае электрона проводимости) есть n и m
, где n —
s
5
Теория электропроводности
7
±
=
целое положительное число, а
m
s
соответствует двум
2/1
ориентациям спина. В паре состояний (орбиталей), имеющих
общее квантовое число n, электроны находятся в разных состояниях: один со спином «вверх», другой со спином «вниз».
Если в системе восемь электронов, то в основном состоянии
системы заполнение индивидуальных состояний, описываемых орбиталями, будет соответствовать показателям таблицы 6.
Таблица 6
Заполнение квантовых состояний
Квантовое число Направления спинов
n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
m
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
Наличие электрона 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Обозначим через n
квантовое число наивысшего занятого
F
энергетического уровня; отсчет заполненных уровней ведем
снизу (от дна, отвечающего значению n =1) и, продвигаясь далее вверх, заполняем электронами уровень за уровнем до тех
пор, пока не будут размещены все N электронов. Удобно
предположить, что N — четное число. Тогда число n
, т. е. чис-
F
ло n для высшего заполненного уровня, определяется условием 2n
= N. Энергию Ферми
F
ε
определяем как энергию
F
электронов на высшем еще заполненном уровне. Согласно
(2.6) при n = n
в одномерном случае имеем:
F
2
n
π
hhN
⎛⎞
ε
==⋅
F
F
⎜⎟
mL m
222
⎝⎠
2
π
2
L
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
2
. (2.7)
2.3. Распределение Ферми — Дирака
Основное состояние системы — это состояние при абсо-
лютном нуле. Что будет происходить при повышении температуры? Кинетическая энергия электронного газа при этом
5
Глава 2
−
увеличится, и некоторые энергетические уровни, которые при
абсолютном нуле были вакантными, оказываются занятыми;
одновременно часть уровней, которые при абсолютном нуле
были заняты, становятся вакантными. Эту ситуацию иллюстрирует рисунок 8, где изображены при разных температурах
графики функции
εμ
−
1
() (1 )
fe
ε
=+
kT
. (2.8)
Рис. 8. Графики функции Ферми — Дирака
Это функция распределения Ферми — Дирака, которая дает
вероятность того, что в состоянии теплового равновесия идеального электронного газа при температуре T состояние с
энергией ε занято электроном. Величина μ является функцией
температуры; в каждой конкретной задаче величина μ определяется из условия постоянства полного числа электронов
в системе, то есть из
условия, что число электронов равно N.
При абсолютном нуле μ = εF, так как в пределе T → 0 функция
f(ε) изменяется скачком от значения, равного 1 (заполненный
уровень), до значения 0 (вакантный уровень) при ε = εF = μ.
При любой температуре T > 0 при ε = μ функция f(ε) равна 1/2,
58
Теория электропроводности
L
ψ
ψ
ψ
=
+
ψ
π
поскольку знаменатель (2.8) при ε = μ равен 2. Величина μ называется химическим потенциалом при абсолютном нуле.
μ
низких температурах величина
2.4. Энергия Ферми
близка к значению
При
ε
.
F
Уравнение Шрёдингера для свободной частицы в трехмер-
ном случае имеет следующий вид:
22
⎛
h
⎜
−
⎜
2
m
⎝
∂
∂
+
2
2
∂
∂
⎞
∂
⎟
+
2
⎟
zyx
∂
⎠
. (2.9)
)()(
rr
ψεψ
⋅=
kkk
2
2
Если электроны заключены в ограниченном объеме, имеющем форму куба со стороной L, то решением уравнения (2.9)
будет функция, представляющая собой аналог волновой функции (2.5) для одномерного случая, а именно:
ny
π
nx
π
⎛⎞
где n
, ny, nz — положительные целые числа. Это стоячая волна.
x
=⋅ ⋅ ⋅
()
r A Sin Sin Sin
n
x
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
y
⎜⎟
LL
⎝⎠
nz
π
⎛⎞
z
⎜⎟
⎝⎠
, (2.10)
Введем волновые функции, удовлетворяющие периодическим граничным условиям. Потребуем, чтобы волновые функции были периодическими функциями по x, y, z с периодом L, т.
),,,(),,,( zyxzylx
, (2.11)
е.
и аналогичные условия для координат y и z.
Волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера для свободной частицы (2.9) c периодическими граничными
условиями (2.11), представляют собой бегущие плоские волны:
rik
er⋅=)(
k
(2.12)
при условии, что компоненты волнового вектора k принимают
следующий набор значений:
k
=± ±
x
и аналогичные наборы для k
22
0; ;
LL
и kz.
y
π
(2.13)
59
Глава 2
F
(
)
Иначе говоря, любой компонент вектора k имеет вид 2πn/L,
где n — целое положительное или отрицательное число. Компоненты k являются квантовыми числами рассматриваемой
задачи наряду с квантовыми числами m
, задающими направ-
s
ление спина. У свободных электронов занятые состояния
можно описывать точками внутри сферы в k-пространстве.
Энергия, соответствующая поверхности этой сферы, имеют
длины, равные k
Ферми. Следовательно, для энергии Ферми
Из условий (2.12) для k
шенному волновому вектору, т.
чисел k
и kz, отвечает элемент объема в k-пространстве ве-
x, ky
личиной (2π/L)
чек,
описывающих разрешенные состояния, равно числу ячеек
объемом (2π/L)
, а сама поверхность является поверхностью
F
ε
имеем:
F
2
h
2
(2.14)
ε
=
x, ky
3
. Поэтому в сфере объемом
3
, и поэтому число разрешенных состояний равно
3
3/
π
k
F
2
L
.
k
F
2
m
и kz вытекает, каждому разре-
е. каждой тройке квантовых
3
k
F
число то-
4/3
π
V
3
, (2.15)
Nk
==
F
23
3)/2(
ππ
где множитель 2 в левой части учитывает два допустимых
значения спинового квантового числа m
для каждого разре-
s
шенного значения k.
Полное число состояний положим равным числу электронов N.
Итак, из (2.15) имеем:
kNV
F
2
3/
π
=
Отметим, что радиус сферы Ферми k
1/3
. (2.16)
зависит лишь от кон-
F
центрации частиц N/V и не зависит от массы m. Используя
(2.16), получим энергию Ферми ε
60
h
ε
=
F
2
m
:
F
22
⎛
3
π
⎜
⎜
V
⎝
3/2
⎞
N
. (2.17)
⎟
⎟
⎠
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]