Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в физику конденсированного состояния вещества. Учебное пособие
.pdf
Теория электропроводности
F
=
ε
Это соотношение устанавливает зависимость энергии Ферми от концентрации электронов N/V и от их массы. Для ско-
2
N
получим:
F
3/1
⎞
. (2.18)
⎟
⎟
⎠
рости электронов на поверхности Ферми v
k
h
υ
F
⎛
3
π
h
F
⎜
==
⎜
V
mm
⎝
Выведем теперь выражение для числа состояний на еди-
ε
ничный интервал D(
), часто называемый плотностью состоя-
ний. Используем (2.16) для нахождения полного числа состояний с энергией, меньшей или равной ε
2
m
V
N
=
3
π
ε
⎛
F
⎜
22
h
⎝
F:
2/3
⎞
, (2.19)
⎟
⎠
так что для плотности состояний c энергией Ферми будем
иметь:
2/3
2
Температура Т
D
F
, соответствующая энергии Ферми, называ-
0
=≡
ε
d
2
F
dN
ε
)(
mV
⎞
⎛
⎟
⎜
22
π
h
⎠
⎝
2/1
(2.20)
ε
⋅
F
ется температурой вырождения:
23
h
π
kT
0
;
Tn
=
0
2
mk
2/3
.
При температуре, много меньшей температуры вырождения, система является квантовой, в другом предельном случае
она классическая. Температура вырождения для электронов с
плотностью порядка 10
23
см –3 будет равна Т0 = 105 К.
Из этой оценки следует, что при всех температурах, пока
тело остается твердым, его электронный спектр носит квантовый характер. Иными словами, электроны в металле всегда
бывают вырожденной системой. Таким образом, в физике металлов важнейшую роль играют электроны, энергия которых
близка к энергии Ферми. Эти электроны располагаются вблизи
поверхности
Ферми — поверхность ε = εF в k- или р- пространстве. Поверхность Ферми сохраняет периодичность волнового числа (или квазиимпульса) и состоит из повторяю-
61
Глава 2
=
E
r
r
τ
=
−
r
τ
щихся геометрических фигур, которые могут иметь самые разные формы.
2.5. Электропроводность и закон Ома
Импульс свободного электрона связан с волновым векто-
ром соотношением
.mv hk
(2.21)
Со стороны электрического поля
FeE=−
сила
r
, и поэтому в соответствии со вторым законом
на электрон действует
Ньютона уравнение движения электрона имеет вид:
G
dV dk
mh
dd
G
. (2.22)
eE
=
τ
В отсутствии столкновений внешнее постоянное электри-
ческое поле одинаково смещает все точки сферы Ферми в
k-пространстве (рис. 9).
а б
Рис. 9. Сфера Ферми:
а — при τ = 0; б — при τ = δτ
Проинтегрируем (2.22), получим:
() (0)
kk
−=−
GG
G
eE
. (2.23)
τ
h
62
Теория электропроводности
δ
=
τ
=
δ
=
j
σ
r
r
Если поле Е включено в момент времени τ = 0, то электронный газ, заполнявший сферу Ферми в момент включения
поля так, что ее центр находился в начале координат k-
пространства, спустя время
пространства; они по-прежнему заполняют сферу, но теперь ее
центр окажется смещенным из начала координат на «расстоя-
δ
k, причем
ние»
Вследствие столкновений электронов с примесями и с фононами сфера Ферми может стационарно сохранять свое смещенное положение при заданном электрическом поле. Если
среднее время между столкновениями равно
ционарное в данном поле смещение сферы Ферми
ляется выражением (2.24).
Для приращения скорости δv имеем:
Если в единице объема мы имеем n электронов, каждый с
зарядом q = —e, то в постоянном электрическом поле
гласно (2.25) плотность тока, вызванного этим полем, равна
==
δ
τ окажутся в других точках k-
/keE h
δτ
−⋅ . (2.24)
/2
τ
, то ста-
δ
k опреде-
/.veEm
τ
− (2.25)
Е со-
nq ne E m
δν τ
2
(2.26)
/.
Это выражение имеет форму закона Ома. Электропроводность σ есть по определению коэффициент пропорциональности между плотностью тока
следовательно, из (2.25) имеем
Этот вывод справедлив в случае, когда скорости или времена свободного пробега электронов одинаковы, но это довольно грубое упрощение. На самом деле электроны имеют
разные времена свободного пробега, в силу чего средняя упо-
j и полем Е, т. е.
jE
σ
=
;
=
2
τ
ne
. (2.27)
m
63
Глава 2
τ
∑
∑
τ
r
τ
∑
τ
τ
∑
τστ
τ
рядоченная скорость за все время движения должна описываться выражением
u
u
ii i
==
ττ
ii
2
τ
a
∑
.
2
Разделив числитель и знаменатель на N и перейдя к преде-
r
2
/2 ,ua
лу N→∞, запишем это выражение в виде
2
— средние значения времени свободного пробега элек-
и
=
τ
где τ
трона и его квадрата:
1
=
lim ;
→∞
N
N
Те же средние значения τ и τ
22
τ
i
ii
1
=
lim .
→∞
N
N
2
будут характеризовать не
τ
только какой-либо определенный электрон, но всю совокупность электронов. Таким образом, для электропроводности
получим окончательно:
22
=
.
2nem
В частном случае, когда все времена τ
справедливой формула (2.27). Можно показать, что множитель
2
/2
ττ
= и формула переходит в (2.27). Отметим, что закон
Ома всегда справедлив в случае металлов независимо от величины напряженности
Е накладываемого внешнего поля.
Удельное сопротивление ρ есть по определению величина,
обратная электропроводности:
одинаковы, будет
i
1 m
ρ
==
σ ne τ
. (2.28)
2
Полученное для электропроводности выражение (2.27)
подтверждается простой интерпретацией. Естественно, что
перемещающийся заряд пропорционален плотности заряда ne,
а параметр
τ
(его называют временем релаксации) характери-
зует время, в течение которого поле действует на «свободный»
64
Теория электропроводности
5
τ
=
τ
=
τ
τ
носитель заряда, (предполагается, что каждое последующее
столкновение полностью «стирает» у электрона «память» обо
всех предыдущих, формируя, таким образом, среднюю — так
называемую дрейфовую — скорость). Можно также ввести
среднюю длину пробега электрона проводимости, определив
ее соотношением:
— скорость электрона на поверхности Ферми.
где v
F
lv
, (2.29)
⋅
F
Первая классическая модель газа свободных электронов в
металле была построена Друде в 1900 году. Несмотря на ограниченность этой модели, она содержит некоторые идеи, остающиеся до сих пор важной частью более точных моделей.
В ней предполагается, что:
— все электроны движутся с одинаковыми среднеквадратичными
мана: v
скоростями, определяемыми распределением Больц-
= (3kT/m)
T
1/2
;
— движущиеся электроны рассеиваются в результате бес-
порядочных соударений с атомными остовами. После любого
соударения скорость электрона равна нулю, т.
е. любая (в том
числе дрейфовая) скорость уничтожается в результате соударения;
— в промежутках между соударениями поле может изменить скорость движения электронов на любую величину, но
результат действия поля ликвидируется при соударении.
В рамках этих предположений найдем электропроводность. Пусть имеется группа из n
электронов в момент време-
0
ни τ = 0. Число электронов, не испытавших соударение к моменту времени τ, равно
nn
τ
exp( / ).
⋅−
0
τ
e
Скорость уменьшения числа электронов, не испытавших
соударение, равна
nn
dn
−==⋅ −
τ
ττ τ
d
ee e
⎛⎞
e
exp .
⎜⎟
⎝⎠
6
Глава 2
6
τ
σ
r
При наложении электрического поля Е электрон, не испытавший соударение в течение времени τ, приобретает в дополнение к своей тепловой скорости дрейфовую скорость
Δv
так как ma = –eE, a = Δv/τ.
= — eEτ/m,
T
Следовательно, расстояние, которое электрон проходит в
направлении поля, будет
х
(из S = aτ
2
/2). Этот дрейф накладывается на беспорядочное те-
= –eEτ2/2m
τ
пловое движение. Суммарное перемещение за один свободный
пробег n
рые в поле
электронов равно
0
∞
Sx d vn
==−=
∫
0
Если в одном м
Е имеют одну и ту же скорость дрейфа
2
eEn
dn
⎛⎞
τ
⎜⎟
dm
τ
⎝⎠
3
металла содержится ne электронов, кото-
τ
0
e
.
τ
0
e
v
, то
плотность электрического тока будет равна:
где σ = n
e2τe/m — электропроводность. Она связана с длиной
e
r
jenv EE
свободного пробега l
σ
===
Д
2
ne
=− = =
r
e
:
e
22 2
ne nel nel
τ
e e ee ee
mmV
τ
ee
m
τ
mkT
(3 )
r
,
(2.30)
.
1/2
Лоренц отказался от упрощения, приписывающего всем
электронам одинаковую скорость. Он рассматривал модифицированное распределение Больцмана в присутствии электрического или теплового градиента. Формула для электропроводности в этом приближении имеет вид:
2
4
nel
σ
=
Л
Сопоставим (2.30) и (2.31): σ
ee
3(2 )
pmkT
= (8/3π)
Л/σД
. (2.31)
1/ 2
1/2
, т. е. σ
= 0,91 σД.
Л
6
Теория электропроводности
7
Электронная теплопроводность в модели Друде:
2
3
nkT
τ
Тогда число Лоренца L = λ
λ
ee
=
e
/σT = 3(k/e)2 = 2,2·10–8, что близ-
e
(2.32)
.
m
ко к современному его значению. Таким образом, в обеих моделях электропроводность изменяется обратно пропорцио-
нально
зависимость σ ~ Т
Т
, в то время как квантовая модель дает правильную
—1
, подтверждающуюся в экспериментах.
Кроме того, в моделях энергия каждого электрона равна 3/2 kТ,
что приводит, как отмечалось выше, к неоправданному завышению теплоемкости металлов (в полтора раза).
2.6. Экспериментальные данные для металлов
Среди доминирующих механизмов рассеяния свободных
носителей в твердых телах следует выделить рассеяние на колебаниях решетки (акустических и оптических фононов), рассеяние на заряженной примеси, рассеяние на нейтральных
атомах.
Если в твердом теле два доминирующих механизма рассеяния — примесь и тепловые колебания решетки, — то подвижность описывается соотношением:
1/b = аТ
–3/2
+bT
3/2
,
где а и b — постоянные величины.
Анализ этого соотношения показывает, что в разных температурных диапазонах будет доминировать тот или иной механизм рассеяния, и он будет определять величину и температурную зависимость подвижности.
Электросопротивление большинства металлов при комнатных температурах (~ 300 K) обусловлено в основном
столкновениями электронов проводимости с фононами, а
при
температуре жидкого гелия (4,2 К) — столкновениями с примесными атомами и механическими дефектами решетки.
6
Глава 2
Удельное сопротивление ρ металла, содержащего примес-
ные атомы, можно записать в виде суммы:
ρ = ρ
где
ρ
— часть удельного сопротивления, обусловленная теп-
α
ловым движением атомов решетки;
+ ρi, (2.33)
α
ρ
— часть, обусловленная
i
рассеянием электронных волн на примесных атомах, которые
нарушают периодичность решетки.
Если концентрация примесных атомов невелика, то часть
оказывается не зависящей от температуры. Это — правило
ρ
i
Матиссена.
Величина, известная под названием остаточного сопротивления, получается путем экстраполяции кривой температурной зависимости сопротивления к Т = 0 К. Эта величина эквивалентна ρ
, поскольку
i
ρ
при Т→ 0 обращается в нуль.
α
На рисунке 10 приведены результаты измерений сопротивления трех образцов Na; видно, что остаточное сопротив-
ление меняется от образца к
образцу, тогда как сопротивление, обусловленное тепловым движением атомов решетки, не зависит от типа
образца, т.
е. оно одинаково у
всех образцов. Для характеристики температурной зависимости сопротивления иногда используют отношение
трех образцов Na
удельных сопротивлений дан-
ного образца при комнатной
температуре и при температуре жидкого гелия. В исключительных случаях это соотношение может быть огромным,
достигая 10
которых это соотношение около 2. Решеточный, т.
5
и даже 106, в то время как существуют сплавы, у
е. фонон-
ный, вклад в электросопротивление простых металлов зависит
от температуры по-разному: при высоких температурах, в ос-
ρ
новном по закону
~ Т при Т <<
α
θ
D
, где
θ
— температура
D
68
Теория электропроводности
C
Дебая, имеем:
дены на рисунке 10. Линейная зависимость
ρ
~ Т5. Экспериментальные результаты приве-
α
ρ
(Т) при высоких
α
температурах есть следствие того факта, что вероятность рассеяния любого электрона пропорциональна числу фононов.
Экспериментальные результаты наших исследований
удельного электросопротивления металлов и сплава внедрения
Ta-17W-0,25C представлены на рисунке 11.
117
107
97
87
77
67
57
47
37
27
1000 1400 1800 2200 T, K
r*10^8, Ом*м
а б
Ta
W
Re
Ta17W0,25
164
156
148
140
132
124
116
1000 1400 1800 2200
Рис. 11 Электрическое сопротивление:
а — чистых металлов и сплава; б — металлов 1V группы
r*10^8, Ом* м.
Ti
Zr
Hf
T, K
Из этого рисунка видно, что сопротивление чистых металлов увеличивается пропорционально росту температуры. В то
же время у рения (Re) заметна явно нелинейная зависимость
от температуры с отклонением в меньшую сторону. Еще более
нелинейная зависимость наблюдается у гафния (Hf) в α-фазе, а
близкая к линейной в β-фазе. У титана (Ti) и циркония
(Zr)
линейность сохраняется в обеих фазах, но при обратном переходе наблюдается гистерезис (на рисунке не показан). Величина скачка составляет: у титана ~ 10
ния ~ 6
%.
%; циркония ~ 17 %; гаф-
69
Глава 3
Глава 3
ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
3.1. Теплопроводность твердого тела
Рассмотрим процесс переноса тепла, или теплопроводность в твердых телах. Формулу для теплопроводности можно
вывести, предположив, что переносчиками тепла являются
фононы, испытывающие кратковременные столкновения друг
с другом. Эти столкновения могут происходить только при
наличии ангармонических членов в выражении для полной
энергии фононного газа. При полуколичественных оценках
для фононной (решеточной) теплопроводности
нить обычную формулу для теплопроводности газов: λ
(1/3)с
ка, l
, где cv — объемная теплоемкость, v — скорость зву-
vυlф
— длина свободного пробега фонона.
ф
При низких температурах, когда тепловые колебания невелики и ангармоничность сил, связывающих атомы в решетке,
еще можно не принимать во внимание, длина свободного пробега фонона l
очень велика и может достигать нескольких
ф
миллиметров. При низких температурах ее величину ограничивают примеси, дефекты кристалла и размеры самих кристаллов. При рассеянии фонон меняет направление движения,
не изменяя своей энергии.
При повышении температуры на распространение звуковых волн начинает все больше сказываться ангармоничность
колебаний. При разделении, слиянии и столкновении
выполняется закон сохранения энергии, а закон сохранения
можно приме-
=
ф
фононов
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]