Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО
Физико-механический институт
Высшая школа механики и процессов управления
введение в механику
деформируемого твердого тела
основные теоремы и задачи
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2024
УДК 539.3(075.8)
ББК 22.251я73
В24
Р е ц е н з е н т ы:
Доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник,
профессор Высшей школы механики и процессов управления
Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого
А. Б. Фрейдин
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теории
упругости Санкт-Петербургского государственного университета
Б. Н. Семенов
А в т о р ы:
А. С. Немов, Е. А. Подольская, А. Д. Новокшенов, Р. А. Филиппов
Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные
теоремы и задачи
: учеб. пособие / А. С. Немов [ и др.]. – СПб. : ПОЛИТЕХ-
ПРЕСС, 2024. – 123 с.
Соответствует содержанию направлений бакалаврской подготовки 01.03.03
«Механика и математическое моделирование» и 15.03.03 «Прикладная меха-
ника».
Доказываются основные теоремы теории упругости как базового раздела
механики деформируемого тела. Рассматриваются классические задачи, из-
лагаются базовые подходы к их аналитическому решению. Представлен метод
реологических моделей для решения задач механики деформируемого твер-
дого тела с учетом неупругого поведения материалов.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Теория упруго-
сти», «Механика деформируемого твердого тела» и «Механика сплошной
среды», а также для преподавателей и инженеров, чья деятельность связана
с вопросами механики деформируемого твердого тела и теории упругости.
Ил. 27. Библиогр.: 22 назв.
Печатается по решению
Совета по издательской деятельности Ученого совета
Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
ISBN 978-5-7422-8602-8
doi:10.18720/SPBPU/2/id24-413 университет Петра Великого, 2024
©
Санкт-Петербургский политехнический
Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation
Peter the Great
St.Petersburg Polytechnic
University
PETER THE GREAT ST.PETERSBURG
POLYTECHNIC UNIVERSITY
INSTITUTE OF PHYSICS AND MECHANICS
Higher School of Mechanics and Control Processes
introduction to the solid
mechanics
fundamental theorems and problems
Training manual
Saint Petersburg
2024
R e v i e w e r s:
DSc of Physics and Mathematics, senior researcher, Professor of the Higher
School of Mechanics and Control Processes, Institute of Physics and Mechanics
Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University
A. B. Freidin
PhD in Physics and Mathematics, associate professor, Associate Professor
of Department of Theory of Elasticity, St. Petersburg State University
B. N. Semenov
A u t h o r s:
A. S. Nemov, E. A. Podolskaya, A. D. Novokshenov, R. A. Filippov
Introduction to the solid mechanics. Fundamental theorems and prob-
lems:
PRESS, 2024. – 123 p.
training manual / A. S. Nemov [et al.] – St. Petersburg : POLYTECH-
The textbook corresponds to the content of the undergraduate programs 01.03.03
“Mechanics and Mathematical Modeling” and 15.03.03 “Applied Mechanics.”
The fundamental theorems of the elasticity theory, as a foundational branch of
solid mechanics, are proven. Classical problems are examined, and basic approaches
to their analytical solutions are presented. The method of rheological models is
introduced for solving solid mechanics problems, taking into account the inelastic
behavior of materials.
The textbook is intended for students studying such disciplines as “Theory of
Elasticity”, “Solid Mechanics”, and “Continuum Mechanics”, as well as for lecturers
and engineers whose work is related to the topics within the solid mechanics and
the theory of elasticity.
Figures 27. References: 22.
Printed by the Publishing Council
of the Peter the Great St. Petersburg polytechnic university Academic Council.
ISBN 978-5-7422-8602-8
doi:10.18720/SPBPU/2/id24-413 Polytechnic university, 2024
©
Peter the Great St. Petersburg
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
1. Базовые понятия и основные теоремы
1.1. Основные понятия механики деформируемого твердого тела . 10
1.2. Система уравнений линейной теории упругости . . . . . . . . 13
1.3. Теорема Кирхгоффа о единственности решения системы урав-
нений линейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти) . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Формулировка теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Применение теоремы о взаимности работ . . . . . . . . 19
2. Некоторые фундаментальные задачи теории упругости
2.1. Решение уравнений теории упругости в перемещениях в форме
Папковича-Нейбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Задача о действии сосредоточенной силы в неограниченном упру-
гом пространстве (задача Кельвина), тензор влияния . . . . . 26
2.2.1. Теорема Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. Задача Кельвина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3. Силовой тензор влияния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Задача Буссинеска о действии сосредоточенной силы на грани-
це упругого полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Задача о системе сил, распределенных в малом объеме . . . . 39
2.4.1. Силовые точечные особенности . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.2. Система сил, распределенных в малом объеме . . . . . 41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . 10
. . 23
3. Вариационные принципы и приближенные методы в теории
упругости
3.1. Введение в вариационное исчисление . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Вариационный принцип минимума потенциальной энергии си-
стемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Методы приближенного решения задач теории упругости . . . 52
3.3.1. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5
3.3.2. Метод Канторовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.3. Метод Галёркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4. Пример использования метода Ритца для исследования
изгиба балок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Уравнения равновесия балки как уравнения Эйлера вариацион-
ной проблемы о минимуме функционала потенциальной энер-
гии системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5. Вариационный принцип минимума дополнительной работы . . 61
3.6. Смешанные вариационные принципы . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.1. Принцип Рейсснера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.2. Принцип Ху–Вашицу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.3. Принцип Ксю–Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7. Вариационные принципы при учете
температурных слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4. Задача Сен-Венана о напряженном состоянии призматиче-
ского стержня, нагруженного поверхностными силами на
торцах
4.1. Принцип Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Постановка задачи Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3. Напряжения в задаче Сен-Венана . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4. Примеры, не требующие решения краевой задачи . . . . . . . 81
4.5. Задача о кручении стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6. Задача об изгибе призматического стержня, нагруженного при-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.1. Функция напряжений в задаче о кручении . . . . . . . . 84
4.5.2. Перемещения в задаче о кручении. Депланация . . . . . 87
4.5.3. Теорема о циркуляции касательных напряжений . . . . 88
4.5.4. Мембранная аналогия Прандтля . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.5. Вариационное определение функции напряжений в зада-
че о кручении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ложенной на торце силой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6.2. Определение вектора напряжений . . . . . . . . . . . . 97
4.6.3. Определение перемещений . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6.4. О среднем повороте сечения . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5. Базовые модели неупругого деформирования
5.1. Метод реологических моделей в механике деформируемого твер-
дого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1. Упругий материал. Реологический элемент Гука . . . . 107
5.1.2. Вязкий материал. Реологический элемент Ньютона . . 108
6
. . . . . . . . . 107
5.1.3. Пластический материал. Реологический элемент Прандт-
ля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.4. Метод реологических моделей . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. Вязкоупругий материал Кельвина–Фойгта . . . . . . . . . . . 111
5.3. Вязкоупругий материал Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . 116
Заключение
Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ПРЕДИСЛОВИЕ
Памяти наших дорогих учителей
Владимира Александровича Пальмова
(07.07.1934—15.10.2018)
Марлена Елизаровича Подольского
(18.06.1933—23.05.2020)
Дмитрия Анатольевича Индейцева
(02.12.1948—28.12.2022)
Пособие продолжает серию учебных изданий, посвященных основам ме-
ханики деформируемого твердого тела. Во второй книге серии излагаются
основные подходы к аналитическому решению задач теории упругости и ме-
ханики деформируемого твердого тела.
На основе сформулированных в первой книге «Введение в механику дефор-
мируемого твердого тела. Основные понятия и уравнения теории упругости»
базовых понятий и соотношений теории упругости в данном учебном пособии
формулируются и доказываются ключевые теоремы, излагаются основные
подходы к аналитическому решению различных классов задач.
Книга является результатом работы коллектива сотрудников Высшей шко-
лы механики и процессов управления и Высшей школы теоретической меха-
ники. В основу учебного пособия легли материалы второго семестра курса
теории упругости, читаемого в Высших школах физико-механического инсти-
тута СПбПУ, а также труды Владимира Алексанровича Пальмова (07.07.1934–
15.10.2018) и Анатолия Исаковича Лурье (19.07.1901–12.02.1980). Авторы вы-
ражают благодарность А. М. Кривцову, А. Б. Фрейдину и А.И. Боровкову за
неизменную поддержку, П. A. Кожановой за ценную помощь в редактирова-
нии и подготовке материала к изданию, а также студентам Высшей школы
теоретической механики, слушавшим данный курс в 2017–2018 годах и актив-
но участвовавшим в подготовке текстового и иллюстративного материала.
ВВЕДЕНИЕ
Данная книга является логическим продолжением учебного издания «Вве-
дение в механику деформируемого твердого тела. Основные понятия и урав-
нения теории упругости», в котором были сформулированы основные поня-
тия и базовые соотношения теории упругости. В первом разделе первой главы
настоящего пособия представлен краткий обзор ключевых понятий, введен-
ных в рассмотрение ранее, однако изучение теории упругости мы настоятель-
но рекомендуем читателям начать именно с первой книги серии.
Данное учебное пособие состоит из пяти глав. Первая глава посвящена ба-
зовым понятиям и основным теоремам линейной теории упругости, которые
оказываются удобными для многих аналитических построений.
Во второй главе рассмотрены задачи теории упругости о сосредоточенных
силах, решения которых удобно находить из рассмотрения уравнений в пе-
ремещениях. Полученные в данной главе решения являются фундаменталь-
ными в том смысле, что на их основе путем обобщения могут быть постро-
ены решения ряда других задач. Примером является классическое решение
Герца задачи о контактном взаимодействии двух упругих тел, которое мо-
жет быть построено с использованием полученного в данной главе решения
задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на границе упругого
полупространства.
Третья глава дает читателю представление о вариационных методах в тео-
рии упругости и о некоторых численных методах, которые строятся на их
основе.
Четвертая глава посвящена классу задач о расчете напряженно-дефор-
мированного состояния призматических стержней, нагруженных поверхност-
ными силами на торцах, — задаче Сен-Венана. На примере данного класса
задач в данной книге демонстрируется применение ряда аналитических мето-
дов классической теории упругости, однако помимо этого знание получаемых
базовых аналитических решений представляется полезным и в инженерной
практике.
В пятой главе представлено введение в метод реологических моделей, поз-
воляющий рассматривать в рамках механики деформируемого твердого те-
ла объекты, характеризующиеся неупругим деформационным поведением.
В частности, более подробно рассмотрены две модели вязкоупругого пове-
дения материалов: модель Кельвина–Фойгта и модель Максвелла.
1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
1.1. Основные понятия механики деформируемого твердого тела
В данной главе кратко вводятся основные понятия и соотношения меха-
ники деформируемого твердого тела, используемые далее. При составлении
раздела авторы преследовали цель – напомнить о ключевых величинах и
ввести используемые в дальнейшем обозначения, предполагая, что читатель
уже знаком с основами механики деформируемого твердого тела и теории
упругости.
Для описания законов механики деформируемого твердого тела в настоя-
щем учебном пособии применяется математический аппарат тензоров второго
ранга, в том числе используется диадное представление тензоров. Напомним,
что при использовании такого представления тензорами второго ранга назы-
ваются объекты, представляющие собой совокупность некоторого конечного
числа диад:
𝐴 = 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 + 𝑒𝑓 + ... .
(1.1)
Требования к двум введенным данным соотношениям, а именно операциям
объединения двух векторов в диады𝑎𝑏,
𝐴
, вводятся с использованием известных операций сложения двух векторов
и умножения вектора на скаляр (𝛼-скаляр), называемых соотношениями эк-
вивалентности:
𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 𝑐𝑑 + 𝑎𝑏;
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐;
(𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐;
(𝛼𝑎)𝑏 = 𝑎(𝛼𝑏).
На определенном таким образом множестве тензоров второго ранга вводят-
ся операции сложения двух тензоров, умножение скаляра на тензор, кроме
того, операции скалярного, векторного и диадного умножений между тен-
зорами второго ранга, а также между тензорами второго ранга и вектора-
ми. Вводятся понятия нулевого тензора второго ранга, транспонированного
тензора, а также симметричного и антисимметричного тензоров. В случае
необходимости напоминания о способе определения перечисленных опера-
ций и их свойствах мы рекомендуем читателю обратиться к книге, изданной
в 2020 г. [7].
Для описания сплошной среды в механике деформируемого твердого тела
существует два подхода: подход Лагранжа (материальное описание) и под-
ход Эйлера (пространственное описание). В подходе Лагранжа материальные
точки, образующие континуум, индивидуализируются путем задания радиус-
𝑐𝑑
и т. д. и объединения диад в тензор
(1.2)
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]