Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
2.2.3. Силовой тензор влияния
Вектор напряжения на площадке с нормалью𝑛оказывается равным:
𝑛 · 𝜎 =
1
8𝜋(1 − 𝜈)𝑟
(1 − 2𝜈)𝑛𝑄 · 𝑟 − 𝑛 · 𝑄𝑟 − 𝑛 · 𝑟𝑄−
3
𝑄 · 𝑟
− 3
𝑟
2
𝑛 · 𝑟𝑟
и может быть представлен в виде произведения:
𝑛 · 𝜎 = Φ(𝑟) · 𝑄
вектора
𝑄исилового тензора влияния
Φ(𝑟) =
1
8𝜋(1 − 𝜈)𝑟
1
=
8𝜋(1 − 𝜈)𝑟
(1 − 2𝜈)(𝑛𝑟 − 𝑟𝑛 − 𝑛 · 𝑟𝐸) − 3
3
(1 − 2𝜈)(𝑛𝑟 − 𝑟𝑛) − 2(1 − 𝜈)𝐸𝑛 · 𝑟−
3
, определяемого формулами:
1
− 𝑟3𝑛 · 𝑟∇∇
𝑟
(2.37)
(2.38)
𝑛 · 𝑟
𝑟𝑟=
2
𝑟
.
(2.39)
Уравнения равновесия (2.23), (2.24) теперь записываются в виде:
−𝐸, 𝑄 ∈ 𝑉𝑖,
Φ(𝑟)d𝑆 =
(2.40)
0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑒,
𝑆
и
𝑟 × Φ(𝑟)d𝑆 = 0,
𝑆
(2.41)
где𝑄— точка приложения силы, которая может находиться, вообще говоря,
как внутри, так и вне сферы.
31
Развернутая запись (2.40) имеет вид:
𝑆
𝑛 · 𝑟
3
𝑟
(1 − 2𝜈)
d𝑆 =
1
(𝑛𝑟 − 𝑟𝑛)−
3
𝑟
−𝐸, 𝑄 ∈ 𝑉𝑖,
0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑒.
(2.42)
− 𝑛 · 𝑟∇∇
𝑆
1
𝑟
Φd𝑆 =
d𝑆 −
1
8𝜋(1 − 𝜈)
1
𝐸
4𝜋
𝑆
Проведем электромеханическую аналогию. Рассмотрим поток некоторого
вектора через произвольную замкнутую поверхность, например поток векто-
ра напряженности электрического поля𝐸, создаваемого точечным зарядом𝑞:
𝐸 =
1
4𝜋𝜀
𝑞𝑟
=⇒ Φ =
3
𝑟
0
𝐸 · 𝑛d𝑆 =
𝑆
𝐸 cos 𝜙d𝑆 =
𝑆
𝑞d𝛺,
𝑆
d𝑆 cos 𝜙
где
d𝛺 =
2
𝑟
дится заряд𝑞, видна площадка
внутренней стороной к источнику, т. е.
Если поверхность
ный угол охватывает все направления, следовательно, поток
поверхность𝑆замкнутая и источник𝑞лежит вне ее, то на каждый
найдется
cos 𝜙 < 0
— телесный угол, под которым из точки, в которой нахо-
d𝑆
; он положителен, если площадка обращена
𝑛 · 𝑟 > 0
𝑆
замкнутая и источник𝑞находится внутри, то телес-
.
Φ = 4𝜋𝑞
. Если
cos 𝜙 > 0
, поэтому поток
Φ = 0
.
Рис. 2.3.
Электромеханическая аналогия
32
Таким образом, получили теорему Гаусса о потенциале двойного слоя по-
стоянной (в нашем случае единичной) плотности, распределенного по замкну-
той поверхности:
4𝜋, 𝑄 ∈ 𝑉𝑖,
𝑆
𝑐𝑜𝑠𝜙
2
𝑟
d𝑆 =
𝑛 · 𝑟
d𝑆 =
3
𝑟
𝑆
2𝜋, 𝑄 ∈ 𝑆,
0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑒,
промежуточный случай
(2.43)
что приводит к тому, что:
𝑆
(1 − 2𝜈)
1
(𝑛𝑟 − 𝑟𝑛) − 𝑛 · 𝑟∇∇
3
𝑟
1
𝑟
d𝑆 ≡ 0
(2.44)
при любом расположении точки𝑄, в том числе и на𝑆(равенство нулю дан-
ного интеграла, вообще говоря, можно продемонстрировать). Это позволяет
записать (2.42) в более полном виде, называемом также
мой Гаусса
:
Φ(𝑟)d𝑆 = −𝐸𝛿(𝑄),
𝑆
где
𝛿(𝑄)
— функция положения точки𝑄:
обобщенной теоре-
(2.45)
1, 𝑄 ∈ 𝑉𝑖,
𝛿(𝑄) =
1
, 𝑄 ∈ 𝑆,
2
0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑒.
(2.46)
2.3. Задача Буссинеска о действии сосредоточенной силы
на границе упругого полупространства
Рассмотрим задачу о действии сосредоточенной силы, приложенной на гра-
нице упругого полупространства, — задачу Буссинеска, — а также ее прило-
жения к постановке контактной задачи.
Введем систему координат c центром в точке приложения сосредоточенной
силы𝑄:
𝑟 = 𝑥𝑘𝑒𝑘, 𝑘 = 1, 2, 3; ˜𝑟 = 𝑥𝑘𝑒𝑘, 𝑘 = 1, 2.
Полупространство задается условием
примем
𝑄 = 𝐹 𝑒3.
𝑥3> 0
, без ограничения общности
Так же, как и при решении задачи Кельвина, выделим в упругом полу-
33
пространстве полусферу с центром в точке приложения силы𝑄. Обозначим
𝑆
— площадь поверхности полусферы при
ного полусферой круга на плоскости границы при
˜𝑟 = 0
.
𝑥3> 0
,˜𝑆
— площадь ограничен-
𝑥3= 0
, исключая точку
Уравнения равновесия полусферы, записанные относительно точки прило-
жения сосредоточенной силы𝑄, будут иметь вид:
𝑛·𝜎d𝑆 +
𝑆
На поверхности˜𝑆
𝑛·𝜎d𝑆 +𝑄 = 0,
˜
𝑆
вектор нормали, очевидно, равен
𝑟× (𝑛·𝜎)d𝑆 +
𝑆
𝑟
он равен
. Тогда уравнения (2.47) можно переписать в виде:
𝑟
𝑟
·𝜎d𝑆 −
𝑒3·𝜎d𝑆 +𝑄 = 0;
𝑟×
𝑟
𝑆
˜
𝑆
𝑆
Граничные условия на поверхности˜𝑆
˜𝑟 = 0 : −𝑒3· 𝜎 = 0.
В точке приложения силы
так как при
˜𝑟 → 0
вектор напряжений
𝑄
граничные условия в явном виде не ставим,
−𝑒3· 𝜎 → ∞
ется ограничение на поле перемещений
Решение этой задачи будем искать в виде:
𝑟
· 𝜎d𝑆−
𝑟
:
𝑢
𝑟→∞
𝑟× (𝑛·𝜎)d𝑆 = 0.
˜
𝑆
−𝑒3, на поверхности
𝑟×(𝑒3·𝜎)d𝑆 = 0.
˜
𝑆
. Кроме того, накладыва-
→ 0
.
(2.47)
𝑆
(2.48)
(2.49)
𝑢 = 𝑢1+ 𝑢2,
где
𝑢1— слагаемое типа решения задачи о неограниченной упругой среде;
𝑢2— поправочное слагаемое.
Рис. 2.4.
Постановка задачи Буссинеска
34
(2.50)
Пользуясь результатами, полученными в предыдущем параграфе, запишем
первое слагаемое в поле перемещений:
3
3
𝑟
𝑢1= 𝐴(3 − 4𝜈)
𝑒
𝑟𝑟 · 𝑒
3
+
𝑟
и соответствующее ему поле напряжений:
2𝜇𝐴
𝜎1=
(1 − 2𝜈)𝐸𝑒3· 𝑟 − 𝑒3𝑟 − 𝑟𝑒
3
𝑟
2𝜇𝐴
Слагаемое
=
𝑢2будем также искать в форме Папковича–Нейбера:
(1 − 2𝜈)𝑥3𝐸 − 𝑒3𝑟 − 𝑟𝑒
3
𝑟
𝑢2= 4 (1 − 𝜈) 𝐵 − ∇ (𝑟 · 𝐵 + 𝐵0) ,
где
𝐵
— гармонический вектор;
Поскольку при поиске
𝐵 = 0
, а
𝐵0= 𝛽 ln (𝑟 + 𝑥3)
𝑢1полагали
.
𝐵0— гармонический скаляр.
𝐵 = 0,𝐵0= 0
Имеем:
= 𝐴(3 − 4𝜈)
−
3
3𝑥
𝑟
3
2
𝑟𝑟.
−
3
, положим для
𝑒
3
+
𝑟
3𝑒3· 𝑟
2
𝑟
𝑥3𝑟
3
𝑟
𝑟𝑟=
,
𝑢2вектор
(2.51)
(2.52)
(2.53)
𝑢2= −∇𝐵0= −
𝛽
𝑟 + 𝑥
∇ (𝑟 + 𝑥3) = −
3
𝛽
𝑟 + 𝑥
𝑟
𝑟
3
+ 𝑒
.
3
(2.54)
Далее можно показать, что градиент перемещений симметричен, следова-
тельно, он совпадает с тензором деформаций:
= −𝛽𝐸
−
(𝑟 + 𝑥3)
∇𝑢2= −𝛽 ∇
1
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
1
𝑒3𝑒3−
2
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
− 𝑟𝑟
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
𝑟
+
1
𝑟3(𝑟 + 𝑥3)
1
(𝑒3𝑟 + 𝑟𝑒3)≡ 𝜀2.
2
𝑟 + 𝑥
+
𝑒
3
=
3
1
𝑟2(𝑟 + 𝑥3)
−
2
(2.55)
Кроме того, легко убедиться в том, что объемная деформация в данном
35
случае равна нулю:
𝜃2= −𝛽
3
−
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
1
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
−
(𝑟 + 𝑥3)
1
−
2
−
(𝑟 + 𝑥3)
1
−
2
2𝑥
3
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
= 0,
2
(2.56)
следовательно, тензор напряжений, соответствующий поправочному слагае-
мому
𝑢2, будет равен:
𝜎2= 2𝜇𝜀2.
(2.57)
Для получения окончательного решения осталось определить константы
𝐴
и𝛽, подставив тензоры напряжений (2.52) и (2.57) в уравнения равновесия
(2.48) и граничные условия (2.49).
Рассмотрим сначала границу полупространства
𝑥3= 0
. Здесь, согласно
(2.52),
𝜎
1
𝑥3=0
=⇒ 𝑛 · 𝜎
1
= −
𝑥3=0
2𝜇𝐴
(1 − 2𝜈) (𝑒3˜𝑟 + ˜𝑟𝑒3) =⇒
3
𝑟
= −𝑒3· 𝜎
1
=
𝑥3=0
2𝜇𝐴
3
𝑟
(1 − 2𝜈)˜𝑟.
(2.58)
Для второго слагаемого (2.57) в суммарном тензоре напряжений будем
иметь:
𝜎
2
= −2𝜇𝛽𝐸
𝑥3=0
=⇒ 𝑛 · 𝜎
1
𝑟
2
2
𝑥3=0
− ˜𝑟˜𝑟
= −𝑒3· 𝜎
2
4
𝑟
− 𝑒3𝑒
3
2
1
2
𝑟
𝑥3=0
1
−
3
𝑟
= −2𝜇𝛽
(𝑒3˜𝑟 + ˜𝑟𝑒3)=⇒
˜𝑟
.
3
𝑟
(2.59)
Подставим (2.58) и (2.59) в граничное условие (2.49) и получим связь между
константами𝐴и𝛽:
−𝑒3·𝜎1+ 𝜎
2
𝑥3=0
= 0,
кроме точки
˜𝑟 = 0 =⇒ 𝛽 = 𝐴(1 − 2𝜈).
(2.60)
Обратимся теперь к поверхности полусферы𝑆. Для векторов напряжений
будем иметь:
𝑛 · 𝜎
1
𝑟
=
𝑆
𝑟
· 𝜎
= −
1
𝑆
2𝜇𝐴
4
𝑟
(1 − 2𝜈)𝑟2𝑒3+ 3𝑥3𝑟
(2.61)
36
и
𝑛 · 𝜎
2
𝑟
=
𝑆
𝑟
· 𝜎
=
2
𝑆
Перейдем к сферическим координатам:
2𝜇𝛽
𝑟2(𝑟 + 𝑥3)
(𝑟 + 𝑟𝑒3) .
(2.62)
𝑆
d𝑆 =
𝜋
2
0
𝑟2sin 𝜓d𝜓
2𝜋
0
d𝜙.
Тогда уравнение равновесия (2.48) перепишем в виде:
𝜋
2𝜋
2
𝐹 𝑒3= −
2𝜋
=
0
𝑟
·𝜎1+ 𝜎
𝑟
0
0
𝜋
2
0
2𝜇𝐴
4
𝑟
(1 − 2𝜈)𝑟2𝑒3+ 3𝑥3𝑟−
𝑟2sin 𝜓d𝜓d𝜙 =
2
𝑆
2𝜇𝐴(1 − 2𝜈)
−
(𝑟 + 𝑟𝑒3)𝑟2sin 𝜓d𝜓d𝜙
𝑟2(𝑟 + 𝑥3)
(2.63)
и окончательно будем иметь
𝜋
2𝜋
2
𝐹 𝑒3= 𝑒
2𝜋
+
0
0
𝜋
2
3
0
2𝜇𝐴
𝑟
0
3𝑥3− 2𝜇𝐴(1 − 2𝜈)
4
2𝜇𝐴
4
𝑟
(1 − 2𝜈)𝑟2+ 3𝑥
2
− 2𝜇𝐴(1 − 2𝜈)
3
1
𝑟2(𝑟 + 𝑥3)
˜𝑟𝑟2sin 𝜓d𝜓d𝜙,
1
𝑟2sin 𝜓d𝜓d𝜙+
2
𝑟
(2.64)
где
˜𝑟 = 𝑟 (cos 𝜙 sin 𝜓𝑒1+ sin 𝜙 sin 𝜓𝑒2) , 𝑥3= 𝑟 cos 𝜓.
Очевидно, что в правой части уравнения (2.64) должен остаться только
вектор, коллинеарный
𝑒3. Действительно, рассмотрим проекцию правой ча-
37
сти уравнения (2.64) на орт
𝜋
2𝜋
2
2𝜇𝐴3 cos 𝜓 − (1 − 2𝜈)
0
0
2𝜋
𝑒1:
1
1 + cos 𝜓
cos 𝜙 sin2𝜓d𝜓d𝜙 = 0,
(2.65)
так как
части уравнения (2.64) на
cos 𝜙d𝜙 = 0
0
. Аналогично обратится в ноль и проекция правой
𝑒2.
Преобразуем оставшуюся часть уравнения (2.64):
𝐹 =
𝜋
2𝜋
2
6𝜇𝐴 cos2𝜓 sin 𝜓d𝜓d𝜙 = −4𝜋𝜇𝐴
0
0
𝜋
2
dcos3𝜓= 4𝜋𝜇𝐴,
0
таким образом, окончательно будем иметь
𝐴 =
𝐹
, 𝛽 =
4𝜋𝜇
𝐹
(1 − 2𝜈).
4𝜋𝜇
Подставим (2.67) в выражения для перемещений (2.51) и (2.54):
𝑢1= 𝐴(3 − 4𝜈)
𝛽
𝑢2= −
𝑟 + 𝑥
3
𝑟
𝑟
𝑒
3
𝑟
+ 𝑒
+
3
𝑥3𝑟
𝑟
3
= −
=
𝐹
4𝜋𝜇
𝐹
4𝜋𝜇
(1 − 2𝜈)
(3 − 4𝜈)
𝑒
3
+
𝑟
𝑟 + 𝑟𝑒
3
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
𝑥3𝑟
3
𝑟
,
(2.66)
(2.67)
,
(2.68)
и получим суммарный вектор перемещений:
𝑢 = 𝑢1+ 𝑢2=
𝐹
4𝜋𝜇
𝑟
𝑥
3
3
𝑟
1 − 2𝜈
−
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
2(1 − 𝜈)𝑟 + 𝑥3(3 − 4𝜈)
+ 𝑒
3
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
.
(2.69)
Запишем также проекции вектора перемещений на орты декартовой систе-
мы координат:
38
𝑢 = 𝑢 · 𝑒1=
𝑣 = 𝑢 · 𝑒2=
𝑤 = 𝑢 · 𝑒3=
𝐹 𝑥
4𝜋𝜇
𝐹 𝑥
4𝜋𝜇
𝐹
4𝜋𝜇
𝑥
1
3
3
𝑟
1 − 2𝜈
−
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
𝑥
2
3
3
𝑟
2
𝑥
3
3
𝑟
1 − 2𝜈
−
𝑟 (𝑟 + 𝑥3)
2(1 − 𝜈)
+
𝑟
;
;
(2.70)
.
Если заменить сосредоточенную силу𝐹распределенным давлением
на некоторой площадке
𝑆𝑝, то, например, прогиб поверхности будет опреде-
𝑝 (𝑥1, 𝑥2)
ляться формулой
𝑤 (𝑥1, 𝑥2, 0) =
𝑆
𝑝
𝑝 (𝑥
′
, 𝑥
1
4𝜋𝜇
′
)
2
(𝑥1− 𝑥
2(1 − 𝜈)
′
)2+ (𝑥2− 𝑥
1
′
1
d𝑥
′
.
2
(2.71)
d𝑥
2
′
)
2
Это выражение получается с использованием принципа суперпозиции пу-
тем суммирования прогибов от каждой «элементарной силы»𝑝.
2.4. Задача о системе сил, распределенных в малом объеме
2.4.1. Силовые точечные особенности
Перемещение точки наблюдения
действием сосредоточенной в точке𝑄единичной силы
𝑀
в неограниченной упругой среде под
𝑄
определяется с по-
мощью тензора Кельвина–Сомильяны:
𝑢(𝑟) = 𝑈 (𝑟) · 𝑄;
1
𝑈(𝑟) =
16𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
где
𝑟 = 𝑟𝑀− 𝑟𝑄.
Перенесем точку приложения силы из
′
𝑟
= 𝑟 + 𝜌, 𝜌 ≪ 𝑟 =⇒
𝑄
=⇒ 𝑟′= 𝑟𝑀− 𝑟
′
= 𝑟 − 𝜌, 𝑟′= |𝑟 − 𝜌| ≈ 𝑟1 −
𝑄
(3 − 4𝜈)𝐸 +
𝑄
в близкую к ней точку
39
𝑟𝑟
𝑟
,
2
(2.72)
𝑄′:
𝑟 · 𝜌
.
2
𝑟
(2.73)
Тогда тензор влияния будет иметь вид:
1
𝑈(𝑟′) ≈ 𝑈 (𝑟) +
16𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
(3 − 4𝜈)𝐸𝑟 · 𝜌 − 𝑟𝜌 − 𝜌𝑟 +
3
и вектор перемещений будет определяться как:
𝑢(𝑟′) ≈ 𝑢(𝑟)+
1
+
16𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
Преобразуем диаду
𝜌𝑄 = 𝑞 + Ω𝑞, 𝑞 =𝜌𝑄
(3 − 4𝜈)𝑟 · 𝜌𝑄 − 𝑟𝜌 · 𝑄 − 𝜌𝑟 · 𝑄 +
3
𝜌𝑄
и введем следующие обозначения:
S
, Ω𝑞=𝜌𝑄
A
, 𝑞 =
Далее
𝑟 · Ω𝑞· 𝑟 = 0, 𝑟 · 𝑞 · 𝑟 = 𝑟 · Dev𝑞 · 𝑟 +
𝑟 · Ω𝑞=
1
𝑟 · 𝜌𝑄 − 𝑟 · 𝑄𝑟=
2
1
𝜌 × 𝑄× 𝑟 =
2
3𝑟
𝑟
1
𝜌
· 𝑄𝐸 + Dev𝑞.
3
1
𝑟2𝜌 · 𝑄;
3
1
𝑚𝑄× 𝑟,
2
3𝑟𝑟
𝑟 · 𝜌
2
𝑟
𝑟 · 𝑄𝑟 · 𝜌.
2
(2.74)
(2.75)
(2.76)
(2.77)
где
𝑚𝑄= 𝜌 × 𝑄
— момент силы𝑄, помещенной в точку
𝑄′, вычисленный
относительно точки𝑄.
Тогда формула (2.75) для перемещений примет вид:
𝑢(𝑟′) = 𝑢(𝑟) +
1
8𝜋𝜇𝑟
𝑚𝑄× 𝑟 +
3
1 − 2𝜈
24𝜋𝜇(1 − 𝜈)
𝜌 · 𝑄
𝑟
+
3
𝑟
Устремим
+
8𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
𝑟 · Dev𝑞 +
3
𝜌 −→ 0и𝑄 −→ ∞
1 − 2𝜈
2(1 − 2𝜈)𝑟
так, чтобы диада
3
𝑟𝑟 · Dev𝑞 · 𝑟.
2
𝜌𝑄
оставалась конечной.
(2.78)
Тогда локализуемые в точке𝑄в результате предельного перехода величины
будут соответственно называться:𝑞— силовой тензор,
момент,
𝜌 · 𝑄
— интенсивность центра расширения.
𝑚𝑄— сосредоточенный
Введение этих силовых точечных особенностей позволяет истолковать от-
дельные слагаемые в формуле (2.78) при
𝑟′−→ 𝑟
:
1. Перемещение, вызванное действием сосредоточенной силы𝑄в точке𝑄:
𝑢1(𝑟) = 𝑈 (𝑟) · 𝑄.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]