Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
Аналогом потенциальной энергии системы
Φ(𝑢)
будет функционал
Φ*(𝑢)
:
Φ*(𝑢) =
𝐴(𝜀)d𝑉 + 2𝜇
𝑉
Учитывая, что
𝑢 · ∇ (𝛼Δ𝑇 ) d𝑉 =
𝑉
формула (3.55) примет вид:
Φ*(𝑢) =
𝑉
1 + 𝜈
1 − 2𝜈
−
𝛼Δ𝑇 𝑛 · 𝑢d𝑆
𝑆
2
𝑆
˜
Ψd𝑉 + 2𝜇
𝑢 · ∇ (𝛼Δ𝑇 ) d𝑉 −
𝑉
.
𝑛 · 𝑢𝛼Δ𝑇 d𝑆 −
1 + 𝜈
𝛼Δ𝑇 𝑛 · 𝑢d𝑆,
1 − 2𝜈
𝑆
1
𝜃𝛼Δ𝑇 d𝑉,
𝑉
(3.55)
(3.56)
(3.57)
где введено следующее обозначение для свободной энергии с точностью до
слагаемых, зависящих только от температуры [7]:
˜
Ψ = 𝐴(𝜀) − 2𝜇
1 + 𝜈
𝜃𝛼Δ𝑇.
(3.58)
1 − 2𝜈
Тогда
𝜕˜Ψ
𝜕𝜀
=
𝜕Ψ
𝜕𝜀
= 𝜎,
(3.59)
следовательно, вариация (3.57) будет равна:
1 + 𝜈
𝛿Φ*(𝑢) =
𝜎 · · 𝛿𝜀d𝑉 + 2𝜇
𝛼Δ𝑇 𝑛 · 𝛿𝑢d𝑆.
(3.60)
1 − 2𝜈
𝑉
𝑆
1
Следуя процедуре, описанной в начале этой главы, можно показать, что
условиями стационарности (и минимальности) функционала
Φ*будут урав-
нения:
𝐿(𝑢) = 0; 𝑀(𝑢) = 0,
(3.61)
где операторы
𝐿(𝑢)и𝑀(𝑢)
имеют форму (3.54).
Аналогом функционала дополнительной работы в произвольном термоди-
71
намическом процессе будет:
где
𝜒*(𝜎) =
𝑉
𝐺
— потенциал Гиббса [7];
𝐺d𝑉 −
𝜎𝑛· 𝑢d𝑆; 𝛿𝐺 = 𝜀 · · 𝛿𝜎,
𝑆
1
(3.62)
𝜎𝑛— вектор поверхностных сил реакции на
𝑆1, для которой заданы кинематические граничные условия. Доказательство
стационарности и минимальности в положении равновесия также аналогич-
но бестемпературному случаю. Уравнения Бельтрами–Митчелла будут иметь
вид:
∇2𝜎 +
1
∇∇𝜎 = −2𝜇∇∇ (𝛼Δ𝑇 ) +
1 + 𝜈
1 + 𝜈
1 − 𝜈
𝐸∇2(𝛼Δ𝑇 ).
(3.63)
72
4. ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ, НАГРУЖЕННОГО
ПОВЕРХНОСТНЫМИ СИЛАМИ НА ТОРЦАХ
4.1. Принцип Сен-Венана
Системы сил𝐹и
их главные векторы и главные моменты, вычисленные относительно одного
и того же центра приведения. Тогда система сил
лентна нулю.
Принцип Сен-Венана
пределенных по малому участку поверхности упругого тела, создает лишь
локальное напряженное состояние, которое быстро затухает по мере удале-
ния от этого участка и становится пренебрежимо малым на расстояниях,
достаточно больших по сравнению с его размерами.
То есть напряженное состояние на достаточно большом удалении от обла-
сти нагружения не зависит от характера приложенной нагрузки, а зависит
только от главного вектора и главного момента нагрузки.
Принцип Сен-Венана позволяет заменить одни граничные условия други-
ми, так как идеализация граничных условий всегда неизбежна при решении
корректно поставленных задач математической физики. В задачах теории
упругости это тем более неизбежно, потому что детали распределения по-
верхностных сил чаще всего неизвестны, а возможность замены его другим
распределением с теми же интегральными свойствами представляется интуи-
тивно приемлемой. Типичным примером является призматический стержень,
нагруженный по торцам: идеализация может проводиться по всему торцу; ес-
ли же стержень тонкостенный, то только по частям торца.
Отметим, что принцип Сен-Венана является эвристическим: он не доказан
в общем случае, но справедлив для широкого класса задач. Кроме того, он
не дает точное расстояние, на котором отличия в распределении нагрузки
перестают играть роль. Тем не менее, несмотря на некоторую неопределен-
ность в количественном плане, физическая сущность этого принципа важна
для инженерного анализа.
Дополним приведенную качественную формулировку принципа Сен-Венана
возможными количественными оценками. Рассмотрим тело, нагруженное ста-
тически эквивалентной нулю системой сил. Оценим долю потенциальной энер-
гии деформации, заключенной в частях тела, примыкающих к месту нагру-
жения и удаленных от него.
На рис. 4.1 представлено тело
нулю системой сил𝐹. По участку его свободной поверхности
соединяется свободное тело
𝐹′называются
: статически эквивалентная нулю система сил, рас-
𝐴2.
статически эквивалентными
𝐹 − 𝐹′статически эквива-
𝐴1, нагруженное статически эквивалентной
, если равны
𝑆′к нему при-
73
Рис. 4.1.
ние тел 1 и 2
Процесс построения количественной оценки к принципу Сен-Венана. Объедине-
Сначала
Введем в рассмотрение
в сечении
докажем, что
𝑎1(𝐹 ) > 𝑎
𝑅12— статически эквивалентную нулю систему сил
𝑆*составного тела
1+2
𝐴1+ 𝐴2.
(𝐹 )
.
Потенциальная энергия деформации составного тела будет иметь вид:
′
(𝑅12),
1
𝑎1(𝑅12)и𝑎2(𝑅12)
(4.1)
— по-
где
𝑎1(𝐹 )
𝐹
на часть тела
𝑎
(𝐹 ) = 𝑎1(𝐹 ) + 𝑎1(𝑅12) + 𝑎2(𝑅12) + 𝑎
1+2
— потенциальная энергия деформации, вызванная действием сил
𝐴1(поверхность
𝑆
перешла в
𝑆′);
тенциальные энергии деформации, вызванные действием реакций на границе
составного тела (поверхность
𝑆
перешла в
𝑆*во втором теле);
𝑆′перешла в
′
𝑎
(𝑅12)
1
𝑆*в первом теле и поверхность
— работа сил𝐹, обусловленная
тем, что участок первого тела, нагруженный силами𝐹, деформируется из-за
приложения сил
𝑅12на
𝑆*.
Сравним теперь два состояния равновесия: истинное, где силами𝐹созда-
ется напряженное состояние, дающее в сечении
яние, в котором эта система реакций при тех же
𝑆*систему сил
𝐹
заменена системой сил
𝑅12, и состо-
(1 + 𝜀)𝑅12.
Система уравнений статики, описывающая поведение тела
следовательно, система сил
(1 + 𝜀)𝑅12создается статически возможной си-
𝐴2, линейна,
стемой напряжений что в свою очередь позволяет применить принцип ми-
нимума дополнительной работы. Кроме того, поскольку в данной системе
отсутствует поверхность, на которой задаются кинематические граничные
условия, функционал дополнительной работы в точности равен потенциаль-
ной энергии деформации.
74
При замене сил
𝑅12на
(1 + 𝜀)𝑅12слагаемые, входящие в уравнение (4.1),
будут изменяться следующим образом:
–
𝑎1(𝐹 ) −→ 𝑎1(𝐹 )
–
𝑎1(𝑅12) −→ (1 + 𝜀)2𝑎1(𝑅12)и𝑎2(𝑅12) −→ (1 + 𝜀)2𝑎2(𝑅12)
, так как система сил
являются квадратичными формами от деформаций, изменившихся на
(1 + 𝜀)
;
𝐹
остается неизменной;
, так как они
′
–
𝑎
(𝑅12) −→ (1 + 𝜀)𝑎
1
а силы
𝐹
остались неизменными.
′
(𝑅12)
1
, так как на
(1 + 𝜀)
изменились деформации,
Тогда приращение потенциальной энергии деформации составного тела
(4.2) должно быть положительно по принципу минимума дополнительной
работы:
Δ𝑎
(𝐹 ) = 𝑎1(𝐹 ) + (1 + 𝜀)2𝑎1(𝑅12) + (1 + 𝜀)2𝑎2(𝑅12) + (1 + 𝜀)𝑎
1+2
− 𝑎1(𝐹 ) − 𝑎1(𝑅12) − 𝑎2(𝑅12) − 𝑎
+ 𝜀2[𝑎1(𝑅12) + 𝑎2(𝑅12)] > 0.
Поскольку коэффициент при
′
(𝑅12) = 𝜀 [2𝑎1(𝑅12) + 2𝑎2(𝑅12) + 𝑎
1
𝜀2является суммой положительно-опреде-
′
(𝑅12)−
1
′
(𝑅12)] +
1
(4.2)
ленных квадратичных форм, для обеспечения положительности приращения
при произвольной вариации сил реакции необходимо, чтобы коэффициент
при𝜀обратился в ноль:
2𝑎1(𝑅12) + 2𝑎2(𝑅12) + 𝑎
′
(𝑅12) = 0.
1
(4.3)
Подставляя (4.3) в (4.1), получим:
𝑎
(𝐹 ) = 𝑎1(𝐹 ) − 𝑎1(𝑅12) − 𝑎2(𝑅12) < 𝑎1(𝐹 ),
1+2
что и требовалось доказать
.
Продолжая процесс мысленного присоединения к телу
далее, будем иметь:
𝑎1(𝐹 ) > 𝑎
Далее
обратимся к рис. 4.2 и сравним потенциальные энергии деформации,
создаваемые системами сил
(𝐹 ) > 𝑎
1+2
𝑅
1, 2+3
и
1+2+3
𝑅
1+2, 3
(𝐹 ) > . . . > 0.
, т. е. на меньшем и на большем
удалении от места нагружения силами𝐹.
75
𝐴1+ 𝐴2тела
(4.4)
𝐴3и
(4.5)
Рис. 4.2.
тела 3
Процесс построения количественной оценки к принципу Сен-Венана. Добавление
Итак, при введении сил реакции на меньшем расстоянии от участка нагру-
жения силами𝐹, т. е. между телами
деформации составного тела
𝐴1+ 𝐴2+ 𝐴3будет равна:
𝐴1и
𝐴2+ 𝐴3, потенциальная энергия
𝑎
1+2+3
(𝐹 ) = 𝑎1(𝐹 ) − 𝑎1(𝑅
1, 2+3
) − 𝑎
2+3
(𝑅
1, 2+3
),
(4.6)
тогда как с другой стороны имеем:
𝑎
1+2+3
= 𝑎1(𝐹 ) − 𝑎1(𝑅12) − 𝑎2(𝑅12) − 𝑎
(𝐹 ) = 𝑎
(𝐹 ) − 𝑎
1+2
1+2
(𝑅
1+2, 3
1+2
) − 𝑎3(𝑅
(𝑅
1+2, 3
) =
1+2, 3
) − 𝑎3(𝑅
1+2, 3
).
(4.7)
Сравнивая правые части формул (4.6) и (4.7), видим:
𝑎1(𝑅
Определим функционал
1, 2+3
) + 𝑎
2+3
𝑎(𝑅)
(𝑅
1, 2+3
) > 𝑎
1+2
(𝑅
1+2, 3
) + 𝑎3(𝑅
1+2, 3
).
, равный потенциальной энергии деформации
(4.8)
тела, нагруженного статически эквивалентной нулю системой сил𝐹. Он вы-
числяется по напряжениям, создаваемым силами𝑅, развивающимися в неко-
тором сечении тела. Из неравенства (4.8) следует, что
удалении сечения от места нагружения. Поскольку
𝑎(𝑅)
𝑎(𝑅)
уменьшается при
— положительно-
-определенная квадратичная форма, то ее можно принять за интегральную
меру самих напряжений. Полученные оценки указывают на уменьшение этой
меры при удалении от места нагружения и служат подтверждением принципа
Сен-Венана.
4.2. Постановка задачи Сен-Венана
Рассмотрим призматический стержень длины𝑙и сечения𝑆(рис. 4.3). Вве-
дем систему координат так, что ось𝑧совпадает с осью стержня, являющейся
геометрическим местом центров инерции поперечных сечений. Оси𝑥и𝑦, рас-
положенные в плоскости поперечного сечения, направлены по его главным
осям инерции:
76
Рис. 4.3.
Постановка задачи Сен-Венана
𝑆 =
d𝑆;
𝑆
𝑆
𝑥d𝑆 =
𝑦d𝑆 = 0,
𝑆
(4.9)
тогда моменты инерции сечения относительно расположенных в нем осей рав-
ны:
𝐼𝑥=
𝑦2d𝑆; 𝐼𝑦=
𝑆
𝑆
𝑥2d𝑆;
𝑥𝑦d𝑆 = 0.
𝑆
(4.10)
В задаче Сен-Венана рассматривается напряженное состояние в призмати-
ческом стержне, нагруженном по торцам поверхностными силами и со сво-
бодной боковой поверхностью. То есть на торцах имеем:
𝑧 = 0 : −𝜏𝑥𝑧= 𝑋
𝑧 = 𝑙 : 𝜏𝑥𝑧= 𝑋
где
𝑋
±
𝑧
±
,
𝑌
,
𝑧
−
(𝑥, 𝑦), −𝜏𝑦𝑧= 𝑌
𝑧
+
(𝑥, 𝑦), 𝜏𝑦𝑧= 𝑌
𝑧
±
𝑍
, — проекции на координатные оси поверхностных сил на
𝑧
−
(𝑥, 𝑦), −𝜎𝑧= 𝑍
𝑧
+
(𝑥, 𝑦), 𝜎𝑧= 𝑍
𝑧
+
(𝑥, 𝑦),
𝑧
−
(𝑥, 𝑦),
𝑧
(4.11)
торцах; а на боковой поверхности:
𝑛𝑥𝜎𝑥+ 𝑛𝑦𝜏𝑥𝑦= 0,
𝑛𝑥𝜏𝑥𝑦+ 𝑛𝑦𝜎𝑦= 0,
𝑛𝑥𝜏𝑥𝑧+ 𝑛𝑦𝜏𝑦𝑧= 0.
(4.12)
Отметим, что вектор касательной к контуруΓпоперечного сечения (и од-
новременно к боковой поверхности) можно представить в виде:
𝜏 =
d𝑥
𝑒𝑥+
d𝑠
d𝑦
d𝑠
𝑒𝑦,
(4.13)
77
где𝑠— дуга на контуреΓ, задаваемая уравнениями
𝑥 = 𝑥(𝑠); 𝑦 = 𝑦(𝑠); 𝑧 =
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Следовательно, вектор нормали, входящий в граничные условия (4.12), бу-
дет равен:
𝑛 = 𝜏 × 𝑒𝑧=
d𝑦
𝑒𝑥−
d𝑠
d𝑥
d𝑠
𝑒𝑦.
(4.14)
Далее введем𝑃,𝑄,𝑅— проекции главного вектора поверхностных сил на
торце
вычисленные относительно центра инерции сечения
бающие моменты,
распределены напряжения
𝑧 = 𝑙
𝑃 =
на координатные оси;
+
𝑋
(𝑥, 𝑦)d𝑆; 𝑄 =
𝑧
𝑆
𝑚𝑥,
𝑆
𝑚𝑦,
+
𝑌
(𝑥, 𝑦)d𝑆; 𝑅 =
𝑧
+
𝑦𝑍
(𝑥, 𝑦)d𝑆; 𝑚𝑦= −
𝑧
𝑚𝑧=
𝑥𝑌
𝑆
+
𝑧
− 𝑦𝑋
Силы
𝑃и𝑄
𝑚𝑥=
𝑆
называются поперечными, сила
𝑚𝑧— крутящий момент.
Уравнения равновесия участка стержня
𝜏𝑥𝑧,
𝜏𝑦𝑧и
𝜎𝑧, имеют вид:
𝑚𝑧— проекции главного момента,
𝑧 = 𝑙
:
+
𝑍
(𝑥, 𝑦)d𝑆;
𝑧
𝑆
+
𝑥𝑍
(𝑥, 𝑦)d𝑆;
𝑧
𝑆
+
d𝑆.
𝑧
𝑅
— осевой;
[𝑧; 𝑙]
, по левому торцу которого
𝑚𝑥,
𝑚𝑦— изги-
(4.15)
𝜏𝑥𝑧d𝑆 = 𝑃 ;
𝑆
𝑦𝜎𝑧d𝑆 = 𝑚𝑥− (𝑙 − 𝑧)𝑄; −
𝑆
Очевидно, что при
𝜏𝑦𝑧d𝑆 = 𝑄;
𝑆
𝑧 = 0
𝜎𝑧d𝑆 = 𝑅;
𝑆
(𝑥𝜏𝑦𝑧− 𝑦𝜏𝑥𝑧) d𝑆 = 𝑚𝑧;
𝑆
𝑥𝜎𝑧d𝑆 = 𝑚𝑦+ (𝑙 − 𝑧)𝑃.
𝑆
получим условия равновесия внешних поверх-
ностных сил.
Основные предположения
:
1. Касательные напряжения одинаковы для всех сечений, а нормальные
напряжения линейно зависят от𝑧:
𝜏𝑥𝑧= 𝜏𝑥𝑧(𝑥, 𝑦); 𝜏𝑦𝑧= 𝜏𝑦𝑧(𝑥, 𝑦); 𝜎𝑧= 𝜎
0
(𝑥, 𝑦) + (𝑙 − 𝑧)𝜎
𝑧
1
(𝑥, 𝑦).
𝑧
(4.16)
(4.17)
78
2. Волокна стержня не «давят» друг на друга и не оказывают сопротив-
ления при смещении перпендикулярно оси𝑧:
𝜎𝑥= 𝜎𝑦= 0; 𝜏𝑥𝑦= 0.
В этих предположениях заключается идея
нана
: некоторые напряжения (или перемещения) «угадываются», тогда ста-
полуобратного метода Сен-Ве-
(4.18)
новится проще решить остальные уравнения.
В этом случае точные граничные условия на торцах не выполняются, а за-
меняются интегральными соотношениями, что допустимо по принципу Сен-
Венана для определения напряженного состояния на некотором удалении от
торцов.
4.3. Напряжения в задаче Сен-Венана
Начнем с определения
нормальных напряжений
𝜎𝑧. Для этого воспользу-
емся уравнениями Бельтрами–Митчелла:
1
∇2𝜎 +
∇∇𝜎 = 0,
(4.19)
1 + 𝜈
которые с учетом (4.17) и (4.18) приведут к решению в форме:
𝜎𝑧= 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎0+ (𝑙 − 𝑧)(𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏0),
где
𝑎𝑖и
𝑏𝑖— константы.
Рассмотрим торец
𝑧 = 𝑙
и запишем интегральные граничные условия:
(4.16):
𝑆
−
𝑆
𝜎𝑧d𝑆 =
𝑆
𝑦𝜎𝑧d𝑆 =
𝑥𝜎𝑧d𝑆 = −
(𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎0) d𝑆 = 𝑎0𝑆 = 𝑅 =⇒ 𝑎0=
𝑆
𝑦 (𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎0) d𝑆 = 𝑎2𝐼𝑥= 𝑚𝑥=⇒ 𝑎2=
𝑆
𝑥 (𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎0) d𝑆 = −𝑎1𝐼𝑦= 𝑚𝑦=⇒ 𝑎1= −
𝑆
𝑚
𝐼
𝑅
𝑆
𝑥
(4.20)
;
𝑥
;
(4.21)
𝑚
𝑦
.
𝐼
𝑦
79
Обратимся к торцу
𝑧 = 0
и повторим действия:
𝜎𝑧d𝑆 = 𝑎0𝑆 + 𝑙𝑏0𝑆 = 𝑅 =⇒ 𝑏0= 0;
𝑆
𝑦𝜎𝑧d𝑆 = 𝑎2𝐼𝑥+ 𝑙𝑏2𝐼𝑥= 𝑚𝑥− 𝑙𝑄 =⇒ 𝑏2= −
𝑆
−
Таким образом,
Сен-Венана
𝑥𝜎𝑧d𝑆 = −𝑎1𝐼𝑦− 𝑙𝑏1𝐼𝑦= 𝑚𝑦+ 𝑙𝑃 =⇒ 𝑏1= −
𝑆
нормальные напряжения
в сечении
будут равны:
𝜎𝑧=
𝑅
𝑆
−
𝑀
𝐼
𝑦
𝑦
𝑀
𝑥 +
𝐼
где введены изгибающие моменты в сечении𝑧:
𝑀𝑥= 𝑚𝑥− (𝑙 − 𝑧)𝑄; 𝑀𝑦= 𝑚𝑦+ (𝑙 − 𝑧)𝑃.
Касательные напряжения
также будем искать с помощью уравнений рав-
новесия и Бельтрами–Митчелла:
𝑄
;
𝐼
𝑥
(4.22)
𝑃
.
𝐼
𝑦
для любой задачи
𝑥
𝑦,
𝑥
(4.23)
(4.24)
𝜕𝜏
𝑥𝑧
𝜕𝑥
∇2𝜏𝑥𝑧= −
∇2𝜏𝑦𝑧= −
+
𝜕𝜏
𝜕𝑦
𝑦𝑧
= −
1
1 + 𝜈𝑃𝐼
1
1 + 𝜈𝑄𝐼
𝜕𝜎
𝜕𝑧
𝑦
𝑥
𝑧
,
.
= −
𝑃
𝐼
𝑥 +
𝑦
Граничные условия (4.12) и (4.16) примут вид:
𝑛𝑥𝜏𝑥𝑧+ 𝑛𝑦𝜏𝑦𝑧= 0 −
𝜏𝑥𝑧d𝑆 = 𝑃,
𝑆
𝑆
на боковой поверхности
𝜏𝑦𝑧d𝑆 = 𝑄,
(𝑥𝜏𝑦𝑧− 𝑦𝜏𝑥𝑧) d𝑆 = 𝑚𝑧−
𝑆
𝑄
𝑦,
𝐼
𝑥
(4.25)
,
на торце
.
(4.26)
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]