Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
Рис. 5.7.
Модель вязкоупругого материала Кельвина–Фойгта
5.2. Вязкоупругий материал Кельвина–Фойгта
Как мы отметили ранее, для описания некоторых эффектов физическо-
го мира недостаточно одной только упругой модели. В частности, колебания
твердых тел затухают даже в безвоздушном пространстве, что свидетельству-
ет о наличии внутреннего трения. Для описания этого эффекта была разра-
ботана модель вязкоупругого материала Кельвина–Фойгта, представляющая
собой параллельное соединение вязкого и упругого элементов. Впоследствии,
правда, оказалось, что внутреннее трение, приводящее к затуханию колеба-
ний, имеет не вязкую, а пластическую природу. Тем не менее разработанная
модель оказалась весьма полезной, в частности при описании явления ползу-
чести. Модель материала Кельвина–Фойгта представлена на рис. 5.7.
Запишем определяющие уравнения для данной модели, используя опреде-
ляющие уравнения упругого и вязкого элементов, а также аксиомы парал-
лельного соединения:
𝑒 = 𝑒1= 𝑒2;
(5.7)
𝑆 = 𝑆1+ 𝑆2= 2𝜇𝑒1+ 2𝜂 ˙𝑒2.
Поскольку, исходя из первого уравнения системы, девиатор тензора дефор-
маций совпадает для обоих элементов, окончательно можем записать:
𝑆 = 2𝜇𝑒 + 2𝜂 ˙𝑒.
(5.8)
Полученное уравнение является определяющим уравнением для вязкоупру-
гого материала Кельвина–Фойгта. Для решения этого уравнения сначала
рассмотрим частный случай, когда на реологический элемент воздействует
силовая нагрузка, задаваемая в виде функции Хевисайда:
𝑆 = 𝐻(𝑡) · 𝑆0,
(5.9)
111
где
𝑆0= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
, а
𝐻(𝑡)
определяется следующим образом:
𝐻(𝑡) = 0,
при
𝑡 ≤ 0;
(5.10)
𝐻(𝑡) = 1,
при
𝑡 > 0.
Графическое представление для функции Хевисайда приведено на рис. 5.8.
Тогда соотношение (5.8) примет вид:
𝑡 > 0 : 2𝜇𝑒 + 2𝜂˙𝑒 = 𝑆0;
(5.11)
𝑡 = 0 : 𝑒 = 0, 𝑆 = 0.
Будем искать решение уравнения в виде
примет вид:
𝑒 = 𝑆
0
2𝜇
𝛾(𝑡)
. Тогда система (5.12)
𝑡 > 0 : 𝑇 ˙𝛾 + 𝛾 = 1;
(5.12)
𝑡 = 0 : 𝛾 = 0,
1
где
𝑇 = 𝜂/𝜇
— постоянная времени запаздывания ползучести. Для данного
уравнения легко находится общее и частное решение:
𝛾о= 𝐶𝑒
𝑡
−
𝑇
;
(5.13)
𝛾ч= 1.
Убедимся в том, что данное решение удовлетворяет первому уравнению
системы (5.13). Для нахождения константы
𝐶
воспользуемся начальными
условиями:
𝑡
−
𝑡 = 0 : 𝛾 = 0 => 1 + 𝐶 = 0 => 𝐶 = −1 => 𝛾(𝑡) = 1 − 𝑒
𝑇
.
(5.14)
Рис. 5.8.
Функция Хевисайда
112
Тогда для𝑒окончательно имеем:
𝑒 =
1
(1 − 𝑒
𝑡
−
𝑇
)𝑆0= Π(𝑡)𝑆0.
(5.15)
2𝜇
𝑡
−
В приведенном выражении
Π(𝑡) = (1 − 𝑒
𝑇
)
— функция ползучести. Ее
график представлен на рис. 5.9.
Из представленного рисунка видно, что с увеличением времени функция
1
все больше стремится к значению
, которое соответствует чисто упругому
2
решению (
𝑆0= 2𝜇𝑒
). С точки зрения реологической модели это означает, что
под действием приложенной нагрузки упругий элемент не может деформи-
роваться мгновенно, так как в этом случае напряжения в вязком элементе
окажутся бесконечными, что невозможно. Поэтому всю внешнюю нагрузку
в начальный момент времени воспринимает именно вязкий элемент, в кото-
ром возникает ненулевая скорость деформации и, следовательно, появляются
сами деформации. Одновременно с этим такие же деформации возникают и
в упругом элементе, а следовательно, в нем возникают и напряжения. По-
этому в вязком элементе напряжения в этот момент падают. В пределе все
напряжения «перетекают» из вязкого элемента в упругий, и при больших
временах упругий элемент деформируется так, как если бы вязкого элемен-
та не было. Явление протекания деформационного процесса при постоянной
нагрузке называется
ползучестью
. Из графика также видно, почему𝑇на-
зывается временем запаздывания ползучести: за это время материал успевает
2
деформироваться на
по сравнению с упругим решением (т. е. большая часть
3
деформации в этот момент уже произошла).
Рис. 5.9.
Функция ползучести
113
Определим реакцию материала Кельвина–Фойгта на произвольное воздей-
ствие
𝑆 = 𝑆(𝑡)
:
𝑡 > 0 : 2𝜇𝑒 + 2𝜂˙𝑒 = 𝑆(𝑡);
(5.16)
𝑡 = 0 : 𝑒 = 0, 𝑆 = 0.
Воспользуемся методом вариации произвольной постоянной:
𝑒 = 𝐶(𝑡)𝑒
𝑡
−
𝑇
=⇒ ˙𝑒 =˙𝐶(𝑡)𝑒
𝑡
−
1
𝑇
−
𝐶(𝑡)𝑒
𝑇
=⇒ 2𝜇𝐶(𝑡)𝑒
𝑡
−
𝑇
+ 2𝜂˙𝐶(𝑡)𝑒
𝑡
2𝜂
𝑇
−
𝐶(𝑡)𝑒
−
𝑇
𝑡
1
⇐⇒˙𝐶(𝑡) =
𝑒
𝑇
𝑆(𝑡).
2𝜂
Проинтегрировав последнее выражение, получим:
𝑡
𝐶(𝑡) =
0
1
2𝜂
𝜏
𝑇
𝑒
𝑆(𝜏) d𝜏 + 𝐴.
С учетом начальных условий имеем:
𝑡 = 0 : 𝑒 = 0 =⇒ 𝐶(𝑡) = 0 =⇒ 𝐴 = 0.
Окончательно для величины𝑒получим:
𝑒 =
𝑡
2𝜂
0
𝑡−𝜏
1
−
𝑇
𝑒
𝑆(𝜏) d𝜏.
𝑡
−
𝑇
=⇒
𝑡
𝑇
= 𝑆(𝑡) ⇐⇒
(5.17)
Проинтегрируем полученное уравнение по частям:
𝑇
2𝜂
𝑡
𝑇
2𝜂
0
𝑒 =
=
𝑇
𝑆(𝑡) −
2𝜂
𝑡
𝑆(𝜏) d
0
Принимая во внимание, что
𝑒 =
𝑡−𝜏
𝑇
𝑒
𝑡−𝜏
𝑇
𝑒
=
2𝜂
˙
𝑆(𝜏) d𝜏.
𝑆(𝑡) =
𝑡
1
2𝜇
0
𝑡−𝜏
𝑇
𝑇
𝑒
0
(1 − 𝑒
𝑆(𝜏)
𝑡
˙
𝑆(𝜏) d𝜏
𝑡−𝜏
𝑇
)˙𝑆(𝜏) d𝜏.
𝑡
−
0
0
и
2𝜂
114
𝑇
𝑡
𝑇
𝑡−𝜏
˙
𝑇
𝑒
𝑆(𝜏) d𝜏 =
2𝜂
1
=
, имеем:
2𝜇
(5.18)
Теперь вспомним определение функции ползучести (5.15). С учетом этого
определения запишем выражение (5.18) в виде:
𝑡
𝑒 =
Π(𝑡 − 𝜏)˙𝑆(𝜏) d𝜏
0
(5.19)
или
𝑒 =
𝑡
Π(𝑡 − 𝜏) d𝑆(𝜏 ).
0
(5.20)
Интеграл в последнем выражении называется интегралом Стилтьеса.
Проиллюстрируем физический смысл этого интеграла на конкретных при-
мерах:
1.
𝑆 = 𝑆0𝐻(𝑡)
обращается в ноль только в нулевой момент времени, когда
. В этом случае подынтегральное выражение в (5.20) не
d𝑆(𝜏) = 𝑆0.
Тогда выражение (5.20) принимает вид:
𝑒 = Π(𝑡)𝑆0.
(5.21)
Это выражение в точности совпадает с решением, полученным ранее (см.
(5.15)).
2.
𝑆 = 𝑆0𝐻(𝑡) − 𝑆0𝐻(𝑡 − 𝑡*)
в (5.20) не равно нулю в двух точках:
. В этом случае подынтегральное выражение
𝑡 = 0и𝑡 = 𝑡*. С учетом этого запишем
выражение (5.20) в виде:
𝑒 =
Π(𝑡)𝑆0,
при
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡*;
Π(𝑡)𝑆0− Π(𝑡 − 𝑡*)𝑆0= Λ(𝑡)𝑆0,
Рис. 5.10.
График функции
Λ(𝑡)
при
𝑡 ≥ 𝑡*.
(5.22)
115
Рис. 5.11.
Нахождение величины деформации с помощью разности функций
Π(𝑡)иΠ(𝑡−𝑡*)
В приведенном выражении
Λ(𝑡) = Π(𝑡) − Π(𝑡 − 𝑡*)
. Построим график
Λ(𝑡)
Как видно из рис. 5.10, на первом участке деформации постепенно увели-
чиваются после внезапно приложенной нагрузки. Однако после момента
𝑡
нагрузка внезапно исчезает и деформации постепенно уменьшаются до нуле-
вого значения. Наглядно этот эффект можно продемонстрировать с помощью
двух кривых функций ползучести
Π(𝑡)иΠ(𝑡 − 𝑡*)
: величину деформаций ха-
рактеризует разница между указанными кривыми (рис. 5.11).
5.3. Вязкоупругий материал Максвелла
Еще одним эффектом, который хорошо описывается с помощью комби-
нации упругого и вязкого реологических элементов, является
лаксации
— явление, при котором уровень внутренних напряжений падает
эффект ре-
при постоянной кинематической нагрузке. Для описания этого эффекта была
разработана модель вязкоупругого материала Максвелла, представляющая
собой последовательное соединение вязкого и упругого элементов. Модель
материала Максвелла представлена на рис. 5.12.
.
*
Рис. 5.12.
Модель вязкоупругого материала Максвелла
116
Запишем определяющие уравнения для материала Максвелла, используя
аксиомы параллельного соединения:
𝑒 = 𝑒1+ 𝑒2;
(5.23)
𝑆 = 𝑆1= 𝑆2.
𝑆
Продифференцируем первое уравнение по времени и учтем, что
𝑒1=
2𝜇
𝑆
и
˙𝑒2=
2
. Тогда окончательно получим:
2𝜂
˙
𝑆
2𝜇
+
𝑆
2𝜂
= ˙𝑒.
(5.24)
Данное уравнение является определяющим уравнением для вязкоупругого
материала Максвелла. Рассмотрим поведение этого материала при действии
произвольной кинематической нагрузки. Сначала решим однородное уравне-
ние:
˙
𝑆
2𝜇
+
𝑆
2𝜂
= 0.
(5.25)
1
Решением уравнения будет выражение вида:
𝑡
−
𝑆 = 𝐶(𝑡)𝑒
где
𝑇 = 𝜂/𝜇
— время релаксации.
Для решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации
произвольной постоянной. Будем искать решение в виде
𝑇
,
𝑆 = 𝐶(𝑡)𝑒
𝑡
−
𝑇
(5.26)
. Под-
ставив данное выражение в (5.24), получим:
При
имеем:
1
−
𝐶(𝑡)𝑒
2𝜇𝑇
=⇒˙𝐶(𝑡) = 2𝜇𝑒
𝑡
+
1
𝐶(𝑡)𝑒
˙
−
𝑇
2𝜇
𝑡
𝑇
˙𝑒(𝑡) =⇒ 𝐶(𝑡) =
𝑡 = 0:𝑒 = 0 ⇒ 𝑆 = 0 ⇒ 𝐶(0) = 0 ⇒ 𝐴 = 0
𝐶(𝑡) =
0
−
𝑡
2𝜇𝑒
𝑡
𝑇
+
1
𝐶(𝑡)𝑒
2𝜂
0
𝜏
𝑇
˙𝑒(𝜏) d𝜏.
𝑡
2𝜇𝑒
𝑡
−
𝑇
= ˙𝑒(𝑡) =⇒
𝜏
𝑇
˙𝑒(𝜏) d𝜏 + 𝐴.
. Тогда окончательно
(5.27)
117
Подставив полученное выражение в (5.26), запишем выражение для𝑆:
𝑡
где
𝑅(𝑡) = 2𝜇𝑒
𝑆 =
𝑡
−
𝑇
— функция релаксации.
𝑅(𝑡 − 𝜏 ) d𝑒(𝜏 ),
0
(5.28)
Рассмотрим частный случай нагружения, при котором кинематическая на-
грузка прикладывается в виде функции Хевисайда:
Тогда для приращения
d𝑒(𝜏)
𝑒 = 𝑒0𝐻(𝑡).
верно следующее:
(5.29)
𝜏 > 0 : d𝑒(𝜏) = 0;
(5.30)
𝜏 = 0 : d𝑒(𝜏 ) = 𝑒0.
Следовательно, в соответствии с (5.28):
𝑆 = 𝑅(𝑡)𝑒0.
(5.31)
Таким образом, поведение𝑆во времени целиком определяется функцией
релаксации
𝑅(𝑡)
. График зависимости данной функции от времени представ-
лена на рис. 5.13.
Из приведенного графика становится ясен смысл функции релаксации: ес-
ли внезапно приложить и удерживать постоянной кинематическую нагруз-
ку, материал в первый момент поведет себя как чисто упругий, но затем, с
течением времени, напряжения будут
релаксировать
, в пределе стремясь к
нулевому значению. Также из приведенного графика ясен смысл времени ре-
2
лаксации: за это время напряжения успевают упасть на
по сравнению с
3
упругим решением (т. е. большая часть релаксации в этот момент уже про-
изошла).
118
Рис. 5.13.
Функция релаксации
Рассмотрим более сложное воздействие, при котором мы сначала внезапно
прикладываем кинематическую нагрузку, а затем прикладываем ее еще раз,
но в обратном направлении:
𝑒 = 𝑒0𝐻(𝑡) − 𝑒0𝐻(𝑡 − 𝑡*).
(5.32)
Тогда для девиатора тензора напряжений имеем:
где
Λ(𝑡) = 𝑅(𝑡) − 𝑅(𝑡 − 𝑡*)
𝑆 = 𝑒0𝑅(𝑡) − 𝑒0𝑅(𝑡 − 𝑡*) = 𝑒0Λ(𝑡),
. Построим график
Λ(𝑡)
(рис. 5.14).
(5.33)
Как видно из рис. 5.14, на первом участке напряжения постепенно падают
после внезапно приложенной кинематической нагрузки. Однако после момен-
та
𝑡*возникает кинематическая нагрузка с обратным знаком, которая при-
водит к сжатию упругого элемента на приложенную величину и соответству-
ющему скачку в девиаторе тензора напряжений. В дальнейшем напряжения
постепенно уменьшаются до нулевого значения.
Рис. 5.14.
График функции
119
Λ(𝑡)
Заключение
В учебном пособии представлены подходы к решению некоторых фунда-
ментальных задач теории упругости, основы некоторых численных методов,
а также базовые модели неупругого поведения в механике деформируемо-
го твердого тела. Следует отметить, что разобранные примеры представля-
ют лишь малую часть задач, к которым могут быть применены аналитиче-
ские методы теории упругости и механики деформируемого твердого тела, а
спектр задач, поддающихся решению с помощью численных методов, и во-
все безграничен. Тем не менее авторы надеются, что освоение читателями
представленных в данной книге методов и подходов поможет сформировать
тот фундамент, который позволит им в дальнейшем успешно решать самые
разные задачи механики, в том числе самостоятельно разрабатывая подходы
к их решению.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]