Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
векторов
фигурации. Тогда текущее положение точки определяется как
𝑅
этих точек в начальный момент времени, т. е. в отсчетной кон-
𝑟 = 𝑟(𝑅, 𝑡)
В подходе Эйлера материальные точки идентифицируются на основе их по-
ложения в пространстве в текущий момент времени:
𝑅 = 𝑅(𝑟, 𝑡)
. В этом
случае𝑟— это радиус-вектор той точки пространства, в которой находится
материальная точка в рассматриваемый момент времени𝑡.
В механике деформируемого твердого тела вводятся понятия перемеще-
ния, скорости и ускорения. При материальном описании мы говорим о пе-
ремещении, скорости и ускорении выбранной материальной точки (иденти-
фицированной по начальному положению), при пространственном описании
мы говорим о перемещении, скорости и ускорении материальной точки, на-
ходящейся в данный момент времени в данной точке пространства. В рамках
подхода Лагранжа эти величины находят следующим образом:
𝑢(𝑅, 𝑡) = 𝑟(𝑅, 𝑡) − 𝑅;
.
𝑣(𝑅, 𝑡) = ˙𝑟(𝑅, 𝑡);
(1.3)
𝑤(𝑅, 𝑡) = ¨𝑟(𝑅, 𝑡).
При описании движения тела в рамках подхода Эйлера выражения отли-
чаются:
𝑢(𝑟, 𝑡) = 𝑟 − 𝑅(𝑟, 𝑡);
𝑣(𝑟, 𝑡) = −
𝜕𝑅
·
𝜕𝑡
𝜕𝑅
𝜕𝑟
−1
;
(1.4)
𝜕𝑣
𝑤 =
+ 𝑣 · (∇𝑣).
𝜕𝑡
Первое слагаемое в выражении для ускорения в формуле (1.4) называется
локальным ускорением, второе — конвективным.
Локальное ускорение
—
это ускорение материальной точки, вызванное изменением во времени ско-
рости в точке пространства, определяемой вектором𝑟, а
конвективное
—
ускорение материальной точки, обусловленное ее перемещением между точ-
ками пространства, характеризующимися различными скоростями𝑣.
Деформацией
тела называется изменение взаимного положения частиц
тела, связанное с изменением расстояний между ними. В подходе Лагранжа
деформация описывается с помощью градиента деформации Лагранжа, меры
деформации Коши–Грина и тензора деформации Коши–Грина:
11
𝐹 =
∘
∇
T
𝑟
= 𝑟
∘
∇
;
𝐺 = 𝐹T· 𝐹 ;
𝐶 =
1
𝐺 − 𝐸.
(1.5)
2
По аналогии с подходом Лагранжа вводят градиент деформации Эйлера
𝑅∇
, меру деформации Альманси, тензор деформации Альманси:
𝑔 = ∇𝑅 · 𝑅∇;
𝐴 =
1
𝐸 − 𝑔.
(1.6)
2
В терминах перемещений тензоры деформаций Коши–Грина и Альманси
имеют вид:
𝐶 =
𝐴 =
∘
1
∇
𝑢 + 𝑢
∘
∇
+
∘
∇
𝑢 · 𝑢
2
1
∇𝑢 + 𝑢∇ − ∇𝑢 · 𝑢∇.
∘
∇
;
(1.7)
2
∘
В линейной теории упругости
∇
≈ ∇
, а тензоры деформаций Коши–Грина
и Альманси в этом случае оказываются равными тензору малых деформаций:
𝐶 ≈ 𝐴 ≈
(∇𝑢 + 𝑢∇) = 𝜀.
(1.8)
2
Одно из важнейших понятий механики деформируемого твердого тела –
тензор напряжений Коши𝜎, который является симметричным. С помощью
формулы Коши из тензора напряжений можно получить вектор напряжений
на любой выбранной площадке в рассматриваемой точке материального тела:
1
Механический смысл координат
том, что координата
𝜎𝑠𝑟равна проекции на ось
𝜎𝑛= 𝑛 · 𝜎.
𝜎𝑠𝑟тензора напряжений заключается в
𝑂𝑥𝑟вектора напряжения,
(1.9)
действующего на площадке с внешней нормалью, направленной вдоль оси
𝑂𝑥𝑠. Более подробное описание введенных величин можно найти в учебном
пособии «Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные по-
нятия и уравнения теории упругости» [7].
12
1.2. Система уравнений линейной теории упругости
Основные уравнения теории упругости задаются тремя группами соотно-
шений. Первая группа — это уравнения статики в объеме, которые могут быть
представлены
тремя
скалярными или одним векторным соотношением:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0.
(1.10)
Вторая группа уравнений содержит определение линейного тензора дефор-
мации𝜀через вектор перемещения𝑢:
𝜀 =
1
∇𝑢 + (∇𝑢)
T
.
(1.11)
2
Отметим, что тензорное уравнение (1.11) содержит шесть скалярных урав-
нений, связывающих
шесть
компонент симметричного тензора деформаций
с частными производными от компонент вектора перемещений по коорди-
натам.
Третья группа соотношений в линейной теории упругости представляет
собой одну из форм обобщенного закона Гука, например:
𝜈
𝜎 = 2𝜇
𝜃𝐸 + 𝜀
(1.12)
1 − 2𝜈
или обратное соотношение
𝜀 =
1
𝜎 −
2𝜇
𝜈
1 + 𝜈
𝜎𝐸.
(1.13)
Формулы (1.12) и (1.13) выражают закон Гука в форме одного тензорного
соотношения, записанного для симметричных тензоров𝜎и𝜀, и, таким обра-
зом, каждая из этих форм эквивалентна
шести
скалярным соотношениям
для компонент этих тензоров.
Подводя итог, отметим, что система уравнений (1.10), (1.11) и (1.12) или
(1.13) содержит
ти
неизвестных скалярных функций (
ричных тензоров второго ранга𝜎и𝜀и
пятнадцать
скалярных уравнений относительно
двенадцать
три
компоненты вектора𝑢). Таким
компонент двух симмет-
пятнадца-
образом, с точки зрения соотношения количества уравнений и неизвестных
представленная система является замкнутой. Однако, в силу того что первые
две группы соотношений, (1.10) и (1.11), представлены дифференциальными
уравнениями в частных производных, то для разрешения системы необходи-
мо сформулировать граничные условия.
13
В теории упругости применяются три основных типа граничных условий:
1. Кинематические граничные условия — на поверхности𝑆объема𝑉,в точ-
ках которого разыскиваются значения неизвестных системы уравнений, за-
даются значения всех компонент вектора перемещения:
𝑢
𝑆
= 𝑈.
(1.14)
2. Статические (или силовые) граничные условия — на поверхности𝑆объ-
ема𝑉,в точках которого разыскиваются значения неизвестных системы урав-
нений, задаются некоторые компоненты тензора напряжений соотношением:
𝑛 · 𝜎
𝑆
= 𝐹 .
(1.15)
3. Смешанные граничные условия — на части поверхности
кинематические условия, а на оставшейся части
условия:
𝑢
𝑆
𝑛 · 𝜎
= 𝑈,
1
𝑆
= 𝐹 .
2
𝑆2= 𝑆 ∖𝑆1задаются силовые
𝑆1задаются
(1.16)
Зачастую при решении задач оказывается удобным уменьшить число неиз-
вестных в системе уравнений. Это можно сделать, представив входящие в
уравнения равновесия напряжения с помощью обобщенного закона Гука че-
рез деформации, а те в свою очередь — через перемещения с использованием
кинематических соотношений. В результате система уравнений теории упру-
гости может быть сформулирована в перемещениях:
1
∇𝜃 + ∇2𝑢 +
1 − 2𝜈
𝜌
𝑓 = 0,
𝜇
(1.17)
𝜀
где
𝜃 = 𝐼
1
= ∇ · 𝑢
— объемная деформация.
Граничные условия на той части границы, на которой заданы поверхност-
ные силы, также необходимо записать через вектор перемещений:
𝐹 = 2𝜇
1
𝜃𝑛 + 𝑛 · ∇𝑢 +
1 − 2𝜈
1
𝑛 × (∇ × 𝑢).
2
(1.18)
Представление системы уравнений теории упругости в перемещениях яв-
ляется удобным в случаях, когда требуется отыскание вектора перемеще-
ния. Однако возможны также ситуации, когда интерес представляет только
14
напряженно-деформированное состояние тела, т. е. тензоры напряжений и де-
формаций. В таких случаях нередко удобным оказывается сформулировать
уравнения теории упругости в напряжениях. При этом в дополнение к урав-
нениям равновесия используются уравнения Бельтрами–Митчелла, и система
уравнений в напряжениях может быть записана в виде:
∇ · 𝜎 = 0,
∇2𝜎 +
1
∇∇𝜎 = 0.
(1.19)
1 + 𝜈
Данная система уравнений должна быть дополнена тремя скалярными гра-
ничными условиями в каждой точке границы тела, сформулированными для
компонент тензора напряжений, например:
𝑛 · 𝜎
𝑆
= 𝐹 .
(1.20)
1.3. Теорема Кирхгоффа о единственности решения системы
уравнений линейной теории упругости
Рассмотрим условия равновесия материального объема
объемных сил
𝜌𝑓
и поверхностных сил𝐹(рис. 1.1). Система уравнений будет
𝑉
под действием
состоять из (1.10), (1.11) и (1.12) с граничными условиями (1.16).
Кроме того, вводятся следующие предположения:
1. Начальное состояние тела — натуральное.
1
2. Модули упругости
𝜇 > 0и−1 < 𝜈 <
, это обеспечивает тот факт,
2
что удельная потенциальная энергия деформации𝐴является положительно-
определенной квадратичной формой компонент тензора напряжений или де-
формаций, причем в ноль она обращается только при
𝜀 = 0
[7].
3. При записи граничных условий изменением формы и объема тела пре-
небрегают; они могут быть найдены после решения задачи по определению
поля перемещений.
15
Рис. 1.1.
сил
𝜌𝑓
и поверхностных сил
Объем
𝑉,
ограниченный поверхностью𝑆и подверженный действию объемных
𝐹
Теорема.
При перечисленных условиях решение краевой задачи (1.10)–
(1.16) единственно.
Доказательство
Пусть имеется два отличных друг от друга решения:
проведем методом от противного.
𝑢′,
𝜀′,
𝜎′и
𝑢′′,
𝜀′′,
𝜎′′.
Введем новые переменные:
𝑢 = 𝑢′′− 𝑢′, 𝜀 = 𝜀′′− 𝜀′, 𝜎 = 𝜎′′− 𝜎′.
(1.21)
В силу линейности соотношений (1.10)–(1.16), переменные𝑢,𝜀и𝜎удовле-
творяют аналогичной системе, но с нулевыми объемными силами и гранич-
ными условиями:
1 − 2𝜈
𝜈
𝜃𝐸 + 𝜀,
(1.22)
∇ · 𝜎 = 0, 𝜀 =
𝑢
= 0, 𝑛 · 𝜎
𝑆
1
1
∇𝑢 + (∇𝑢)
2
= 0.
𝑆
2
T
, 𝜎 = 2𝜇
Тогда для напряженно-деформированного состояния (1.22) можем запи-
сать формулу Клапейрона [7]:
𝑎 =
𝐴d𝑉 =
𝑉
1
2
𝑉
0
𝜌𝑓
· 𝑢d𝑉 +
Следовательно, действительно
условий,
что и требовалось доказать
1
𝐹 ·
2
𝑆
1
𝜀′= 𝜀′′и
.
16
0
7
𝑢d𝑆 +
1
2
𝜎′= 𝜎′′, а
𝑆
0
7
𝐹 · 𝑢d𝑆 = 0.
2
𝑢′= 𝑢′′из краевых
(1.23)
Замечания:
1. Единственность решения для перемещений доказана только для первой
и третьей краевых задач, где существует граничное условие вида
для второй краевой задачи
до перемещения как твердого целого:
𝑛·𝜎
= 𝐹
𝑆
поле перемещений находят с точностью
𝑢
= 𝑈
𝑆
𝑢′′= 𝑢′+ 𝑢0+ 𝜙0× 𝑟.
2. Из теоремы следует, что линейная теория не описывает сосуществование
различных состояний, как это, например, бывает при продольном сжатии
стержня (задача Эйлера о потери устойчивости сжатого стержня).
3. Если не пренебрегать изменением формы тела, то кинематические усло-
вия примут вид
′
𝑢
= 𝑈, 𝑢
′
𝑆
1
′
= 𝑈 =⇒ 𝑆
′′
𝑆
1
′
1
= 𝑆
′′
,
1
так как задание поля перемещений𝑈определяет одну и ту же форму поверх-
ности, но из силовых граничных условий равенство соответствующих площа-
дей не следует
;
𝑛′· 𝜎
′
= 𝐹 , 𝑛′′· 𝜎
′
𝑆
2
′′
= 𝐹
′′
𝑆
2
=⇒ 𝑛′= 𝑛′′, 𝑆
′
2
= 𝑆
′′
,
2
так как помимо напряжений различаются как нормали, так и площади.
4. Теорема Кирхгоффа утверждает единственность решения, но не его су-
ществование.
1.4. Теорема о взаимности работ
(теорема Бетти)
1.4.1. Формулировка теоремы
Рассмотрим два состояния равновесия линейно-упругого тела. Пусть пер-
вое состояние характеризуется полем перемещений
щений
𝑢′′.
По векторам
𝑢′и
𝑢′′определяются тензоры деформации и тензоры
𝑢′,
второе — полем переме-
17
напряжений:
𝜀′=
𝜀′′=
1
(∇𝑢′+ 𝑢′∇) , 𝜎′= 2𝜇
2
1
(∇𝑢′′+ 𝑢′′∇) , 𝜎′′= 2𝜇
2
1 − 2𝜈
1 − 2𝜈
𝜈
𝜈
где𝜈— коэффициент Пуассона;𝜇— модуль сдвига;
𝜃′𝐸 + 𝜀
𝜃′′𝐸 + 𝜀
𝜃′, 𝜃′′— соответствующие
′
;
′′
,
объемные деформации.
Кроме того, для реализации рассматриваемых состояний к телу должны
быть приложены объемные и поверхностные силы:
𝜌𝑓′= −∇ · 𝜎′, 𝐹′= 𝑛 · 𝜎′;
𝜌𝑓′′= −∇ · 𝜎′′, 𝐹′′= 𝑛 · 𝜎′′,
где𝑛— вектор нормали к поверхности.
Теорема Бетти.
Работа внешних сил первого состояния на перемещениях,
соответствующих второму состоянию, равна работе сил второго состояния на
перемещениях первого состояния:
𝜌𝑓′· 𝑢′′d𝑉 +
𝑉
Доказательство
−∇ · 𝜎
′
· 𝑢′′d𝑉 +
𝑉
𝜌𝑓
′
𝐹′· 𝑢′′d𝑆 =
𝑆
. Запишем:
′
𝑛 · 𝜎
𝑆
′
𝐹
·𝑢′′d𝑆 =
𝜌𝑓′′· 𝑢′d𝑉 +
𝑉
−∇ · 𝜎
𝑉
𝜌𝑓
′′
′′
·𝑢′d𝑉 +
𝐹′′· 𝑢′d𝑆.
𝑆
𝑆
𝑛 · 𝜎
′′
𝐹
′′
·𝑢′d𝑆.
(1.24)
(1.25)
Применим формулу Остроградского–Гаусса к левой части равенства (1.25):
−
∇ · 𝜎′· 𝑢′′d𝑉 +
𝑛 · 𝜎′· 𝑢′′d𝑆 =
−𝑢′′· ∇ · 𝜎′+ ∇ · (𝑢′′· 𝜎′)
d𝑉.
(1.26)
𝑉
𝑆
𝑉
𝜎′·· 𝜀
′′
Таким образом, левую часть формулы (1.24) можно переписать в виде:
𝜌𝑓′· 𝑢′′d𝑉 +
𝐹′· 𝑢′′d𝑆 =
𝜎′· · 𝜀′′d𝑉.
(1.27)
𝑉
𝑆
𝑉
18
Аналогично преобразуем правую часть (1.24):
𝜌𝑓′′· 𝑢′d𝑉 +
𝑉
𝐹′′· 𝑢′d𝑆 =
𝑆
𝜎′′· · 𝜀′d𝑉.
𝑉
(1.28)
Далее (1.27) можно переписать в виде:
𝜈
𝜎′· · 𝜀′′= 2𝜇
𝜃′𝐸 + 𝜀
1 − 2𝜈
так как
𝐸 · · 𝜀′′= tr𝜀′′= 𝜃′′. Вместе с тем
убеждаемся в равенстве (1.27) и (1.28),
′
· · 𝜀′′= 2𝜇
что и требовалось доказать
𝜈
𝜃′𝜃′′+ 𝜀′· · 𝜀
1 − 2𝜈
𝜀′· · 𝜀′′= 𝜀′′· · 𝜀′,
′′
,
следовательно,
.
1.4.2. Применение теоремы о взаимности работ
Теорема о взаимности работ позволяет по заданным внешним силам состо-
яния равновесия линейно-упругого тела определить некоторые усредненные
характеристики напряженно-деформированного состояния.
В качестве первого состояния возьмем некоторое простое однородное напря-
женно-деформированное состояние, задаваемое аффинным преобразованием:
𝑢′= Λ′· 𝑟 =⇒ 𝜀′=
1
Λ′+ Λ
′T
, Λ = 𝜀′+ Φ′,
(1.29)
2
где
Λ′= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡;Φ′= −𝜙′× 𝐸
щений;
Учитывая, что
𝜙′— линейный вектор поворота [7].
𝜀′= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
внешние объемные силы отсутствуют, т. е.
— антисимметричная часть градиента переме-
и, как следствие,
𝜎′= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜌𝑓′= 0
, в первом состоянии
, а поверхностные силы
должны быть равны:
𝐹′= 𝜆𝜃′𝑛 + 2𝜇𝑛 · 𝜀′.
(1.30)
Для удобства опустим в дальнейших выкладках знак′′у величин, харак-
теризующих второе состояние, для которого и будем определять искомые
усредненные характеристики.
С учетом вышеизложенного запишем теорему о взаимности работ (1.24)
следующим образом:
𝜌𝑓 · Λ′· 𝑟d𝑉 +
𝑉
𝐹 · Λ′· 𝑟d𝑆 =
𝑆
𝜆𝜃′𝑛 + 2𝜇𝑛 · 𝜀
𝑆
′
· 𝑢d𝑆.
(1.31)
19
Рассмотрим отдельно следующую сумму:
𝜌𝑓 · Φ′· 𝑟d𝑉 +
𝑉
𝐹 · Φ′· 𝑟d𝑆 = −
𝑆
= −𝜙 ·
𝑟 × 𝜌𝑓 d𝑉 +
𝑉
𝜌𝑓 ·𝜙 × 𝑟d𝑉 −
𝑉
𝑟 × 𝐹 d𝑆
𝑆
𝑆
= 0.
𝐹 ·𝜙 × 𝑟d𝑆 =
(1.32)
Эта сумма обращается в ноль, так как стоящий в квадратных скобках глав-
ный момент второго состояния должен быть равен нулю из условий равнове-
сия. Следовательно, из формулы (1.31) можем исключить повороты и заме-
нить
Λ′на тензор деформаций
𝜀′.
Кроме того, имеем:
𝑛 · 𝑢d𝑆 =
𝑆
∇ · 𝑢d𝑉 =
𝑉
𝑉
𝜃d𝑉 ,
𝑛 · 𝜀′· 𝑢d𝑆 =
𝑆
∇ ·𝜀′· 𝑢d𝑉 =
𝑉
так как
Обозначим
=
𝜀′= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
среднюю объемную деформациюисредний тензор деформаций
𝑉
𝑢 ·
∇ · 𝜀
*
′
d𝑉 +
0
.
𝜀′· · 𝜀d𝑉 = 𝜀′· ·
𝑉
как:
1
𝜃𝑚=
𝜃d𝑉,
𝑉
𝑉
1
𝜀𝑚=
𝜀d𝑉.
𝑉
𝑉
Тогда формула (1.31) может быть записана в виде:
𝑉
𝜀d𝑉,
(1.33)
(1.34)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]