Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
Применим вторую формулу Грина к переменным𝜑и
𝑤0:
𝑆
𝜑 ∇2𝑤
0
−𝑤0∇2𝜑d𝑆 =
=0
𝜑
𝜕𝑤
0
− 𝑤
0
𝜕𝑛
Γ
𝜕𝜑
𝜕𝑛
=0
d𝑠.
Тогда с учетом (4.104) и (4.108) имеем:
(𝑟 × 𝑛) · 𝑒𝑧𝜑d𝑠 = −𝐴 ·
Γ
𝑟𝑤0d𝑆.
𝑆
Далее применим вторую формулу Грина к переменнымΦи𝜓:
Φ∇2𝜓 − 𝜓 ∇2Φ
𝑆
=−2
d𝑆 =
Γ
Φ
=0
𝜕𝜓
𝜕𝑛
− 𝜓
=0
𝜕Φ
𝜕𝑛
d𝑠.
Тогда уравнение (4.106) можно переписать в виде:
𝜈
2𝜓d𝑆 = −
Φ∇2𝜓d𝑆 = −
(𝑒𝑧× 𝐴) · 𝑟Φd𝑆 + 2𝐺𝛼
1 + 𝜈
𝑆
𝑆
𝑆
𝑆
Φd𝑆.
(4.109)
(4.110)
5. Далее рассмотрим проекцию (4.107) на
𝑒𝑧·𝑟𝑝× 𝑃= −
𝑒𝑧· (𝑛 × 𝑟) 𝜑d𝑠 + 2
Γ
𝑒𝑧:
𝑆
которое с учетом (4.109) и (4.110) преобразуется к виду:
𝜈
𝑒𝑧·𝑟𝑝× 𝑃= −𝐴 ·
𝑟𝑤0d𝑆 −
𝐴 ·
(𝑟 × 𝑒𝑧) Φd𝑆 + 𝐺𝛼 2
1 + 𝜈
𝑆
что позволит найти𝛼. Здесь
C
В то же время проекция (4.107) на
— жесткость на кручение (4.52).
𝑒𝑧может быть записана как:
𝑆
𝑒𝑧·𝑟𝑝× 𝑃= 𝑥𝑝𝑄 − 𝑦𝑝𝑃.
𝜓d𝑆,
Φd𝑆
𝑆
=C
(4.111)
,
101
Учитывая определение вектора𝐴(4.99), получим:
𝑃
𝑥𝑝𝑄 − 𝑦𝑝𝑃 = −
𝐼
𝑦
𝑆
𝑄
−
𝐼
𝑥
𝑦𝑤0d𝑆 −
1 + 𝜈
𝑆
Введем следующие обозначения:
𝑥𝑝𝑄 − 𝑦𝑝𝑃 = 𝑥𝑚𝑄 − 𝑦𝑚𝑃 + 𝐺𝛼C;
1
𝑥𝑚=
−
𝐼
𝑥
𝑦𝑤0d𝑆 +
𝑆
1
𝑦𝑚=
𝐼
𝑦
𝑥𝑤0d𝑆 +
𝑆
𝑥𝑤0d𝑆 +
𝜈
𝑆
𝑥Φd𝑆
1 + 𝜈
𝜈
1 + 𝜈
1 + 𝜈
𝜈
𝑆
𝜈
𝑆
+ 𝐺𝛼C.
𝑥Φd𝑆
𝑆
𝑦Φd𝑆
𝑦Φd𝑆
.
−
;
Тогда формула (4.111) примет вид:
𝑒𝑧·𝑟𝑝× 𝑃= 𝑒𝑧· (𝑟𝑚× 𝑃 ) + 𝐺𝛼C,
откуда получаем
Таким образом,
𝛼 = 0
ляется радиус-вектором
𝛼 =
, если
𝑟𝑚, называется
1
𝑒𝑧·𝑟𝑝− 𝑟
𝐺C
𝑚
× 𝑃
.
𝑟𝑝= 𝑟𝑚. Точка, положение которой опреде-
центром жесткости сечения
(4.112)
Параметр𝛼определяет величину закручивания единицы длины стержня при
изгибе силой.
Теорема Новожилова
: координаты центра жесткости сечения при изги-
бе стержня поперечной силой, приложенной на торце, могут быть вычислены
через функцию напряженийΦи функцию перемещений (депланацию)
𝑤0из
задачи о кручении этого стержня.
4.6.3. Определение перемещений
.
Перемещения будем искать в виде:
𝑢 = 𝑢 + 𝑤𝑒𝑧,
(4.113)
102
тогда
∇𝑢 =
∇ + 𝑒
𝜕
𝑧
(𝑢 + 𝑤𝑒𝑧) ,
𝜕𝑧
следовательно, тензор деформаций будет равен:
𝜀 =
∇𝑢
+
1
∇𝑤 +
S
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑒𝑧+
1
2
𝑒
𝑧
∇𝑤 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+ 𝑒𝑧𝑒
𝑧
𝜕𝑤
.
𝜕𝑧
Закон Гука можно записать в виде:
𝜀 =
1
𝜎 −
2𝐺
𝜈
1 + 𝜈
𝜎𝐸.
(4.114)
Тогда с учетом представления тензора напряжений через вектор напряже-
ний (4.97), выражения для нормального напряжения (4.98) и представления
вектора напряжений (4.103), будем иметь следующую систему:
∇𝑢
S
= −
12𝐺𝜈
𝜕𝑤
𝜕𝑧
∇𝑤 +
1 + 𝜈
=
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝐴 · 𝑟(𝑧 − 𝑙)𝐸 = −
1
𝜈
1 −
2𝐺
1
=
𝐺
𝜎𝑛=
1 + 𝜈
1
𝐺
∇𝜑 +∇𝜓 × 𝑒
𝜈
𝐴 · 𝑟(𝑧 − 𝑙)𝐸;
𝐸
𝐴 · 𝑟(𝑧 − 𝑙);
(4.115)
(4.116)
,
𝑧
(4.117)
где𝐸— модуль Юнга;
𝑟 ≡ 𝑟
.
Начнем с уравнения (4.116). Его можно проинтегрировать, тогда получим:
2
𝑧
− 𝑙𝑧+ 𝑊 (𝑟).
2
(4.118)
𝑤 =
1
𝐴 · 𝑟
𝐸
Далее заметим, что
∇ (𝐴 · 𝑟𝑟) = 𝐴𝑟 +𝐸𝐴 · 𝑟;
2
∇𝐴
𝑟
2
∇𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
=∇
𝑟 · 𝑟
𝑟 · 𝑟
𝐴 = 𝑟𝐴;
2
=𝐸𝐴 · 𝑟 + 𝐴𝑟 − 𝑟𝐴 =𝐸𝐴 · 𝑟 + 2 (𝐴𝑟)A.
2
Тогда уравнение (4.115) можно переписать в виде:
∇𝑢
S
= −
𝜈
(𝑧 − 𝑙)
𝐸
∇𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝑟 · 𝑟
2
S
103
и проинтегрировать:
𝑢 = −
𝜈
(𝑧 − 𝑙)𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝐸
𝑟 · 𝑟
2
+𝑈(𝑧) + 𝜗(𝑧)𝑒𝑧× 𝑟
перемещение как тв. тела
Подставим теперь (4.118) и (4.119) в (4.117):
−
=
𝜈
𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝐸
1
∇𝜑 +∇𝜓 × 𝑒
𝐺
𝑟 · 𝑟
2
d𝑈
+
d𝑧
+
d𝜗
𝑒𝑧× 𝑟 +
d𝑧
.
𝑧
∇
вычислим ротор от получившегося со-
1
𝐸
𝐴
2
𝑧
2
отношения и после приведения подобных будем иметь:
2𝜈
−
𝐸
𝐴 × 𝑟 + 2
d𝜗
𝑒𝑧= −
d𝑧
1
𝐺
𝑒
∇2𝜓.
𝑧
Сравнивая (4.121) и (4.106) и учитывая, что
.
(4.119)
− 𝑙𝑧+∇𝑊 (𝑟) =
(4.120)
(4.121)
𝑒𝑧𝑒𝑧· (𝐴 × 𝑟) = 𝐴 × 𝑟,
поскольку
𝐴 ≡𝐴и𝑟 ≡ 𝑟
, приходим к выводу, что
d𝜗
= 𝛼, 𝜗(𝑧) = 𝛼𝑧 + 𝜗0.
d𝑧
Теперь формула (4.120) может быть преобразована к виду:
𝜈
−
=
𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝐸
1
∇𝜑 +∇𝜓 × 𝑒
𝐺
зависит от
𝑟 · 𝑟
+ 𝛼𝑒𝑧× 𝑟 +∇𝑊 (𝑟)
2
зависит от
𝑧
𝑟
d𝑈
+
d𝑧
𝑟
1
+
𝐸
зависит только от
.
Введем константу разделения переменных:
2
𝑧
− 𝑙𝑧,
2
−𝐶 =
d𝑈
d𝑧
+
1
𝐴
𝐸
𝐴
𝑧
2
2
− 𝑙𝑧
𝑧
(4.122)
=
(4.123)
104
которая не определена в данной задаче, тогда
𝑈(𝑧) =
𝐸
1
𝑙𝑧
2
𝐴
2
−
3
𝑧
−𝐶𝑧 +𝐷.
6
Окончательно для плоской части вектора перемещений получаем:
𝑢 = −
𝜈
𝐸
+𝛼𝑧 + 𝜗
(𝑧 − 𝑙)𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
0
𝑒𝑧× 𝑟.
𝑟 · 𝑟
2
+
1
𝐸
𝐴
𝑙𝑧
2
−
2
3
𝑧
6
−𝐶𝑧 +𝐷
тв. тело
В свою очередь,
∇𝑊 (𝑟) =
𝜈
𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝐸
𝑟 · 𝑟
2
+
1
∇𝜑 +
𝐺
1
∇𝜓 + 𝛼𝑟× 𝑒𝑧+𝐶,
𝐺
так что для депланации окончательно имеем:
𝑟
∇𝑊 d𝑟 =
0
𝑟
1
𝐸
𝐴 · 𝑟
2
𝑧
− 𝑙𝑧+𝐶 · 𝑟
2
тв. тело
𝑤 =
1
𝐸
𝐴 · 𝑟
𝑧
2
− 𝑙𝑧+
2
+
(4.124)
+
𝑟
+
0
𝑟
𝜈
𝐴 · 𝑟𝑟 − 𝐴
𝐸
𝑟 · 𝑟
2
+
1
𝐺
∇𝜑 +
Если рассмотреть формулу (4.124) при
1
∇𝜓 + 𝛼𝑟× 𝑒
𝐺
𝑟 = 0
, т. е. для срединной линии,
d𝑟.
𝑧
(4.125)
и пренебречь твердотельным движением, то получим известные из курса со-
противления материалов выражения:
=⇒ 𝑢𝑥=
1𝐸𝑃
𝐼
𝑢 =
𝑦
𝑙𝑧
1
𝑙𝑧
2
𝐴
𝐸
2
−
2
𝑧
6
3
2
, 𝑢𝑦=
−
3
𝑧
=⇒
6
1𝐸𝑄
𝐼
2
𝑙𝑧
2
𝑥
−
3
𝑧
,
(4.126)
6
при этом депланация будет не равна нулю, т. е. гипотеза плоских сечений
нарушается.
105
4.6.4. О среднем повороте сечения
Рассмотрим проекцию линейного вектора поворота на ось стержня:
1
𝜙𝑧=
∇ × 𝑢· 𝑒𝑧.
(4.127)
2
Плоская часть вектора перемещений задана формулой (4.124), и ротор,
вычисляемый с помощью плоской части∇
∇ × 𝑢 = −
2𝜈(𝑧 − 𝑙)
, будет равен (см. формулу (4.121)):
𝐴 × 𝑟 + 2𝛼𝑧 + 𝜗
0
𝑒𝑧,
𝐸
так что
𝜈(𝑧 − 𝑙)
𝜙𝑧= −
(𝐴 × 𝑟) · 𝑒𝑧+ 𝛼𝑧 + 𝜗0.
(4.128)
𝐸
Существует несколько вариантов осреднения угла поворота. В данном слу-
чае ограничимся рассмотрением
среднего арифметического по сечению
1
𝜙𝑧=
𝜙𝑧d𝑆.
(4.129)
𝑆
𝑆
Имеем:
𝜈(𝑧 − 𝑙)
𝜙𝑧d𝑆 = −
𝑆
𝐸
𝐴
×
𝑆
0
𝑟
d𝑆
· 𝑒
+𝛼𝑧 + 𝜗
𝑧
0
𝑆,
следовательно,
𝜙𝑧= 𝛼𝑧 + 𝜗0.
(4.130)
:
Приходим к определению параметра𝛼(4.112):
d𝜙
𝑧
𝛼 =
,
d𝑧
то есть это
средний
угол закручивания сечения на единицу длины стержня.
106
(4.131)
5. БАЗОВЫЕ МОДЕЛИ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
5.1. Метод реологических моделей в механике деформируемого
твердого тела
Реология
— наука, занимающаяся определяющими уравнениями. До на-
стоящего момента мы рассматривали только упругое поведение деформиру-
емого тела. Однако физические эксперименты показывают, что различные
материалы в различных условиях могут проявлять не только упругие, но
также вязкие, пластические и другие свойства. При этом, как правило, ука-
занные свойства проявляются при изменении формы деформируемого тела,
в то время как на изменение объема деформируемое тело по-прежнему реа-
гирует упруго. Для описания указанных материалов в механике деформиру-
емого тела существуют классические определяющие уравнения для процессов
формоизменения.
5.1.1. Упругий материал. Реологический элемент Гука
Если материал линейно-упругий, то девиатор тензора напряжений
Dev𝜎
и девиатор тензора деформаций
𝑒 = Dev𝜀
связаны линейно:
𝑆 = 2𝜇𝑒.
𝑆 =
(5.1)
Коэффициент𝜇называется модулем сдвига. Отметим, что, исходя из фи-
зического смысла,𝜇должен быть положительным. Добавляя шаровую часть,
получаем одну из известных форм закона Гука:
𝐼1(𝜎)
𝜎 =
𝐸 + 𝑆 = 𝐾𝜃𝐸 + 2𝜇𝑒.
(5.2)
3
Для обозначения упруго материала вводят так называемый
элемент Гука
(рис. 5.1).
Рис. 5.1.
Реологический элемент Гука
реологический
107
Рис. 5.2.
Реологический элемент Ньютона
5.1.2. Вязкий материал. Реологический элемент Ньютона
Еще одно классическое определяющее уравнение для процессов формоиз-
менения — уравнение вязкого материала:
𝑆 = 2𝜂 ˙𝑒,
(5.3)
где𝜂— коэффициент вязкости.
Из термодинамических соображений следует, что𝜂должен быть неотри-
цательным. Для обозначения вязкого материала вводится
мент Ньютона
(рис. 5.2). В отличие от упругого материала напряжения в
реологический эле-
вязком материале возникают при наличии ненулевой скорости деформации.
5.1.3. Пластический материал. Реологический элемент
Прандтля
Последнее классическое определяющее уравнение для процессов формоиз-
менения, которое мы рассмотрим в данном параграфе, — уравнение пласти-
ческого материала:
𝑆 = 0,
если
‖𝑆‖ < 𝜏𝑠;
(5.4)
где
|𝑆|
— некоторая норма девиатора тензора напряжений (например, квад-
ратичная), а
𝑆 = 2𝜆˙𝑒,
𝜏𝑠— некоторое предельное значение (например, предел текуче-
если
‖𝑆‖ = 𝜏𝑠,
сти), при достижении которого в материале начинается процесс деформации.
Символом𝜆обозначается коэффициент пластичности. В отличие от коэффи-
циента вязкости коэффициент пластичности является непостоянной величи-
ной и зависит от скорости деформации (это следует из того, что левая часть
последнего уравнения должна оставаться постоянной). Из ограничений, на-
кладываемых термодинамическими соотношениями, вытекает, что𝜆должен
быть неотрицательным. Для обозначения пластического материала вводится
реологический элемент Прандтля
(рис. 5.3). Так же как и в вязком материа-
ле, напряжения в пластическом материале возникают при наличии ненулевой
скорости деформации.
108
Рис. 5.3.
Реологический элемент Прандтля
5.1.4. Метод реологических моделей
Метод реологических моделей
— это метод получения новых опреде-
ляющих соотношений (заранее удовлетворяющих законам термодинамики и
приципу материальной объективности) на основе известных «старых соотно-
шений».
Введем в рассмотрение элементы𝛼(рис. 5.4). В качестве элемента𝛼может
выступать один из трех рассмотренных ранее реологических элементов. Ка-
ким образом можно объединить элементы между собой? Для этого вводятся
правила (аксиомы) параллельного и последовательного соединения.
1. Параллельное соединение.
Для параллельного соединения (рис. 5.5) вводятся следующие аксиомы:
𝑒 = 𝑒𝛼= 𝑒𝛾;
(5.5)
𝑆 = 𝑆𝛼+ 𝑆𝛾.
Можно показать, что получаемые таким образом определяющие соотноше-
ния (связывающие общий девиатор тензора напряжений и общий девиатор
тензора деформаций) удовлетворяют всем ограничениям, накладываемым за-
конами термодинамики и принципом материальной объективности при усло-
вии, что этим соотношениям удовлетворяют исходные элементы.
Рис. 5.4.
Реологические элементы𝛼(
109
𝛼 = 1, ..., 𝑁
)
Рис. 5.5.
Параллельное соединение двух реологических элементов
2. Последовательное соединение.
Для последовательного соединения (рис. 5.6) вводятся следующие аксио-
мы:
𝑒 = 𝑒𝛼+ 𝑒𝛾;
(5.6)
𝑆 = 𝑆𝛼= 𝑆𝛾.
Как и в случае с параллельным соединением, можно показать, что получа-
емые таким образом определяющие соотношения удовлетворяют всем огра-
ничениям, накладываемым законами термодинамики и принципом матери-
альной объективности при условии, что этим соотношениям удовлетворяют
исходные элементы.
Применение метода реологических моделей рассмотрим в следующем па-
раграфе.
Рис. 5.6.
Последовательное соединение двух реологических элементов
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]