Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
на основании чего перепишем выражение для
𝛿Φ
в следующем виде:
𝛿Φ = −
∇ · 𝜎+ 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 +
𝑉
Поверхность𝑆состоит из двух поверхностей:
𝛿Φ = −
∇ · 𝜎+ 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 +
𝑉
𝑆
Таким образом, в силу произвольности
ности
𝑆2, где перемещения не заданы, выполнение условия стационарности
𝑛 · 𝜎 ·
1
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
𝑆1и
0
𝛿𝑢d𝑆 +
𝛿𝑢
в объеме и на той части поверх-
𝑆
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
𝑆2. Тогда
𝑛 · 𝜎 − 𝐹· 𝛿𝑢d𝑆 = 0.
2
требует обращения в ноль подынтегральных выражений в объемном и по-
верхностном интегралах:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0,
𝑛 · 𝜎
𝑆
2
= 𝐹 .
(3.16)
Кроме того, имеем:
𝑢
𝑆
1
𝜎 = 𝜎(𝜀),
= 𝑈,
(3.17)
𝜀 = (∇𝑢)S.
Вместе системы (3.16) и (3.17) образуют полную систему уравнений линей-
ной теории упругости,
Замечание.
Обозначим:
что и требовалось доказать
.
∇ · 𝜎 = 𝐿(𝑢), 𝑛 · 𝜎 = 𝑀 (𝑢),
где𝐿и
𝑀
— дифференциальные операторы:
1
𝐿(𝑢) = 𝜇
𝑀(𝑢) = 2𝜇
1 − 2𝜈
∇𝜃 + ∇2𝑢, 𝜃 = ∇ · 𝑢;
1
1
𝜃𝑛 + 𝑛 · ∇𝑢 +
1 − 2𝜈
2
𝑛 × (∇ × 𝑢).
Тогда приходим к дифференциальным уравнениям равновесия в переме-
щениях (1.17):
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓 = 0,
51
и к краевому условию на
𝑆2(1.18):
𝑀(𝑢)
𝑆
2
= 𝐹 .
Таким образом, действительно, формулировка вариационного принципа
минимума потенциальной энергии системы записывается в терминах пере-
мещений и их производных по координатам и не связана с представлением
о напряженно-деформированном состоянии системы.
3.3. Методы приближенного решения задач теории упругости
В предыдущем параграфе был рассмотрен вариационный принцип мини-
мума потенциальной энергии системы. На основе этого принципа строятся
методы для поиска приближенного решения системы уравнений линейной
теории упругости. В данном учебном пособии будут рассмотрены три мето-
да: метод Ритца, метод Галёркина и метод Канторовича.
Определение
: система функций называется
полной
, если кроме функ-
ции, тождественно равной нулю, не существует непрерывной функции, ко-
торая на определенном промежутке была бы ортогональна всем функциям
системы.
Определение
тервале
[𝑎, 𝑏]
: функции
, если:
𝑓(𝑥)и𝑔(𝑥)
𝑏
ортогональны
друг другу на ин-
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)d𝑥 = 0.
𝑎
Определение
: пусть задана функция
𝑓(𝑥)
на отрезке
[𝑎, 𝑏].
Тогда
полная замкнутая система функций, ортогональных на
𝑛
𝑓(𝑥) ≈
𝑏
𝑐𝑘𝜑𝑘(𝑥),
𝑘=0
1
где
𝑐𝑘=
𝜆
Условие
𝑓(𝑥)𝜑𝑘(𝑥)d𝑥,
𝑘
𝑎
замкнутости
𝜆𝑘=
системы
𝑏
𝜑
𝑎
𝜑𝑘(𝑥)
2
(𝑥)d𝑥.
𝑘
: для любых непрерывных функций
𝜑𝑘(𝑥)
[𝑎, 𝑏]
—
, если:
52
𝑓(𝑥)
выполняется
∞
𝑘=0
𝜆𝑘𝑐
𝑏
2
=
𝑘
𝑓(𝑥)2d𝑥.
𝑎
Пример:1, cos(𝑥), sin(𝑥), ..., cos(𝑘𝑥), sin(𝑘𝑥)
ма на интервале
[0, 2𝜋]
.
— тригонометрическая систе-
3.3.1. Метод Ритца
В методе Ритца не рассматриваются ни уравнение равновесия в объеме
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓 = 0
будут удовлетворены автоматически, если мы найдем поле перемещений, ко-
торое удовлетворяет граничному условию
, ни силовое граничное условие
𝑢
𝑀(𝑢)
𝑆
1
= 𝑈
= 𝐹
𝑆
2
, потому что они
и будет минимизировать
функционал потенциальной энергии системыΦ.
Будем искать приближенное решение в виде:
𝑛
𝑢(𝑟) = 𝑢0(𝑟) +
где
𝑢𝑘(𝑟)
— полная замкнутая система функций, выбранная из тех или иных
соображений. Для удобства функции выбирают так, что
данное значение
𝑈
на
𝑆1, а
𝑢𝑘обращается в ноль на
𝑘=1
𝑎𝑘𝑢𝑘(𝑟),
(3.18)
𝑢0(𝑟)
принимает за-
𝑆1. Таким образом, ки-
нематическое граничное условие для вектора𝑢удовлетворяется при любых
значениях коэффициентов
𝑎𝑘, которые и подлежат определению.
Итак, идея метода Ритца заключается в том, чтобы найти такие значения
коэффициентов
𝑎𝑘, при которых функционал потенциальной энергии систе-
мы (3.19) будет минимальным при подстановке в него вектора перемещений
в форме (3.18):
Φ =
𝐴d𝑉 −
𝑉
Напомним, что удельная потенциальная энергия деформации
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆.
𝑆
2
𝐴
— поло-
(3.19)
жительно-определенная квадратичная форма компонент деформации𝜀, а по-
скольку тензор деформации можно представить таким образом:
𝑛
𝜀 = (∇𝑢)S= 𝜀0+
𝑎𝑘𝜀𝑘, 𝜀𝑘= (∇𝑢𝑘)S,
𝑘=1
53
получаем:
𝐴(𝜀)d𝑉 =
𝑉
𝐴(𝜀0)d𝑉 +
𝑉
1
2
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑠=1
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑘𝑎𝑠.
(3.20)
Подставим𝑢, выраженное формулой (3.18), в оставшуюся часть потенци-
альной энергии системы (3.19):
+
1
2
Φ =
𝑛
𝑘=1
𝐴(𝜀)d𝑉 −
𝑉
𝑛
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑘𝑎𝑠−
𝑠=1
Здесь учтено, что интегралы работы внешних сил по
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢0d𝑉 +
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆 =
𝑆
2
𝐹 · 𝑢0d𝑆 +
𝑆
2
𝐴(𝜀0)d𝑉 +
𝑉
𝑛
𝑏𝑘𝑎
𝑘=1
𝑉
и по
.
𝑘
𝑆2линейно
(3.21)
зависят от𝑢.
Таким образом, функционал
и линейной форм коэффициентов
Φ(𝑎𝑘) = Φ2(𝑎𝑘) − Φ1(𝑎𝑘) + Φ0.
Φ
представлен в виде суммы квадратичной
𝑎𝑘и некоторой константы:
(3.22)
Согласно принципу минимума потенциальной энергии системы, наилучшее
приближение в выбранном классе аппроксимирующих векторов
вается значениями коэффициентов
𝑎𝑘, минимизирующихΦ. Условие стацио-
обеспечи-
𝑢
𝑘
нарности (и, следовательно, минимальности) имеет вид:
𝛿Φ = 𝛿(Φ2− Φ1+ Φ0) = 0.
Так как
При этом, поскольку
𝛿Φ2=
Φ0— константа,
𝑛
𝜕Φ
2
𝛿𝑎𝑘=
𝜕𝑎
𝑘=1
𝑘
𝛿Φ0= 0
Φ2— квадратичная форма, а
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑠=1
откуда получаем систему из
вестных:
𝑛
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑠= 𝑏𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.
𝑠=1
, откуда следует:
𝛿Φ2= 𝛿Φ1.
Φ1— линейная:
𝑛
𝜕Φ
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑠𝛿𝑎𝑘, 𝛿Φ1=
𝑘=1
𝑛
линейных уравнений относительно
𝜕𝑎
1
𝛿𝑎𝑘=
𝑘
54
𝑛
𝑘=1
𝑏𝑘𝛿𝑎𝑘,
𝑛
неиз-
(3.23)
Возвращаясь к формуле (3.20), перепишем ее как
𝐴(𝜀 − 𝜀0)d𝑉 =
𝑉
Поскольку
нент тензора деформации, то и
𝐴
— положительно-определенная квадратичная форма компо-
Φ2такая же форма от
определитель матрицы ее коэффициентов положителен. А так как
1
2
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑘𝑎𝑠= Φ2.
𝑠=1
𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛, поэтому
|𝐶𝑘𝑠| = 0
то решение системы (3.23) существует, и оно единственно.
При достаточной общности системы аппроксимирующих функций вычис-
ленное значение потенциальной энергии системы будет с ростом𝑛прибли-
жаться к ее истинному минимуму. Но эта сходимость по энергии не означает
приближение к истинному полю перемещений. Кроме того, точность поля
напряжений, вычисленная по приближенному полю перемещений, будет еще
меньше.
3.3.2. Метод Канторовича
Метод Канторовича представляет собой уточнение метода Ритца. Предпо-
ложим, что коэффициенты
одной из переменных, от которых зависят сами
𝑥𝑖𝑒𝑖,
допустим, что
𝑎𝑘зависят от координаты
𝑎𝑘в разложении (3.18) не константы, а зависят от
𝑢𝑘. Поскольку
𝑢𝑘= 𝑢𝑘(𝑟), 𝑟 =
𝑥𝑗:
,
𝑛
𝑢 = 𝑢0+
𝑎𝑘(𝑥𝑗)𝑢𝑘.
𝑘=1
(3.24)
Повторяем процедуру так же, как в методе Ритца. Из условия стационар-
ности функционала
однородных дифференциальных уравнений относительно
Φ
получим не систему линейных уравнений, а систему
𝑎𝑘(𝑥𝑗)
. Очевидно,
что при одном и том же количестве членов ряда в формулах (3.18) и (3.24)
решение, полученное методом Канторовича, будет точнее, чем решение, по-
лученное методом Ритца.
3.3.3. Метод Галёркина
Этот метод представляет собой видоизменение метода Ритца, не требу-
ющее вычисления функционала потенциальной энергии системы. Все урав-
нения можно получить только из дифференциальных уравнений равновесия
и силовых граничных условий.
Итак, уравнениям равновесия удовлетворяют те перемещения, для которых
выполняется условие стационарности
𝛿Φ = 0
.
55
Искомый вектор𝑢можно представить в виде:
𝑛
где
𝑢𝑘— полная замкнутая система
раем их так, чтобы
Тогда, учитывая, что
𝑢
0
= 𝑈
𝑆
1
𝛿𝑢0= 0
𝑢 = 𝑢0+
ортогональных
, а
𝑢
𝑘
𝑆
1
, подставим выражение (3.25) не в саму по-
𝑘=1
= 0
𝑎𝑘𝑢𝑘,
.
тенциальную энергию системы, а сразу в ее вариацию:
(3.25)
функций. Снова выби-
𝛿Φ = −
= −
Вариации
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 +
𝑉
𝑛
𝑘=1
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓· 𝑢𝑘d𝑉 +
𝑉
𝛿𝑎𝑘произвольные, а равенство должно выполняться всегда, зна-
(𝑀(𝑢) − 𝐹 ) · 𝛿𝑢d𝑆 =
𝑆
2
(𝑀(𝑢) − 𝐹 ) · 𝑢𝑘d𝑆
𝑆
2
𝛿𝑎𝑘= 0.
чит, коэффициенты при этих вариациях должны обращаться в ноль:
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓· 𝑢𝑘d𝑉 +
𝑉
Фактически в формуле (3.26) требуется, чтобы проекции на векторы
невязок
𝐿(𝑢) + 𝜌𝑓
в объеме и
(𝑀(𝑢) − 𝐹 ) · 𝑢𝑘d𝑆 = 0, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.
𝑆
2
𝑀(𝑢) − 𝐹
на поверхности были равны нулю.
(3.26)
𝑢
Таким образом, вместо дифференциального уравнения снова необходимо
решить систему из𝑛линейных алгебраических уравнений для поиска коэф-
фициентов
𝑎𝑘(3.23):
𝑘
𝑛
𝐶𝑘𝑠𝑎𝑠= 𝑏𝑘, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛.
𝑠=1
3.3.4. Пример использования метода Ритца для исследования
изгиба балок
Рассмотрим задачу об изгибе балки призматического сечения на двух шар-
нирных опорах в сопроматной (т. е. фактически одномерной) постановке.
В данной задаче роль перемещений играет прогиб по оси
𝑂𝑦 : 𝑢(𝑟) −→ 𝑦(𝑥)
объемные силы становятся распределенной нагрузкой, а поверхностные силы
отсутствуют:
𝜌𝑓 −→ 𝑞, 𝐹 −→ 0.
56
,
Прогиб будем искать в виде:
𝑛
где
𝜑𝑘(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝜑0(𝑥) +
— полная замкнутая система функций на
𝑘=1
𝑎𝑘𝜑𝑘(𝑥),
[0, 𝑙]
(3.27)
.
Кинематические граничные условия, как следует из способа закрепления,
имеют вид:
𝑦
𝑥=0
= 𝑦
𝑥=𝑙
= 0.
(3.28)
Также в точках закрепления будут равны нулю изгибающие моменты (бо-
лее подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе):
Тогда систему функций
𝜑0= 0, 𝜑
Представим
𝜑𝑘в виде тригонометрической системы:
′′
𝑦
𝑥=0
𝜑𝑘будем выбирать так, чтобы:
= 𝑦
𝑘
𝑥=0
′′
𝑥=𝑙
= 𝜑
= 0.
𝑘
𝑥=𝑙
(3.29)
= 0.
𝜋𝑘𝑥
𝜑𝑘(𝑥) = sin
, 𝑘 ∈ N,
(3.30)
𝑙
что позволяет автоматически удовлетворить граничным условиям (3.28) и
(3.29), не «закрепляя» балку в лишних точках.
В общем случае потенциальная энергия системы состоит из трех слагае-
мых (3.22), но, поскольку
𝜑0= 0
, останутся лишь квадратичная и линейная
формы:
Φ = Φ2− Φ1,
причем
где
𝑀
Φ2— потенциальная энергия деформации при изгибе, имеющая вид:
𝑙
Φ2=
1
2
— изгибающий момент;
𝑀𝑦′′d𝑥, 𝑦′′=
0
𝐸𝐼
— изгибная жесткость балки.
𝑀
,
𝐸𝐼
57
Тогда:
Φ2=
𝑙
1
𝐸𝐼(𝑦′′)2d𝑥 =
2
0
1
2
𝐸𝐼
𝑙
0
𝑛
𝑘=1
2
𝜋2𝑘
𝑎
𝑘
sin
2
𝑙
𝜋𝑘𝑥
𝑙
𝑛
𝑠=1
2
𝜋2𝑠
𝑎
𝑠
2
𝑙
𝜋𝑠𝑥
sin
𝑙
В данной задаче есть только постоянная по𝑥распределенная нагрузка𝑞,
тогда линейная форма примет вид:
Φ1=
= −
0
𝑛
𝑘=1
𝑙
𝑞𝑦d𝑥 =
𝑙
𝑎𝑘𝑞
𝑘𝜋
𝑘=1
cos
𝑛
𝑎𝑘𝑞
𝜋𝑘𝑥
𝑙
𝜋𝑘𝑥
sin
d𝑥 =
𝑙
0
=
𝑁
𝑘=1
𝑎𝑘𝑞𝑙
(1 − cos 𝑘𝜋).
𝜋𝑘
𝑙
0
𝑙
Далее из условия стационарностиΦимеем:
𝜕(Φ2− Φ1)
𝛿Φ = 0 =⇒
𝜕𝑎
𝑘
= 0, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛,
d𝑥.
где
𝜕Φ
𝜕𝑎
𝑘
𝑞𝑙
1
=
(1 − cos 𝜋𝑘),
𝜋𝑘
Так как
𝑙
𝜋𝑘𝑥
sin
0
то
𝜕Φ
2
= 𝐸𝐼
𝜕𝑎
𝑘
В итоге получаем уравнения:
𝑞𝑙
𝜋𝑘
𝑙
𝜕Φ
𝜕𝑎
2
𝑘
= 𝐸𝐼
𝑠=1
0
𝜋𝑠𝑥
sin
𝑙
𝑙
𝜋4𝑘
𝑎
𝑘
0
4
𝑙
d𝑥 = 0
𝑙
4
sin
2
𝜋𝑘𝑥
(1 − cos 𝜋𝑘) = 𝐸𝐼
𝑛
𝑎
𝑠
при
d𝑥 = 𝐸𝐼
𝑙
𝑎
2
𝜋2𝑠
2
𝑙
𝑘4𝜋
𝑘
2
sin
4
3
𝑙
𝜋𝑠𝑥
𝑙
𝑘 = 𝑠,
𝑎
𝑘4𝜋
𝑘
2
2
𝜋2𝑘
2
𝑙
4
.
3
𝑙
sin
𝜋𝑘𝑥
d𝑥.
𝑙
58
и находим значения
𝑎𝑘:
4𝑞
𝑎𝑘=
𝜋5𝑘
0, 𝑘 −
Рассмотрим прогиб в центре балки при
𝑘 = 1 =⇒ 𝑦
5
𝑥=𝑙/2
4
𝑙
𝐸𝐼
, 𝑘 −
4
=
5
𝜋
нечетные
четные
𝑛 = 1
𝑞𝑙
:
4
≈ 0, 013071
𝐸𝐼
,
.
4
𝑞𝑙
.
𝐸𝐼
Точное решение этой задачи:
*
𝑦
𝑥=𝑙/2
=
Видим, что даже при одном члене ряда отличие составляет всего
4
5𝑞𝑙
384𝐸𝐼
≈ 0, 013021
𝑞𝑙
𝐸𝐼
4
.
≈ 0, 38 %
3.4. Уравнения равновесия балки
как уравнения Эйлера вариационной проблемы о минимуме
функционала потенциальной энергии системы
.
Снова рассмотрим задачу об изгибе балки призматического сечения. Пусть
на балку действует распределенная нагрузка, тогда, как демонстрировалось
ранее, потенциальная энергия системы будет иметь вид:
Φ(𝑦(𝑥)) =
где
𝑦(𝑥)
𝑞(𝑥)
— прогиб балки;
— интенсивность распределенной нагрузки.
Утверждение
𝑙
1
𝐸𝐼(𝑦′′)2d𝑥 −
2
0
𝐸𝐼
— изгибная жесткость балки;𝑙— длина балки;
: при минимизации функционала
𝑙
0
𝑞𝑦d𝑥 =
𝑙
𝐹 (𝑦, 𝑦′′)d𝑥,
0
Φ(𝑦(𝑥))
мы получим не
только дифференциальные уравнения равновесия для задачи, но и гранич-
ные условия в нужном количестве. Недостающие граничные условия, назы-
ваемые
естественными
, не обусловливаются внешними обстоятельствами и
следуют из самой сути вариационной задачи. Удовлетворение естественным
граничным условиям необходимо для соблюдения экстремума функционала
в той же мере, что и удовлетворение дифференциальному уравнению Эйлера.
59
Итак, запишем условие стационарности функционала
Φ(𝑦(𝑥))
:
𝑙
𝛿Φ =
𝜕𝐹
𝛿𝑦 +
𝜕𝑦
0
𝑙
=
0
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
+
𝜕𝑦
Если прогиб𝑦и поворот сечения
на обоих концах балки имеем заделку
′′
d𝑥
𝛿𝑦
d
′′
d𝑥 =
2
2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
′′
𝜕𝐹
𝛿𝑦′−
′′
𝜕𝑦
𝑙
𝜕𝐹
𝛿𝑦 −
𝜕𝑦
0
𝜕𝐹
𝛿𝑦d𝑥 +
𝜕𝑦
𝑦′фиксированы на концах интервала, т. е.
𝛿𝑦
𝑙
0
= 𝛿𝑦
dd𝑥𝜕𝐹
𝛿𝑦
′′
𝜕𝑦
d𝑥
′′
𝑙
0
d
𝛿𝑦′−
𝑙
′
0
= 0.
𝜕𝐹
𝜕𝑦
′′
𝛿𝑦
′
d𝑥 +
dd𝑥𝜕𝐹
𝛿𝑦
′′
𝜕𝑦
= 0
, то граничный член:
𝑙
= 0.
0
𝜕𝐹
𝜕𝑦
′′
𝛿𝑦
Следовательно, условием стационарности функционала будет уравнение
Эйлера в виде:
𝜕𝐹
+
𝜕𝑦
d
d𝑥
2
2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 0.
′′
𝑙
′
=
0
Учитывая, что
𝐹 (𝑦, 𝑦′′) =
1
𝐸𝐼(𝑦′′)2− 𝑞𝑦 =⇒
2
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= −𝑞,
𝜕𝐹
𝜕𝑦
′′
= 𝐸𝐼𝑦′′,
окончательно получим уравнение Эйлера в виде:
′′′′
𝐸𝐼𝑦
= 𝑞.
То есть действительно получили уравнение равновесия изогнутой балки.
Рассмотрим далее граничный член, который перепишем в виде:
𝑙
𝐸𝐼𝑦′′𝛿𝑦′− 𝑦
′′′
𝛿𝑦
= 0.
0
Пусть, например, задано консольное закрепление, т. е. на левом конце име-
ем:
тогда для обеспечения стационарности
𝑦
𝑥=0
= 0, 𝑦
′
= 0 =⇒ 𝛿𝑦
𝑥=0
= 0, 𝛿𝑦
𝑥=0
Φ
недостающие, или
′
𝑥=0
= 0,
естественные
граничные условия на правом конце балки должны иметь вид:
,
′′
𝑦
= 0, 𝑦
𝑥=𝑙
′′′
= 0,
𝑥=𝑙
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]