Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
𝜈
1 − 2𝜈
𝜃′𝜃𝑚+ 𝜀′· · 𝜀𝑚=
1
=
𝜀′· ·
2𝜇𝑉
1
2𝜇𝑉
𝑉
𝜌𝑓𝑟d𝑉 +
𝑉
𝜌𝑓 · 𝜀′· 𝑟d𝑉 +
𝐹 𝑟d𝑆
𝑆
𝐹 · 𝜀′· 𝑟d𝑆
𝑆
.
=
(1.35)
Пусть в качестве первого состояния мы возьмем
𝜀′= 𝐸
, тогда
𝜃′= 3
и фор-
мула (1.35) будет иметь вид:
3𝜈
1 − 2𝜈
𝜃𝑚+ 𝜃𝑚=
1
2𝜇𝑉
𝜌𝑓 · 𝑟d𝑉 +
𝑉
𝐹 · 𝑟d𝑆
𝑆
,
(1.36)
следовательно, средняя объемная деформация будет равна:
𝜃𝑚=
1 − 2𝜈
𝜌𝑓 · 𝑟d𝑉 +
𝐹 · 𝑟d𝑆
.
(1.37)
2𝜇𝑉 (1 + 𝜈)
𝑉
𝑆
Подставим теперь (1.37) в (1.35) и возьмем в качестве первого состояния
𝜀′= 𝑒1𝑒1. Таким образом, получим выражение для диагональной компоненты
11
среднего тензора деформаций:
(𝜀11)𝑚=
1
2𝜇𝑉
𝑉
𝜌𝑓1𝑥1−
𝜈
1 + 𝜈
𝜌𝑓 · 𝑟d𝑉 +
𝑆
𝐹1𝑥1−
𝜈
𝐹 · 𝑟d𝑆
1 + 𝜈
.
(1.38)
Аналогично получим внедиагональную компоненту с индексом
тензора деформаций, приняв
𝜀′= 𝑒1𝑒2+ 𝑒2𝑒1:
12
среднего
(𝜀12)𝑚=
1
(𝜌𝑓1𝑥2+ 𝜌𝑓2𝑥1) d𝑉 +
(𝐹1𝑥2+ 𝐹2𝑥1) d𝑆
.
(1.39)
4𝜇𝑉
𝑉
𝑆
Другие компоненты могут быть получены циклической перестановкой ин-
дексов в (1.38) и (1.39).
21
Учитывая, что одна из форм записи закона Гука имеет вид:
𝜀 =
1
𝜎 −
2𝜇
𝜈
𝜎𝐸, 𝜎 = tr𝜎,
1 + 𝜈
(1.40)
получаем выражения для компонент
(𝜎11)𝑚=
1
𝜌𝑓1𝑥1d𝑉 +
𝐹1𝑥1d𝑆
𝑉
𝑉
𝑆
1
(𝜎12)𝑚=
(𝜌𝑓1𝑥2+ 𝜌𝑓2𝑥1) d𝑉 +
2𝑉
𝑉
среднего тензора напряжений
;
(𝐹1𝑥2+ 𝐹2𝑥1) d𝑆
𝑆
.
:
(1.41)
22
2. НЕКОТОРЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
2.1. Решение уравнений теории упругости
в перемещениях в форме Папковича-Нейбера
Запишем проекции дифференциального уравнения теории упругости в пе-
ремещениях (1.17):
1
1 − 2𝜈𝜕𝜃𝜕𝑥
1
1 − 2𝜈𝜕𝜃𝜕𝑦
1
1 − 2𝜈𝜕𝜃𝜕𝑧
+ ∇2𝑢𝑥+
+ ∇2𝑢𝑦+
+ ∇2𝑢𝑧+
𝜌
𝑓𝑥= 0,
𝜇
𝜌
𝑓𝑦= 0,
𝜇
𝜌
𝑓𝑧= 0,
𝜇
причем
𝜕𝑢
𝜃 =
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑥
+
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝑦
+
𝑧
.
𝜕𝑧
(2.1)
(2.2)
Проекция силового граничного условия, записанного в терминах переме-
щений, (1.18) на первую ось декартовой системы координат имеет вид:
𝐹𝑥= 2𝜇
1 − 2𝜈
1
𝜃𝑛𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑛
𝑥
+
1
2
𝑛
𝜕𝑢
𝑦
𝑦
−
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑥
− 𝑛
𝜕𝑢
𝑥
𝑧
−
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑧
,
где введено следующее обозначение производной по нормали к поверхности:
𝑛 · ∇𝑢𝑥=
𝜕𝑢
𝜕𝑛
𝑥
= 𝑛
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑥
+ 𝑛
𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑥
+ 𝑛
𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑥
.
Остальные проекции можно получить циклической перестановкой индексов.
Проблема:
все компоненты вектора𝑢входят во все скалярные уравнения,
следовательно, систему в частных производных решать сложно.
Пусть
𝐵
— гармонический вектор. Это означает, что
∇2𝐵 = 0 ⇐⇒ ∇2𝐵𝑥= ∇2𝐵𝑦= ∇2𝐵𝑧= 0.
Отметим, что это утверждение неверно в криволинейных координатах: про-
екции лапласиана от вектора на ось переменного направления не равны ла-
пласианам от его проекции на эти оси.
23
Рассмотрим другую запись уравнений (1.17) [7]:
∇
2
𝑢 +
121
𝑟𝜃+
1 − 2𝜈
При отсутствии объемных сил, т. е. при
𝜇
𝜌
𝑓 +
141
𝑟∇ · 𝑓
= 0.
(2.3)
1 − 𝜈
𝜌𝑓 = 0
, из уравнения (2.3) следует,
что вектор перемещений можно представить в виде суммы гармонического
вектора𝑎и некоторого вектора𝑏:
121
𝑢 = 𝑎 + 𝑏, ∇2𝑎 = 0, 𝑏 = 𝑏(𝑟) = −
𝑟𝜃.
1 − 2𝜈
Если поле
как градиент скалярного поля, например
𝑏(𝑟)
безвихревое, т. е.
∇ × 𝑏 = 0
∇𝜒
, то вектор𝑏можно представить
. Тогда решение будет иметь вид:
𝑢 = 𝑎 + ∇𝜒, ∇2𝑎 = 0.
Далее
𝜃 = ∇ · 𝑢 = ∇ · 𝑎 + ∇2𝜒,
0
>
∇2𝑢 =
∇2𝑎 + ∇2(∇𝜒) ,
следовательно, уравнение (1.17) примет вид:
∇∇ · 𝑎 + 2(1 − 𝜈)∇2𝜒= 0.
В качестве решения подойдет, например, такое поле𝜒, что
1
∇2𝜒 = −
∇ · 𝑎.
2(1 − 𝜈)
Заменим гармонический вектор𝑎гармоническим вектором
𝐵
так, что
𝑎 = 4(1 − 𝜈)𝐵 =⇒ ∇2𝜒 = −2∇ · 𝐵.
Таким образом, будем искать решение в форме
Папковича–Нейбера
:
𝑢 = 4(1 − 𝜈)𝐵 + ∇𝜒.
Определим вид скалярного поля𝜒. Для этого покажем, что для гармони-
ческого вектора𝐵имеет место следующее тождество:
(2.4)
(2.5)
∇2(𝑟 · 𝐵) = 2∇ · 𝐵.
24
(2.6)
Действительно,
∇2(𝑟 · 𝐵) = ∇ · (∇𝑟 · 𝐵 + ∇𝐵 · 𝑟) = ∇ · 𝐵 +
= ∇ · 𝐵 + ∇𝐵 · · 𝑟∇ = 2∇ · 𝐵.
Таким образом,
0
*
∇2𝐵 · 𝑟 + ∇ · (𝑟 · 𝐵∇) =
∇2(𝜒 + 𝑟 · 𝐵) = 0 =⇒ 𝜒 = −𝑟 · 𝐵 − 𝐵0,
где
𝐵0— произвольный гармонический скаляр.
Окончательно решение
при отсутствии объемных сил
𝑢 = 4 (1 − 𝜈) 𝐵 − ∇ (𝑟 · 𝐵 + 𝐵0) .
Предположим теперь, что
объемные силы консервативны
𝜌𝑓 = −∇ Π.
Будем искать решение уравнения (1.17) также в виде:
𝑢 = 4 (1 − 𝜈) 𝐵 + ∇𝜒,
где
𝐵
— гармонический вектор;𝜒— некая скалярная функция.
Тогда
𝜃 = ∇ · 𝑢 = 4 (1 − 𝜈) ∇ · 𝐵 + ∇2𝜒, ∇2𝑢 = ∇∇2𝜒,
(2.7)
будет иметь вид
(2.8)
, т. е.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
и подстановка в уравнение (1.17) дает:
1 − 2𝜈
∇4 (1 − 𝜈) ∇ · 𝐵 + 2 (1 − 𝜈) ∇2𝜒 −
Π= 0.
(2.12)
𝜇
Без ограничения общности для определения функции𝜒достаточно решить
уравнение:
1 − 2𝜈
∇2𝜒 = −2∇ · 𝐵 +
Π.
(2.13)
2𝜇 (1 − 𝜈)
Общее решение этого уравнения представляется суммой решения урав-
нения
∇2𝜒 = −2∇ · 𝐵,
полученного ранее, и частного решения
𝜒0уравнения Пуассона:
(2.14)
1 − 2𝜈
∇2𝜒0=
Π.
(2.15)
2𝜇 (1 − 𝜈)
25
Итак, искомое представление решения уравнений теории упругости запи-
сывается в виде:
𝑢 = 4 (1 − 𝜈) 𝐵 − ∇ (𝑟 · 𝐵 + 𝐵0) + ∇𝜒0,
причем последнее слагаемое отбрасывается, если объемные силы отсутству-
ют.
2.2. Задача о действии сосредоточенной силы в неограниченном
упругом пространстве (задача Кельвина), тензор влияния
2.2.1. Теорема Максвелла
Прежде чем переходить к постановке задачи Кельвина, рассмотрим следу-
ющую систему. Пусть упругое тело нагружено в точке
единичной силой𝑄,
(рис. 2.1). Рассмотрим вектор перемещений в некоторой точке
точке наблюдения). В силу линейности он будет связан с единичной силой
как:
где
𝑈
—
тензор влияния
вается. Компонента
перемещений в точке
Введем радиус-вектор
иметь:
|𝑄| = 1
𝑈𝑖𝑗тензора влияния — это проекция на орт
𝑄2, вызываемого силой, коллинеарной орту
, уравновешенной реакциями идеальных связей
𝑢(𝑄2, 𝑄1) = 𝑈(𝑄2, 𝑄1) · 𝑄,
, а перемещение как твердого целого не рассматри-
𝑟 = 𝑟(𝑄2) − 𝑟(𝑄1)
𝑢(𝑟) = 𝑈 (𝑟) · 𝑄.
, тогда для перемещений будем
𝑄1сосредоточенной
𝑄2(в т. н.
𝑒𝑗.
(2.16)
(2.17)
𝑒𝑖вектора
(2.18)
Пусть теперь единичная сила
ния становится
в формуле (2.18):
Таким образом, имеем два состояния равновесия, характеризующихся по-
лями перемещений (2.18) и (2.19). Применим к ним теорему о взаимности
работ (1.24), о которой шла речь в предыдущей главе:
𝑢(𝑟) · 𝑄′= 𝑢(−𝑟) · 𝑄 ⇐⇒ 𝑄′· 𝑈 (𝑟) · 𝑄 = 𝑄 · 𝑈(−𝑟) · 𝑄′,
откуда получаем свойство тензора влияния, называемое также
велла
:
𝑄1. Формально математически это означает замену𝑟на
𝑄′приложена в точке
𝑢(−𝑟) = 𝑈 (−𝑟) · 𝑄′.
𝑈(𝑟) = 𝑈T(−𝑟).
26
𝑄2, а точкой наблюде-
−𝑟
(2.19)
(2.20)
теоремой Макс-
(2.21)
Рис. 2.1.
К теореме Максвелла
Зная тензор влияния, можем вычислить поле перемещений при любом рас-
пределении объемных и поверхностных сил по формуле:
𝑢(𝑟) =
𝑈(𝑟 − 𝑟′) · 𝜌𝑓(𝑟′)d𝑉 +
𝑉
𝑈(𝑟 − 𝑟′) · 𝐹 (𝑟′)d𝑆.
𝑆
(2.22)
2.2.2. Задача Кельвина
В неограниченной упругой среде мысленно выделим конечный объем
ограниченный поверхностью
полостью
𝑉𝑖обозначим
𝑉𝑒. В точке
𝑆
(рис. 2.2); оставшийся бесконечный объем с
𝑄
упругой среды приложим единичную
𝑉𝑖,
сосредоточенную силу𝑄, создающую напряженное состояние, определяемое
тензором напряжений𝜎. Тогда уравнения равновесия для объема
𝑉𝑖записы-
ваются в виде:
𝑛 · 𝜎d𝑆 + 𝑄 = 0,
𝑆
𝑛 · 𝜎d𝑆 = 0,
𝑟 × (𝑛 · 𝜎)d𝑆 = 0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑖;
𝑆
𝑟 × (𝑛 · 𝜎)d𝑆 = 0, 𝑄 ∈ 𝑉𝑒.
(2.23)
(2.24)
𝑆
𝑆
Здесь𝑟— радиус-вектор, имеющий начало в точке приложения силы𝑄.
Если
𝑟𝑀, 𝑟𝑄— радиус-векторы некоторой точки наблюдения
𝑀
и точки
с началом в начале координат𝑂, то, очевидно,
𝑟 = 𝑟𝑀− 𝑟𝑄.
(2.25)
27
𝑄
Рис. 2.2.
К задаче Кельвина
Примем, что поверхностью𝑆в уравнениях равновесия (2.23), (2.24) явля-
ется сфера радиуса𝑟с центром в точке приложения силы𝑄; это не ограничи-
вает общности приводимого ниже рассуждения, так как значение интегралов
в (2.23), (2.24) по любой поверхности, охватывающей сферу𝑆, неизменно.
Тогда уравнение (2.23) можно переписать в виде:
2
𝑟
где
𝑆*— сфера единичного радиуса;
𝑛 · 𝜎d𝑆*+ 𝑄 = 0,
*
𝑆
d𝑆*— элемент ее поверхности. Отсюда
(2.26)
следует, что главный вектор напряжений на любой поверхности, содержа-
щий точку приложения силы𝑄внутри себя, имеет не зависящее от𝑟значе-
ние, равное𝑄, а это возможно лишь при условии, что компоненты тензора
𝜎
убывают, как
удалении от центра сферы, как
𝑟−2. Следовательно, вектор перемещения должен убывать при
𝑟−1.
Будем искать решение в форме Папковича–Нейбера (2.8). Следуя приве-
денным ранее рассуждениям, гармонический вектор𝐵логично принять как:
𝐴
𝐵 =
𝑄,
(2.27)
𝑟
так как
вания на бесконечности, а вектор
𝐴
обозначена постоянная, подлежащая определению из условия (2.23). Вве-
дение гармонического скаляра
𝑟−1— единственная гармоническая функция с таким характером убы-
𝑄
должен войти в решение задачи; через
𝐵0в силу симметрии данной задачи излишне,
и вектор перемещения представляется в виде:
𝑢 = 4 (1 − 𝜈)
𝐴
𝑄 − ∇𝑟 ·
𝑟
𝐴
𝑄= 𝐴(3 − 4𝜈)
𝑟
𝑄
𝑟𝑟 · 𝑄
+
𝑟
𝑟
,
3
(2.28)
так как
28
∇
1
𝑟
= −
𝑟
, ∇𝑟 = 𝐸, ∇
3
𝑟
𝑄 · 𝑟
𝑟
=
𝑄
𝑟
−
𝑟𝑟 · 𝑄
3
𝑟
.
(2.29)
Чтобы построить тензор напряжений𝜎, определим тензор деформаций𝜀.
Имеем:
∇
1
3
𝑟
= −
3𝑟
𝑟
5
, ∇
𝑟
3
𝑟
= −
3𝑟𝑟
5
𝑟
+
1
𝐸;
3
𝑟
∇ · 𝐵 = −
𝐴
𝑄 · 𝑟, ∇𝐵 = −𝐴
3
𝑟
𝑟𝑄
, (∇𝐵)S= −
3
𝑟
12𝐴
𝑟
𝑟𝑄 + 𝑄𝑟;
3
𝑄 · 𝑟
3
𝑟
−
𝑟
3
𝑄 · 𝑟𝑟𝑟.
5
∇∇𝑟 · 𝐵 = −𝐴
1
(𝑟𝑄 + 𝑄𝑟) + 𝐸
3
𝑟
Тогда градиент перемещений, объемная деформация и тензор деформаций
равны:
𝑟𝑄
∇𝑢 = 𝐴−(3 − 4𝜈)
𝑟
𝑄𝑟
+
3
𝑟
𝑄 · 𝑟
+
3
𝐸 −
3
𝑟
3
𝑄 · 𝑟𝑟𝑟;
5
𝑟
𝑄 · 𝑟
𝜃 = ∇ · 𝑢 = 𝐴(4𝜈 − 2)
𝜀 = (∇𝑢)S= −(1 − 2𝜈)𝐴
;
3
𝑟
𝑟𝑄 + 𝑄𝑟
𝑟
𝑄 · 𝑟
+ 𝐴
3
𝑟
𝐸 −
3
3𝑟𝑟
2
𝑟
.
(2.30)
Тензор напряжений будет иметь вид:
3𝑄 · 𝑟
2
𝑟
𝑟𝑟,
(2.31)
𝜎 = 𝜆𝜃𝐸 + 2𝜇𝜀 =
2𝜇𝐴
3
𝑟
(1 − 2𝜈)𝐸𝑄 · 𝑟 − 𝑄𝑟 − 𝑟𝑄−
где учтено, что
𝜆 =
[7].
1 − 2𝜈
Подставляя (2.31) в (2.23), получим уравнение для определения констан-
ты𝐴:
2𝜇𝜈
−𝑄 =
2𝜇𝐴
3
𝑟
(1 − 2𝜈)(𝑛𝑄 · 𝑟 − 𝑛 · 𝑄𝑟 − 𝑛 · 𝑟𝑄) −
𝑆
3𝑄 · 𝑟
2
𝑟
𝑛 · 𝑟𝑟d𝑆.
(2.32)
29
На поверхности сферы имеем:
𝑟
𝑛 =
=⇒ 𝑛 · 𝑟 = 𝑟, 𝑛 × 𝑟 = 0;
𝑟
𝑛𝑄 · 𝑟 − 𝑛 · 𝑄𝑟 = 𝑄 × (𝑛 × 𝑟) = 0,
𝑄 · 𝑟
𝑛 · 𝑟𝑟 = 𝑄 · 𝑟𝑛,
2
𝑟
так что
𝑄 =
2𝜇𝐴
3
𝑟
(1 − 2𝜈)𝑟𝑄
d𝑆 + 3
𝑆
𝑛𝑄 · 𝑟d𝑆
𝑆
,
(2.33)
и, имея в виду, что
4
d𝑆 = 4𝜋𝑟2,
𝑛
𝑄 · 𝑟d𝑆 =
∇𝑄 · 𝑟d𝑉 = 𝑄 · 𝐸
d𝑉 =
𝜋𝑟3𝑄
,
3
𝑆
𝑆
𝑉
𝑉
находим:
1
𝐴 =
.
(2.34)
16𝜋𝜇(1 − 𝜈)
Представляя вектор перемещений в виде:
𝑢(𝑟) = 𝑈 (𝑟) · 𝑄,
(2.35)
находим тензор влияния𝑈для неограниченной упругой среды, также назы-
ваемый
тензором Кельвина–Сомильяны
:
𝑈(𝑟) =
1
16𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
(3 − 4𝜈)𝐸 +
𝑟𝑟
𝑟
=
2
1
4𝜋𝜇
𝐸
𝑟
∇∇𝑟
−
4(1 − 𝜈)
.
(2.36)
Вторую форму записи этого тензора легко получить, принимая во внима-
ние следующее преобразование:
=
𝐸
𝑟
−
𝑟𝑟
𝑟
.
3
∇∇𝑟 = ∇ (∇𝑟) = ∇
𝑟
𝑟
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]