Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
2. Перемещение от сосредоточенного в точке
𝑄
момента:
𝑢2(𝑟) =
8𝜋𝜇𝑟
𝑚𝑄× 𝑟.
3
3. Перемещение от центра расширения в точке𝑄:
1 − 2𝜈
1
𝑢3(𝑟) = −
𝜌 · 𝑄∇
24𝜋𝜇(1 − 𝜈)
4. Перемещение от силового тензора:
1 − 2𝜈
𝑢4(𝑟) =
8𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
Заметим, что компоненты векторов
𝑟 · Dev𝑞 +
3
2(1 − 2𝜈)𝑟
𝑢2,
𝑢3и
1
как
, тогда как компоненты вектора
2
𝑟
𝑢1убывают как
2.4.2. Система сил, распределенных в малом объеме
1
.
𝑟
3
𝑟𝑟 · Dev𝑞 · 𝑟.
2
𝑢4убывают на бесконечности
1
.
𝑟
Рассмотрим действие на среду системы сил
𝑄1,
𝑄2, ...,
𝑄𝑛, приложенных в
окрестности точки𝑄. Соответствующие им радиус-векторы, имеющие начало
в точке𝑄, обозначим
𝜌1,
𝜌2, ...,
𝜌𝑛. Тогда главный вектор и главный момент
системы этих сил будут равны:
𝑛
𝑄
=
𝑚𝑄=
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑄
;
𝑖
𝜌𝑖× 𝑄𝑖,
(2.79)
а силовой тензор и интенсивность центра расширения будут иметь вид:
𝑛
𝑞 =
tr𝑞 =
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝜌𝑖𝑄
𝑖
𝜌𝑖· 𝑄𝑖.
S
;
(2.80)
При непрерывном распределении сил по линии (поверхности, объему) сум-
мы заменяют соответствующими интегралами.
41
Перемещения, вызванные действием на среду рассматриваемой системой
сил, записываются в виде:
𝑢(𝑟′) = 𝑈(𝑟) · 𝑄 +
1
8𝜋𝜇𝑟
𝑚𝑄× 𝑟 +
3
1 − 2𝜈
24𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟𝑟
+
Рассмотрим
1 − 2𝜈
8𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
3
силовой диполь
𝑟 · Dev𝑞 +
2(1 − 2𝜈)𝑟
: систему двух равных по модулю противона-
3
2
правленных сил, имеющих общую линию действия.
𝑄1= −𝑄𝑒, 𝜌1= 0;
𝑄2= 𝑄𝑒, 𝜌2= 𝜌𝑒.
Обозначим
𝜌𝑄 = 𝜎
— интенсивность диполя,
𝜎𝑒𝑒
Тогда формулы (2.79) и (2.80) будут иметь вид:
𝑄 = 0, 𝑚𝑄= 0, 𝑞 = 𝜎𝑒𝑒, tr𝑞 = 𝜎, Dev𝑞 = 𝜎𝑒𝑒 −
tr𝑞 +
3
𝑟𝑟 · Dev𝑞 · 𝑟.
— дипольный момент.
1
𝐸.
3
(2.81)
(2.82)
(2.83)
Подставляя (2.83) в (2.81), получим поле перемещений:
𝑢(𝑟) =
𝜎
8𝜋𝜇(1 − 𝜈)𝑟
1
3 (𝑟 · 𝑒)
3
2
2
− 1𝑟 + (1 − 2𝜈)𝑒𝑟 · 𝑒.
2
𝑟
(2.84)
Видим, что, хотя главный вектор и главный момент системы сил равны ну-
лю (2.83), перемещения и, следовательно, напряжения и деформации от нуля
отличны. При этом, как и в случае электрического диполя, соответствующие
поля быстро убывают при удалении от диполя.
Силовой тензор, определяемый
тремя диполями
одинаковой интенсивно-
сти и ориентированными по трем взаимно перпендикулярным направлениям,
является шаровым:
𝑞 = 𝜎 (𝑒1𝑒1+ 𝑒2𝑒2+ 𝑒3𝑒3) = 𝜎𝐸; tr𝑞 = 3𝜎; Dev𝑞 = 0.
Такая особенность называется
ния будут равны:
(𝑟) = −
𝑢
центром расширения
1 − 2𝜈
1
3𝜎∇
24𝜋𝜇(1 − 𝜈)
𝑟
. При этом перемеще-
.
(2.85)
(2.86)
42
Аналогичное состояние реализуется в сплошной среде с полостью радиуса
𝑅0, по поверхности которой распределено нормальное давление:
𝑝 =
Рассмотрим так называемый
6𝜋𝜇(1 − 𝜈)3𝜎𝑅
центр вращения
.
3
0
(2.87)
:
𝑄1= −𝑄𝑒2, 𝑄2= 𝑄𝑒2, 𝑄3= 𝑄𝑒1, 𝑄4= −𝑄𝑒1;
(2.88)
𝜌1= 0, 𝜌2= 𝜌𝑒1, 𝜌3= 0, 𝜌4= 𝜌𝑒2.
Силовые характеристики будут иметь вид:
1 − 2𝜈
𝑄 = 0, 𝑚𝑄= 𝜌2× 𝑄2+ 𝜌4× 𝑄4= 2𝜌𝑄𝑒3= 𝑚𝑒3, 𝑞 = 0,
(2.89)
а перемещения будут равны:
𝑚
𝑢(𝑟) =
8𝜋𝜇𝑟
𝑒3× 𝑟.
3
(2.90)
Аналогичное состояние реализуется в сплошной среде, если абсолютно твер-
дую сферическую область радиуса
вокруг оси
𝑒3на угол:
𝑅0, находящуюся внутри среды, повернуть
𝑚
𝜗 =
8𝜋𝜇𝑅
.
3
0
(2.91)
43
3. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
3.1. Введение в вариационное исчисление
Поведение механических систем может быть описано двумя способами:
локальным
(с помощью дифференциальных уравнений) и
вариационным
(с
использованием экстремальных принципов). В курсе теоретической механи-
ки показано, что положением устойчивого равновесия является положение,
отвечающее минимуму потенциальной энергии системы. Аналогично для де-
формируемых тел решение краевой задачи или задачи Коши для дифферен-
циальных уравнений, описывающих поведение системы, эквивалентно про-
блеме отыскания функции, минимизирующей интеграл, которым выражается
потенциальная энергия.
Для дальнейших построений введем некоторые базовые понятия
онного исчисления
вание функционалов на минимум и максимум.
. Предметом вариационного исчисления является исследо-
Функционал
— это некоторая
вариаци-
переменная величина (скаляр); в отличие от сложной функции функционал
ставит в соответствие заданной функции определенное число, поэтому гово-
рят о задании функционала на классе функций.
Пример:
находится в точке𝐴с координатами
ектории
время попадет в точку
задача о брахистохроне. Пусть тело в начальный момент времени
(0; 0)
𝑦(𝑥)
, двигаясь по которой в поле силы тяжести, тело за минимальное
𝐵
с координатами
. Требуется определить форму тра-
(𝐿; 𝐻)
.
Искомое время будет равно:
𝐵
𝑡 =
𝐴
Найдем связь между координатами
d𝑠 =d𝑥2+ d𝑦2= d𝑥1 + (𝑦′)
и скоростью тела
2
𝑚𝑣
= 𝑚𝑔𝑦 =⇒ 𝑣 =2𝑔𝑦.
2
Тогда интеграл времени будет иметь вид:
𝐿
1 + (𝑦′)
𝑡 =
0
d𝑠
.
𝑣(𝑥, 𝑦)
2
2
d𝑥.
2𝑔𝑦
44
В данном случае оптимальной траекторией является циклоида. Каким об-
разом это показать?
Рассмотрим для определенности функционал вида:
𝑏
𝐽 (𝑦(𝑥)) =
𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥)) d𝑥.
𝑎
(3.1)
Задача.
Найти функцию
𝑦(𝑥)
из определенного класса, для которой функ-
ционал принимает экстремальное значение на интервале
Функция
тремалью
𝑦(𝑥)
, минимизирующая или максимизирующая𝐽, называется
. Далее вводится
функция сравнения
˜𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥) + 𝛿𝑦
𝛿𝑦 = ˜𝑦(𝑥) − 𝑦(𝑥)
называется
вариацией функции
. Рассмотрим
приращение функционала
Δ𝐽 = 𝐽 (˜𝑦(𝑥)) − 𝐽 (𝑦(𝑥)) .
Утверждение:
мали
сравнения
𝑦(𝑥)
, то его приращение
˜𝑦(𝑥)
малым𝛿𝑦, то экстремум называется
скаются конечные
то экстремум —
если функционал
Δ𝐽
должно сохранять знак для всех кривых
. Если
𝐽 (𝑦(𝑥))
достигает экстремума лишь по отношению к
𝛿𝑦′, то такой экстремум —
слабый
.
𝐽 (𝑦(𝑥))
достиг экстремума на экстре-
относительным
сильный
. Если при этом допу-
; если и𝛿𝑦, и
Найдем приращение (3.2) функционала (3.1):
[𝑎; 𝑏]
.
экс-
, где
:
(3.2)
𝛿𝑦′малые,
𝑏
Δ𝐽 =
=
𝑎
где𝑅— остаточный член;
[𝐹 (𝑥, 𝑦 + 𝛿𝑦, 𝑦′+ 𝛿𝑦′) − 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′)] d𝑥 =
𝑎
𝑏
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝛿𝑦 +
𝜕𝑦
𝜕𝑦
′
′
𝛿𝑦
d𝑥 = 𝛿𝐽 + 𝑅,
𝛿𝐽—вариация функционала
(3.3)
, которая играет роль,
аналогичную дифференциалу функции (главная линейная часть прираще-
ния).
Интегрируя (3.3) по частям, с учетом
𝛿𝐽 =
𝑏
𝜕𝐹
𝛿𝑦d𝑥+
𝜕𝑦
𝑎
𝜕𝐹
𝜕𝑦
′
𝛿𝑦
𝑏
𝑏
dd𝑥𝜕𝐹
−
𝑎
𝑎
𝜕𝑦
𝛿𝑦
𝑎
𝛿𝑦d𝑥 =
′
= 𝛿𝑦
𝑎
= 0
𝑏
𝑏
получаем:
𝜕𝐹
−
𝜕𝑦
dd𝑥𝜕𝐹
𝜕𝑦
′
𝛿𝑦d𝑥.
(3.4)
45
Условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации
при произвольных𝛿𝑦. Приравнивая к нулю (3.4), получаем
ра
(необходимое условие экстремума):
уравнение Эйле-
𝜕𝐹
𝜕𝑦
Решением этого уравнения и будет экстремаль
−
dd𝑥𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 0.
′
𝑦(𝑥)
(3.5)
.
Приращение функционала (3.3) можно представить по аналогии с прира-
щением функции в виде:
Δ𝐽 = 𝐽(˜𝑦(𝑥)) − 𝐽(𝑦(𝑥)) = 𝛿𝐽 + 𝛿2𝐽 + ... .
Если первая вариация функционала равна нулю, то при малых
знак приращения определяется знаком второй вариации. Если
𝛿𝑦и𝛿𝑦
𝛿2𝐽 > 0
для
найденной в результате решения уравнения Эйлера экстремали, то имеем
минимум, если
В задаче о брахистохроне функция
𝛿2𝐽 < 0
— максимум.
𝐹
имеет вид:
𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥)) =
1 + (𝑦′)
2
.
2𝑔𝑦
′
Рассмотрим функционал:
𝑏
𝐽 =
𝐹 (𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥), ..., 𝑦𝑛(𝑥)) d𝑥.
𝑎
Приращение этого функционала представляется в виде:
𝑏
Δ𝐽 =
Δ𝐹 (𝑦1(𝑥), 𝑦2(𝑥), ..., 𝑦𝑛(𝑥)) d𝑥 =
𝑎
𝑏
𝛿𝐹 + 𝛿2𝐹 + . . .d𝑥,
𝑎
где
𝛿𝐹 =
𝑛
𝑘=1
𝜕𝐹
𝛿𝑦𝑘, 𝛿2𝐹 =
𝜕𝑦
𝑘
1
2
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑚=1
𝜕2𝐹
𝜕𝑦𝑘𝜕𝑦
𝛿𝑦𝑘𝛿𝑦𝑚, . . . .
𝑚
(3.6)
(3.7)
(3.8)
46
Например, если𝐹— квадратичная форма, то
𝑛
𝑛
𝑎𝑘𝑚𝑦𝑘𝑦𝑚=⇒
𝑚=1
𝑘=1
𝑎𝑘𝑚𝛿𝑦𝑘𝛿𝑦𝑚, 𝛿3𝐹 = 𝛿4𝐹 = . . . = 0,
=⇒ 𝛿2𝐹 =
1
2
𝐹 =
𝑛
𝑘=1
1
2
𝑛
𝑚=1
то есть приращение будет равно сумме первой и второй вариаций:
(3.9)
Δ𝐹 = 𝛿𝐹 + 𝛿2𝐹,
(3.10)
причем вторая вариация будет квадратичной формой от вариаций функций
𝑦𝑘:
𝛿2𝐹 = 𝐹 (𝛿𝑦1, 𝛿𝑦2, ..., 𝛿𝑦𝑛) .
(3.11)
Если же𝐹— линейная форма, то
Δ𝐹 = 𝛿𝐹.
(3.12)
3.2. Вариационный принцип минимума потенциальной энергии
системы
Элементарная работа внешних сил
𝛿′𝑎𝑒может быть отождествлена с вари-
ацией потенциальной энергии деформации𝛿𝑎, которая равна вариации сво-
бодной энергии в изотермическом процессе и вариации внутренней энергии
в адиабатическом процессе:
где
𝛿′𝑎𝑒= 𝛿𝑎 =
𝐴
— удельная потенциальная энергия деформации [7]. Далее, если не
𝛿𝐴d𝑉,
𝑉
оговорено иное, будут рассматриваться только такие процессы.
Удельная потенциальная энергия деформации линейно-упругого тела пред-
ставима в виде квадратичных форм от компонент тензоров деформаций или
напряжений, а также в виде билинейной формы:
𝐴 = 𝐴(𝜀) = 𝐴(𝜎) = 𝐴(𝜀, 𝜎).
В зависимости от того, через какие переменные выражена𝐴, получим тот
или иной энергетический принцип. Задавая удельную потенциальную энер-
гию𝐴квадратичной формой
𝐴(𝜀)
компонент деформации, придем к
принци-
47
пу минимума потенциальной энергии системы.
ются перемещения
𝑢 = 𝑢(𝑟)
, деформации рассматриваются как совокупность
В этом принципе варьиру-
производных от перемещений по координатам, а понятие напряжений не вво-
дится.
Итак, элементарная работа внешних сил может быть записана в виде:
При этом на части
следует принять
𝛿′𝑎𝑒=
𝛿𝑢 = 0
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 +
𝑉
𝑆1поверхности𝑆, на которой заданы перемещения,
, так что:
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 =
𝑆
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
(3.13)
Рассмотрим два состояния сплошной среды: равновесное и бесконечно близ-
кое к нему. Будем их рассматривать при одних и тех же внешних силах
в объеме и
Будем считать, что вариации
𝐹
на части поверхности
𝑆2.
𝛿𝑢
малые, и пренебрежем вторым порядком
малости. Тогда в объеме будем иметь:
𝛿(𝜌𝑓 · 𝑢) = 𝜌𝑓 · 𝛿𝑢,
а на поверхности
𝑆2:
𝛿(𝐹 · 𝛿𝑢) = 𝐹 · 𝛿𝑢,
𝜌𝑓
следовательно, (3.13) можно переписать в виде:
𝛿
𝑉
𝐴d𝑉 = 𝛿
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 + 𝛿
𝑉
𝑆
2
𝐹 · 𝑢d𝑆.
Видим, что
𝛿
𝐴d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆= 0.
𝑆
2
Величину, стоящую в квадратных скобках:
называют
Φ =
𝐴d𝑉 −
𝑉
потенциальной энергией системы
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆,
𝑆
2
. Она равна разности по-
тенциальной энергии деформации и работы внешних сил там, где они (силы)
заданы.
48
Потенциальная энергия системы
полем перемещений
данием
𝑢(𝑟)
, причем в положении равновесия упругого тела этот функционал
𝑢(𝑟)
, численное значение которого меняется вместе с за-
стационарен, т. е.
Φ
представляет собой функционал над
𝛿Φ = 0.
(3.14)
Теорема № 1.
весия при
𝑢
𝑆
1
Доказательство
ΔΦ =
= 𝑈
Стационарность функционала
Φ(𝑢)
в положении равно-
равносильна его минимальности.
. Рассмотрим приращение потенциальной энергии системы:
Δ𝐴d𝑉 −
𝑉
Δ𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
Δ (𝐹 · 𝑢) d𝑆.
𝑆
2
Второе и третье слагаемое, стоящие под знаком приращения, являются ли-
нейными формами. В первом слагаемом стоит удельная потенциальная энер-
гия деформации — положительно-определенная квадратичная форма. Тогда,
согласно (3.10) и (3.12):
Δ𝜌𝑓 · 𝑢= 𝜌𝑓 · 𝛿𝑢, Δ (𝐹 · 𝑢) = 𝐹 · 𝛿𝑢, Δ𝐴(𝜀) = 𝛿𝐴 + 𝐴(𝛿𝜀).
Вернемся к выражению для приращения потенциальной энергии системы
и продолжим равенство:
ΔΦ =
𝛿𝐴 + 𝐴(𝛿𝜀)d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 =
𝑆
2
𝐴(𝛿𝜀)d𝑉 +
𝑉
+ 𝛿
𝐴d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆= 𝛿Φ +
𝑆
2
𝐴(𝛿𝜀)d𝑉.
𝑉
(3.15)
Второе слагаемое является положительно-определенной квадратичной фор-
мой, так что
тельно равносильна минимальности,
Теорема № 2.
ющих на
ΔΦ > 0
при
𝛿Φ = 0
. Таким образом, стационарность действи-
что и требовалось доказать
Среди всех возможных полей перемещений, удовлетворя-
𝑆1кинематическому граничному условию
.
𝑢
= 𝑈
𝑆
1
, потенциальная
энергия системыΦминимальна на тех перемещениях, которые удовлетворя-
ют уравнениям равновесия.
49
Доказательство
. Поскольку мы уже доказали, что стационарность функ-
ционалаΦбудет равносильна его минимальности в условиях равновесия, нам
необходимо выяснить, обеспечивает ли стационарность эти условия. Рассмот-
рим
𝛿Φ =
𝛿𝐴d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
Процесс изотермический или адиабатический, следовательно, вариация удель-
ной потенциальной энергии деформации представима в виде
𝛿𝐴 = 𝜎 · · 𝛿𝜀,
где𝜎— обозначение для производной от
𝐴(𝜀)
по𝜀, выражающее закон со-
стояния линейно-упругого тела:
𝜕𝐴(𝜀)
𝜎 = 𝜎T=
.
𝜕𝜀
Рассмотрим следующее выражение:
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢=∇ · 𝜎· 𝛿𝑢 + 𝜎 · · ∇𝛿𝑢 =∇ · 𝜎· 𝛿𝑢 + 𝜎 · · 𝛿𝜀,
в силу симметрии𝜎и свойств двойного скалярного умножения.
Тогда вариацию удельной потенциальной энергии деформации запишем
следующим образом:
𝛿𝐴 = 𝜎 · · 𝛿𝜀 = ∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢−∇ · 𝜎· 𝛿𝑢.
Таким образом, получим:
𝛿Φ =
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
=
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
∇ · 𝜎· 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
∇ · 𝜎+ 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
Применим формулу Остроградского–Гаусса:
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢d𝑉 =
𝑉
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆,
𝑆
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 =
𝑆
2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]