Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Введение в механику деформируемого твердого тела. Основные теоремы и задачи. Учебное пособие
.pdf
что и означает равенство нулю изгибающего момента и перерезывающей си-
лы.
3.5. Вариационный принцип минимума дополнительной работы
Принцип минимума потенциальной энергии системы, рассмотренный в на-
чале этой главы, был получен путем сравнения полей перемещений упругого
тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом свя-
зями состоянии. В
принципе минимума дополнительной работы
рассматри-
ваются два статически возможных напряженных состояния — истинное, за-
даваемое тензором напряжения𝜎и бесконечно близкое к нему, с тензором
напряжения
𝜎+𝛿𝜎
. Как и раньше, объем, площадь поверхности тела, а также
внешние объемные и поверхностные силы не меняются. Также рассматрива-
ются изотермические или адиабатические процессы.
Уравнения равновесия для двух состояний в объеме𝑉имеют вид:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0, ∇ ·𝜎 + 𝛿𝜎+ 𝜌𝑓 = 0 =⇒ ∇ · 𝛿𝜎 = 0,
а на поверхности
𝑛 · 𝜎 = 𝐹 , 𝑛 ·𝜎 + 𝛿𝜎= 𝐹 =⇒ 𝑛 · 𝛿𝜎 = 0.
𝑆2:
(3.31)
(3.32)
Таким образом, видим, что вариации поля напряжений𝛿𝜎, вообще говоря,
не являются произвольными; они должны удовлетворять условиям (3.31) и
(3.32) соответственно в объеме и на той части поверхности, где заданы си-
лы𝐹.
Удельную потенциальную энергию деформации будем рассматривать как
квадратичную форму компонент тензора напряжений:
𝐴 = 𝐴(𝜎) =⇒ 𝛿𝐴 = 𝜀 · · 𝛿𝜎 = ∇ ·𝛿𝜎 · 𝑢−∇ · 𝛿𝜎
· 𝑢.
=0,
см. (3.31)
Таким образом, вариация потенциальной энергией деформации с учетом
61
формулы Остроградского–Гаусса равна:
Здесь
𝛿𝑎 =
∇ ·𝛿𝜎 · 𝑢d𝑉 =
𝑉
=
𝛿𝜎𝑛· 𝑢d𝑆 =
𝑆
1
𝛿𝜎𝑛= 𝑛 · 𝛿𝜎
𝛿 (𝜎𝑛· 𝑢) d𝑆.
𝑆
1
— вариация вектора напряжений на
𝑆
1
перемещения, так что их вариация
В результате имеем:
𝛿
𝐴d𝑉 −
𝑉
Функционал над полем напряжений:
𝑛 · 𝛿𝜎 · 𝑢d𝑆 +
𝛿𝑢
= 0
𝑆
1
.
𝜎𝑛· 𝑢d𝑆
𝑆
1
𝑆
2
= 0.
𝑛 · 𝛿𝜎
=0,
см. (3.32)
· 𝑢d𝑆 =
(3.33)
𝑆1, где заданы
(3.34)
называют
𝜒(𝜎) =
𝐴(𝜎)d𝑉 −
𝑉
дополнительной работой
𝑆
; под
𝜎𝑛· 𝑢d𝑆,
1
(3.35)
𝜎𝑛понимают вектор напряже-
ний («реакцию связей») на той части поверхности, где заданы кинематиче-
ские граничные условия. Название этого функционала обусловлено тем, что
сумма потенциальной энергии системы и дополнительной работы равна нулю
по формуле Клапейрона:
Φ + 𝜒 = 2
= 2
𝐴d𝑉 −
𝑉
𝐴d𝑉 −
𝑉
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝐹 · 𝑢d𝑆 −
𝑆
2
𝜎𝑛· 𝑢d𝑆 = 0,
𝑆
𝜎𝑛· 𝑢d𝑆 =
𝑆
1
так как
𝜎
= 𝐹
𝑛
𝑆
2
.
Теорема № 1.
весия при
𝑢
𝑆
1
Доказательство
= 𝑈
Стационарность функционала
равносильна его минимальности.
𝜒(𝜎)
в положении равно-
. Рассмотрим приращение дополнительной работы:
62
Δ𝜒 =
= 𝛿𝜒 +
Δ𝐴d𝑉 −
𝑉
𝐴(𝛿𝜎)d𝑉.
𝑉
Δ (𝜎𝑛· 𝑢) d𝑆 =
𝑆
1
𝛿𝐴d𝑉 +
𝑉
𝐴(𝛿𝜎)d𝑉 −
𝑉
𝛿𝜎𝑛· 𝑢d𝑆 =
𝑆
1
Второе слагаемое является положительно-определенной квадратичной фор-
мой, так что
тельно равносильна минимальности,
Теорема № 2.
Δ𝜒 > 0
Уравнениями Эйлера и естественными граничными усло-
при
𝛿𝜒 = 0
. Таким образом, стационарность действи-
что и требовалось доказать
.
виями вариационной задачи о минимуме дополнительной работы являют-
ся, соответственно, уравнения Бельтрами–Митчелла (1.19) и кинематические
граничные условия.
Доказательство
𝛿𝜒 =
. Рассмотрим:
𝛿𝐴d𝑉 −
𝑉
𝛿𝜎𝑛· 𝑢d𝑆 =
𝑆
1
𝜀 · ·𝛿𝜎d𝑉 −
𝑉
𝛿𝜎𝑛· 𝑢d𝑆.
𝑆
1
В представленном выражении𝜀— обозначение для производной от
𝐴(𝜎)
по𝜎, выражающее обобщенный закон Гука:
𝜕𝐴
𝜀 = 𝜀T=
.
𝜕𝜎
Кроме того, как уже отмечалось, вариации
𝛿𝜎
не являются независимы-
ми переменными, но удовлетворяют условиям (3.31) и (3.32). Поэтому вос-
пользуемся методом множителей Лагранжа и вместо функционала𝜒будем
минимизировать функционал
𝛿𝜒*= 𝛿𝜒 +
𝜒*, так что
∇ · 𝛿𝜎· 𝜆d𝑉,
𝑉
где𝜆— векторный аналог множителей Лагранжа.
Таким образом, вариации
𝛿𝜎
, связанные условиями (3.31) и (3.32), можно
считать независимыми за счет надлежащего выбора компонент вектора𝜆.
Поскольку
∇ · 𝛿𝜎· 𝜆 = ∇ ·𝛿𝜎 · 𝜆− (∇𝜆)S· · 𝛿𝜎,
условием стационарности функционала
63
𝜒*будет
𝛿𝜒*=
𝜀 − (∇𝜆)
S
· · 𝛿𝜎d𝑉 +
∇ ·𝛿𝜎 · 𝜆d𝑉 −
𝑛 · 𝛿𝜎 · 𝑢d𝑆 =
𝑉
=
𝜀 − (∇𝜆)
𝑉
S
· · 𝛿𝜎d𝑉 +
𝑆
Условия обращения в ноль коэффициентов при вариациях
𝜀 = (∇𝜆)Sв объеме
𝑉
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝜆 − 𝑢) d𝑆 +
1
𝑉 , 𝜆 = 𝑢
на
𝑆
1
0
*
𝑛 · 𝛿𝜎 · 𝜆d𝑆 = 0.
𝑆
2
𝛿𝜎
имеют вид
𝑆1.
Итак, мы получили, что, во-первых,𝜀— это деформация для вектора𝜆,
во-вторых, на
𝑆1вектор𝜆равен заданному вектору перемещений. Тогда, при-
нимая во внимание теорему Кирхгоффа о единственности решения, можно
отождествить𝜆и𝑢во всем объеме тела. Тогда
𝜀 = (∇𝑢)S— действитель-
но тензор деформаций. Следовательно, он должен удовлетворять условиям
совместности деформаций:
∇ × 𝜀 × ∇ = 0,
которые с учетом закона Гука, например в форме
𝜀 =
1
𝜎 −
2𝜇
𝜈
𝜎𝐸, 𝜎 = tr𝜎,
1 + 𝜈
превращаются в уравнения Бельтрами–Митчелла:
∇2𝜎 +
∇∇𝜎 + 𝜌∇𝑓 + 𝑓∇+
1 + 𝜈
что и требовалось доказать
1
.
𝜈
𝜌∇ · 𝑓𝐸 = 0,
1 − 𝜈
Замечания
1. В формулировку принципа минимума дополнительной работы не попал
тензор деформаций точно так же, как в формулировку принципа минимума
потенциальной энергии не попал тензор напряжений.
2. Вектор
𝜆 = 𝑢
может быть вычислен по формуле Чезаро [7].
64
3.6. Смешанные вариационные принципы
В формулировке
рассматривается функционал над полем перемещений
щений
𝑢
задан на поверхности
принципа минимума потенциальной энергии системы
Φ(𝑢)
, вектор переме-
𝑆1, а тензор напряжений из рассмотрения
исключен. Дифференциальными уравнениями Эйлера для такой задачи яв-
ляются уравнения равновесия в перемещениях, а естественными граничными
условиями — выраженные через вектор перемещения условия равновесия на
поверхности
В
принципе минимума дополнительной работы
ле над полем напряжений
𝑆2, где заданы внешние силы.
𝜒(𝜎)
, причем дополнительно требуется выполне-
речь идет о функциона-
ние необходимых условий статики сплошной среды в объеме и на той ча-
сти поверхности, где заданы поверхностные силы. Получающаяся связанная
краевая задача приводит к уравнениям Бельтрами–Митчелла, дополняющим
уравнения статики до достаточных условий, и граничным условиям на той
части поверхности, где задан вектор перемещений.
В этом параграфе мы рассмотрим
смешанные принципы стационарности
для которых вводятся функционалы над вектором перемещений и над тензо-
ром напряжений, а также над тензором деформаций как над независимыми
величинами.
,
3.6.1. Принцип Рейсснера
Введем функционал Рейсснера:
ℛ(𝑢, 𝜎) =
𝜎 · · 𝜀 − 𝐴(𝜎)d𝑉 −
𝑉
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝑢d𝑆−
𝑆
2
−
где
𝑢
и
𝜎
— независимые переменные;
𝜌𝑓
— объемные силы в𝑉;𝐹— поверхностные силы на
заданные на
𝑆1;
𝐴(𝜎)
— удельная потенциальная энергия деформации, за-
𝑛 · 𝜎 · (𝑢 − 𝑈) d𝑆,
𝑆
1
𝜀 = (∇𝑢)S— тензор деформаций;
(3.36)
𝑆2;𝑈— перемещения,
данная как квадратичная форма компонент тензора напряжений. Отметим,
что производные
𝐴(𝜎)
по компонентам тензора напряжений будут линейными
формами этих компонент. В свою очередь, они представляют собой компо-
ненты некоторого тензора, обозначаемого
65
следовательно,
𝜕𝐴(𝜎)
^𝜀 =
,
𝜕𝜎
𝛿𝐴 = ^𝜀 · · 𝛿𝜎.
Теорема.
Стационарность функционала
ℛ(𝑢, 𝜎)
обеспечивается полями
перемещений и напряжений, удовлетворяющими полной системе уравнений
теории упругости.
Доказательство
𝛿ℛ =
−
𝑆
. Вариация функционала (3.36) будет иметь вид:
𝛿𝜎 · ·𝜀 − ^𝜀+ 𝜎 · · 𝛿𝜀d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 −
2
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
1
𝑆
1
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆.
(3.37)
С учетом тождества
∇ ·𝜎 · 𝑢=∇ · 𝜎· 𝑢 + 𝜎 · · 𝜀
и формулы Остроградского–Гаусса формула (3.37) примет вид:
𝛿ℛ =
𝛿𝜎 · ·𝜀 − ^𝜀−∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 +
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
−
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
1
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆 −
𝑆
1
−
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆 +
𝑆
1
Таким образом, полагая
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 =
𝑆
2
𝛿𝜎 · ·𝜀 − ^𝜀−∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉.
𝑉
𝛿𝑢
и
𝛿𝜎
произвольными и приравнивая к нулю
𝑉
𝑛 · 𝜎 − 𝐹· 𝛿𝑢d𝑆−
𝑆
2
(3.38)
(3.38), получим следующие условия стационарности функционала Рейсснера
в объеме:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0, 𝜀 = ^𝜀,
(3.39)
являющиеся, соответственно, уравнениями равновесия и законом Гука, и на
66
поверхностях:
𝑢
= 𝑈, 𝑛 · 𝜎
𝑆
1
𝑆
2
= 𝐹 ,
(3.40)
то есть кинематические и силовые граничные условия.
Набор уравнений (3.39) и (3.40), дополненный определением
образует полную систему уравнений теории упругости,
доказать
Отметим, что функционал
.
ℛ(𝑢, 𝜎)
является билинейной (не знакоопреде-
что и требовалось
𝜀 = (∇𝑢)S,
ленной) формой, так что условие стационарности может быть как условием
минимальности, так и условием максимальности, или же ни тем ни другим.
3.6.2. Принцип Ху–Вашицу
Функционал Ху–Вашицу имеет вид:
ℋ(𝑢, 𝜀, 𝜎) =
𝐴(𝜀) − 𝜎 · ·𝜀 − (∇𝑢)
𝑉
S
− 𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
−
𝑛 · 𝜎 · (𝑢 − 𝑈) d𝑆 −
𝑆
1
𝐹 · 𝑢d𝑆,
𝑆
2
(3.41)
где независимыми переменными являются𝑢,𝜀и𝜎.
Покажем, что стационарность функционала
ℋ(𝑢, 𝜀, 𝜎)
равносильна удовле-
творению полной системы уравнений теории упругости. Введем по аналогии
с предыдущим пунктом некоторый тензор^𝜎:
𝜕𝐴(𝜀)
^𝜎 =
,
𝜕𝜀
тогда вариация функционала (3.41) примет вид:
𝛿ℋ =
^𝜎 − 𝜎· · 𝛿𝜀 + 𝜎 · · 𝛿(∇𝑢)S− 𝛿𝜎 · ·𝜀 − (∇𝑢)
𝑉
S
d𝑉 −
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
−
𝑆
2
Учитывая, что
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
1
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆.
𝑆
1
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢=∇ · 𝜎· 𝛿𝑢 + 𝜎 · · 𝛿(∇𝑢)S,
67
(3.42)
и применяя формулу Остроградского–Гаусса, перепишем (3.42):
𝛿ℋ =
^𝜎 − 𝜎· · 𝛿𝜀 −𝜀 − (∇𝑢)
𝑉
S
· · 𝛿𝜎 −∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 −
−
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆 +
𝑆
1
𝑛 · 𝜎 − 𝐹· 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
(3.43)
Приравнивая (3.43) к нулю, получим следующие условия стационарности
функционала Ху–Вашицу в объеме:
S
(3.44)
(3.45)
и на поверхностях:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0, 𝜎 = ^𝜎, 𝜀 = (∇𝑢)
𝑢
= 𝑈; 𝑛 · 𝜎
𝑆
1
𝑆
2
= 𝐹 ,
т. е. действительно получим полную систему уравнений теории упругости.
Отметим, что принцип Ху–Вашицу также не является минимальным.
3.6.3. Принцип Ксю–Ли
Функционал Ксю–Ли имеет вид:
𝒳 (𝑢, 𝜀, 𝜎) =
−
𝜌𝑓 · 𝑢d𝑉 −
𝑉
𝜎 · ·𝜀 + (∇𝑢)
𝑉
𝑛 · 𝜎 · (𝑢 − 𝑈) d𝑆 −
𝑆
1
S
− 2𝐴(𝜎) − 𝐴(𝜀)d𝑉 −
𝐹 · 𝑢d𝑆,
𝑆
2
(3.46)
где независимыми переменными являются𝑢,𝜀и𝜎.
Покажем, что стационарность функционала
𝒳 (𝑢, 𝜀, 𝜎)
равносильна удовле-
творению полной системы уравнений теории упругости. Введем также по ана-
логии с предыдущими пунктами:
^𝜎 =
𝜕𝐴(𝜀)
; ^𝜀 =
𝜕𝜀
𝜕𝐴(𝜎)
,
𝜕𝜎
68
тогда вариация функционала (3.46) примет вид:
𝛿𝒳 =
𝛿𝜎 · ·𝜀 + (∇𝑢)
𝑉
S
+ 𝜎 · · 𝛿𝜀 + 𝜎 · · 𝛿(∇𝑢)S− 2^𝜀 · · 𝛿𝜎 − ^𝜎 · · 𝛿𝜀d𝑉 −
−
𝜌𝑓 · 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
𝐹 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
2
𝑛 · 𝜎 · 𝛿𝑢d𝑆 −
𝑆
1
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆.
𝑆
1
(3.47)
Учитывая, что
∇ ·𝜎 · 𝛿𝑢=∇ · 𝜎· 𝛿𝑢 + 𝜎 · · 𝛿(∇𝑢)S,
и применяя формулу Остроградского–Гаусса, перепишем (3.47):
𝛿𝒳 =
𝜀 + (∇𝑢)S− 2^𝜀· · 𝛿𝜎 +𝜎 − ^𝜎· · 𝛿𝜀 −∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓· 𝛿𝑢d𝑉 −
𝑉
−
𝑛 · 𝛿𝜎 · (𝑢 − 𝑈 ) d𝑆 +
𝑆
1
𝑛 · 𝜎 − 𝐹· 𝛿𝑢d𝑆.
𝑆
2
(3.48)
Приравнивая (3.48) к нулю, получим следующие условия стационарности
функционала Ксю–Ли в объеме:
∇ · 𝜎 + 𝜌𝑓 = 0, 𝜎 = ^𝜎, 𝜀 + (∇𝑢)S= 2^𝜀,
и на поверхностях:
𝑢
= 𝑈; 𝑛 · 𝜎
𝑆
1
𝑆
2
= 𝐹 .
(3.49)
(3.50)
Из условия
𝜕𝐴
𝜎 = ^𝜎 =
(3.51)
𝜕𝜀
при отсутствии температурных слагаемых следует, что
𝜕𝐴
𝜀 = ^𝜀 =
.
(3.52)
𝜕𝜎
В результате действительно получили полную систему уравнений теории
упругости.
Отметим, что принцип Ксю–Ли также не является минимальным.
69
3.7. Вариационные принципы при учете температурных
слагаемых
Рассмотрим произвольный термодинамический процесс при отсутствии объ-
емных сил
𝜌𝑓
и поверхностных сил𝐹. Будем считать, что напряженное состо-
яние не изменяется во времени при наличии нестационарного температурного
поля. Тогда при варьировании напряженного состояния температуру можно
рассматривать как неварьируемый внешний фактор. Более того, формально
можно трактовать температурное поле как поле объемных сил и поверхност-
ных сил.
Закон состояния для произвольного термодинамического процесса имеет
вид [7]:
𝜀 =
𝜎 = 2𝜇
1
2𝜇
𝜎 −
1 − 2𝜈
𝜈
1 + 𝜈
𝜈
𝜎𝐸+ 𝛼Δ𝑇𝐸;
1 + 𝜈
𝜃𝐸 + 𝜀 −
1 − 2𝜈
(3.53)
𝛼Δ𝑇 𝐸,
где𝛼— коэффициент линейного температурного расширения;
Δ𝑇
— измене-
ние температуры.
Тогда дифференциальные операторы, входящие в уравнения теории упру-
гости в перемещениях и силовые граничные условия, примут вид:
𝐿(𝑢) = 𝜇
∇𝜃 + ∇2𝑢 − 2
1 − 2𝜈
1
1
𝑀(𝑢) = 2𝜇
𝜃𝑛 + 𝑛 · ∇𝑢 +
1 − 2𝜈
newpage Видим, что действительно наличие
1 + 𝜈
∇ (𝛼Δ𝑇 ), 𝜃 = ∇ · 𝑢;
1 − 2𝜈
1
𝑛 × (∇ × 𝑢)−
2
1 + 𝜈
𝛼Δ𝑇 𝑛.
1 − 2𝜈
Δ𝑇
сводится в объеме к силам
(3.54)
с потенциалом:
1 + 𝜈
Π = 2𝜇
𝛼Δ𝑇,
1 − 2𝜈
а на границе — к силам, нормальным к поверхности:
1 + 𝜈
𝐹 = 2𝜇
𝛼Δ𝑇 𝑛.
1 − 2𝜈
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]